运筹学课件图与网络分析

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1、第八章 图与网络分析p图的基本知识p最短路径问题p网络最大流问题p网络最小费用流问题Date运筹学1.图的基本知识一、图1、图：由一些点及一些点的连线所组成的图形。 若V=V1,V2, Vn是空间n个点的集合E= e1,e2, em是空间m个点的集合 满足1)V非空2)E中每一条线ei是以V中两个点Vs,Vt为端点3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点. 则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 2、子图：已知图G1（V1，E1）若V1 V， E1 E 则称图G1（V1，E1）是图G=(V， E)的子图 3、若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 4、多重边：图中某两点之间有

2、多余一条的边，称之为多重 边。多重图：含有多重边的图。 5、简单图：无环、无多重边的图。Date运筹学二、连通图1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列 (vi1, ei1, vi2, ei2,vik-1,eik-1,vik)，如果满足 eit=vit,vit+1 (t=1,2,k-1)，则称为一条联结vi1和vik 的链，称点vi2, vi3,vik-1为链的中间点。 2、圈：链(vi1,vi2,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一 个圈。 3、简单链：若链(vi1,vi2,vik)中，点 vi1,vi2,vik都是不同的，则称之为简单链。 4、连通图：图G中，若任何两个点

3、之间，至少有一 条链。Date运筹学三、树1、定义：一个无圈的连通图称为树。 2、树的性质： 1）图G是树的充分必要条件是任意两个顶点 之间恰有一条链。 2）在树中去掉任意一条边则构成一个不连通 图，不再是树；在树中不相邻的两点之间添 加一条边，恰好形成了一个圈，也就不再是 树。 3）树中顶点的个数为P，则其边数必为P-1。Date运筹学3、支撑树：设图T=(V,E) 是图G（V，E）的 支撑子图，如果图T=(V, E) 是一个树，则称 T是G的一个支撑树。 4、寻找支撑树的方法 1）破圈法：在图中任取一个圈，从圈中去掉 任一边，对余下的图重复上述操作，即可得 到一个支撑树。 2）避圈法：每一

4、步选取与已选的边构不成圈 的边，直到不能继续为止。Date运筹学5、最小支撑树 1）赋权图：给图G=(V,E) ，对G中的每一条边 vi,vj，相应地有一个数wij，则称这样的图G为赋权 图，wij称为边vi,vj上的权。 2）最小支撑树：如果T=(V,E) 是G的一个支撑树， 称E中所有边的权之和为支撑树T的权，记为w(T)， 即w(T)= wij (vi,vj)T 如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最 小者，则称T*是G的最小支撑树(简称最小树)w(T*)=min w(T) T Date运筹学3）求最小树的方法： 方法一(避圈法) 开始选一条最小权的边，以后每一步中， 总从

5、未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取的 边不构成圈。 方法二(破圈法) 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边 。在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为 止，这时的图便是最小树。例 用破圈法求下图的最小树12 222312 222333445Date运筹学四、一笔划问题1、次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的 次，记为d(V)。 2、定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两 倍，即设q边数，则d(vi)=2q ，其中viV 3、奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。 4、任一图中，奇点的个数为偶数。 5、一笔划： 可以一笔划：没有或仅有两个奇次点的图形如没

6、有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。两个奇次点：分别选为起点和终点。Date运筹学五、有向图1、无向图：G（V，E）点集+边集2、弧：点与点之间有方向的边，叫做弧。 弧集：A=a1,a1,am3、有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V,A)，V,A 分别是D的点集合和弧集合。4、环：某一条孤起点=终点，称为环。5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所 有弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。Date运筹学6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,vik-1,aik-1,vik)是D中 的一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D) 中所对应的点边序列是一条链，则

7、称这个点弧交错 序列是D的一条链。7、路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,vik-1,aik-1,vik)是D 中的一条链，并且对t=1,2,k-1，均有 ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。8、回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称之 为回路。Date运筹学六、图的矩阵表示1、网络（赋权图）G=（V，E），其边（vi,vj）有权wij, 构 造矩阵A=（aij）nn,其中：wij（vi,vj）E0 其他 称矩阵A为网络G的权矩阵。2、对于图G=（V，E）， V =n,构造一个矩阵A=（aij）nn,其中：wij（vi,vj）E0 其他 称矩阵A为网络G的权

8、。Date运筹学第二节 最短路问题一、引例： 如下图中V1：油田，V9：原油加工厂求使从V1到V9总铺路设管道最短方案。 V1V4V2V3V6V9V8V7V54246 6234442Date运筹学二、最短路算法1、情况一： wij0(E.W.Eijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法） 标号：对于点,若已求出到Vi的最短值，标号（i,i)i ：表示到的最短路值i:表示最短路中最后经过的点 标号法步骤： 1）给V1标号(0, Vs) 2）把所有顶点分成两部分,X：已标号的点；X未标号的点 考虑与已标号点相邻的弧是存在这样的弧（ Vi ，Vj ）, Vi X,

9、 Vj X若不存在，此问题无解，否则转3） 3）选取未标号中所有入线的起点与未标号的点Vj进行计算 :mini + wij= j 并对其进行标号(j, Vi)，重复2）Date运筹学2、情况二： wij0设从V1到Vj(j=1,2,t)的最短路长为P1j V1到Vj无任何中间点 P1j（1）= wijV1到Vj中间最多经过一个点 P1j（2）= min P1j（1）+wijV1到Vj中间最多经过两个点 P1j（3）= min P1j（2）+wij.V1到Vj中间最多经过t-2个点 P1j（t-1）= min P1j（t-2） +wij终止原则： 1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最

10、短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）= P1j（t-2）时，再多迭代一次P1j（t） ，若P1j（t） = P1j（t-1） ，则原问题无解，存在负回路。Date运筹学例： 求下图所示有向图中从v1到各点的 最短路。v1v4v2v3v5v6v7v82 5-34674-23-1-342Date运筹学wij d(t)(v1,vj) v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8v1v2v3 v4v5 v6v7 v80 25-3 0 -24 06 400-3 0 720 320t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=602 5 -302 0 -361102 0 -36 6150

11、2 0-33 614 1002 0-3 3 6 91002 0 -33 6 910 说明：表中空格处为+。 Date运筹学例 设备更新问题制订一设备更新问题，使得总费用最小第1年 第2年 第3年 第4年 第5年购买费 13 14 16 19 24使用年数 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5维修费 8 10 13 18 27解设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台新 设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态；以弧 (vi, vj)表示“第i年初购置的一台设备一直使用到第j年 初”这一方案，以wij表示这一方案所需购置费和维护 费之和。Date运筹学这样，可建立本例的网

12、络模型。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。用Dijkstra标号法，求得最短路为v1v3v6 即第一年初购置的设备使用到第三年初予以更新 ，然后一直使用到第五年末。这样五年的总费用 最少，为78。Date运筹学v1v2v3v5v6v4214432228962316345244734273732(0，Vs)(0，V1)(31, V1)(44,V1)(62,V1)(78,V3)Date运筹学第三节 最大流问题如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧 上的容量，问：该网络的最大流量是多少？vsv2v1v3v4vt432312234Date运筹学一、基本概念和基本定理1、网

13、络与流 定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。 网络的流：定义在弧集合A上的一个函数f=f(vi,vj) ，称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量，简记fij 。Date运筹学2、可行流与最大流定义2 满足下列条件的流称为可行流：1) 0 fijcij2)平衡条件：中间点 fij = fji (vi,vj)A(vj,vi)A发点vs fsj fjs=v(f) (vs,vj)A (vj,vs)A ftj f

14、jt= v(f)(vt,vj)A收点vt， (vj,vt)A式中v(f)称为这个可行流的流量，即发点的净输出量 （或收点的净输入量）。 Date运筹学最大流问题：求一流fij满足0 fijcijv(f) i=s fijfji= 0 is，tv(f) i=t且使v(f)达到最大。Date运筹学3、增广链给定可行流f=fij，使fij=cij的弧称为饱和弧，使 fij0的弧称为非零流弧。若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定 义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分成两类：前向弧：弧的方向与链的方向一致 全体+ 后向弧：弧的方向与链的方向相反 全体定义3 设f是一可行流，是从vs到vt的一条链， 若满足下列条件，则称之为（关于流f的）一条 增广链：在弧(vi,vj)+上，0fij0，则给vj标号( Vi,l(vj)，其 中l(vj)=minl(vi)，fji。二、寻找最大流的标号法(Ford Fulkerson)思想：从一可行流出发，检查关于此流是否 存在增广链。若存在增广链，则增大流量，使此 链变为非增广链；这时再检查是非还有增广链， 若还有，继续调整，直至不存在增广链为止。Date运筹学3、若标号延续到vt，表明得到一条从vs到vt的增 广链，转入调整阶段4，否则当前流即为最大流。4、调整过程令调整量为=