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1、1.1 第二课时从梯子的倾斜程度谈起教学目标知识与能力目标 理解正弦和余弦的意义 . ；能够运用 sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比； 能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算； 理解锐角三角函数的意义. 过程与方法目标 经历探索直角三角形中边角关系的过程，经历类比、猜想等过程 . 发展合情 推理能力， 能有条理地、 清晰地阐述自己的观点 . 体会数形结合的思想方法， 并 利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力. 情感与价值观目标 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲；形成合作交流的意识以 及独立思考的习惯 . 教学重点1、理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2、 2.能用 sinA、cosA 表示直角三角形两边的比. 3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点 用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学过程 创设情境，引入新课师 我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾 斜程度，并且得出了当倾斜角确定时， 其对边与斜边之比随之确定. 也就是说这 一比值只与倾斜角有关， 与直角三角形的大小无关. 并在此基础上用直角三角形 中锐角的对边与邻边之比定义了正切. 现在我们提出两个问题：问题 1 当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗? 问题 2 梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系 ? 师生互动、
3、学习新课1. 正弦、余弦及三角函数的定义想一想：如图 (1) 直角三角形 AB1C1 和直角三角形 AB2C2有 什么关系 ? (2) 211122BACABACA和有什么关系? 2112BABCBABC和呢? (3) 如果改变 A2在梯子 A1B上的位置呢 ?你由此可得出什么结论 ? (4) 如果改变梯子 A1B的倾斜角的大小呢 ?你由此又可得出什么结论? 请同学们讨论后回答 . 生 A1C1BC1，A2C2BC2， A1C1/A2C2. RtBA1C1RtBA2C2. 211122BACABACA和2112BABCBABC和 ( 相似三角形对应边成比例). 由于 A2是梯子 A1B上的任意
4、点，所以，如果改变A2在梯子 A1B上的位置， 上述结论仍成立 . 由此我们可得出结论： 只要梯子的倾斜角确定， 倾斜角的对边 . 与斜边的比值， 倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定. 也就是说，这一比值只与 倾斜角有关，而与直角三角形大小无关. 生 如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与 斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变. 师 我们会发现这是一个变化的过程. 对边与斜边的比值、邻边与斜边的比 值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与 斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的. 这是一种什么关系呢 ? 生 函数关系 . 类比正切还可以有如
5、下定义： 在 RtABC 中， 如果锐角 A确定， 那么 A的对边与斜边的比、邻边 与斜边的比也随之确定 . 如图， A的对边与邻边的比叫做A的正 弦(sine) ，记作 sinA ，即sinA斜边的对边AA的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 (cosine) ，记作 cosA，即cosA=斜边的邻边A锐角 A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数师 你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、cosA、tanA 都是之 A的三角函数”呢 ? 生 我们在前面已讨论过， 当直角三角形中的锐角A确定时 . A的对边与 斜边的比值，A的邻边与斜边的比值， A的对边与邻边的比值也都唯一确定. 在“ A 的
6、三角函数”概念中， A 是自变量，其取值范围是0cosA1， 所以梯子的倾斜程度与cosA 也有关系 .cosA 的值越小，梯子越陡 . 3. 例题讲解 例 1 如图，在 RtABC 中， B=90 ，AC 200.sinA 0.6 ，求 BC 的长. 分析： sinA 不是“ sin ”与“A”的乘积， sinA 表示 A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA0.6 ， ACBC0.6. 解：在 RtABC中， B90，AC 200. sinA0.6 ，即 = ACBC0.6 ，BC AC 0.6 2000.6=120. 思考： (1)cosA ? 19(2)sinC？ cosC
7、? (3)由上面计算，你能猜想出什么结论? 解：根据勾股定理，得AB 2222120200BCAC=160. 在 RtABC 中，CB 90. cosA 54200160ACAB0.8 ，sinC= 54200160ACAB=0.8，cosC53200120ACBC0.6 ，由上面的计算可知sinAcosCO.6，cosAsinC0.8. 因为 A+C 90，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦” “一个锐角的余弦等于它余角的正弦”. 例 2 做一做：如图， 在 RtABC中， C=90 ， cosA 1312， AC 10， AB等于多少 ?sinB 呢?cosB、sinA 呢?你还
8、能得出类似例1 的结论吗 ?请用一般式表达 . 分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90 -A) cosA，cos (90-A)=sinA. 解：在 RtABC中， C90，AC=10 ，cosA1312，cosAABAC, AB= 665121310131210cosAAc, sinB 1312cos A ABAc根据勾股定理，得BC2AB2-AC2(665)2-102=2222625366065BC 625. cosB 1356525665625ABBC, sinA 135ABBC可以得出同例 1 一样的结论 . A+B=90， sinA：cosB=cos(90-A
9、) ，即 sinAcos(90-A) ；cosAsinB sin(90 -A) ，即 cosAsin(90 -A). 随堂练习 1. 在等腰三角形 ABC中，AB=AC 5，BC=6 ， 求 sinB ， cosB， tanB. 分析：要求 sinB ，cosB，tanB，先要构造 B所在的 直角三角形 . 根据等腰三角形 “三线合一” 的性质，可过 A 作 AD BC ，D为垂足 . 解：过 A作 AD BC ，D为垂足 . AB=AC ，BD=DC= 21BC=3. 在 RtABD 中， AB 5， BD=3 ，AD 4. sinB54ABADcosB 53ABBD, tanB=34BDA
10、D. 2. 在ABC中， C90，sinA 54，BC=20 ，求 ABC的周长和面积 . 解：sinA= ABBC，sinA= 54，BC 20，AB 5420sin ABC25. 在 RtBC中， AC 222025=15，ABC的周长 AB+AC+BC25+15+20 60，ABC的面积：21AC BC=211520150. 3.(2003 年陕西 )( 补充练习 ) 在ABC中. C=90 ，若 tanA= 21，则 sinA= . 解：如图， tanA= ACBC= 21. 设 BC=x ，AC=2x ，根据勾股定理，得AB=xxx5)2(22. sinA=55515xxABBC.
11、归纳提炼 本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种 三角函数，即在锐角A的三角函数概念中， A是自变量，其取值范围是0 A90；三个比值是因变量 . 当A 确定时，三个比值分别唯一确定；当A 变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应. 类比前一节课的内容， 我们 又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦 的定义来解决实际问题 . 课后作业 习题 1、2 第 1、2、3、4 题 活动与探究 已知：如图， CD是 RtABC的斜边 AB上的高，求证： BC2AB BD.(用正弦、余弦函数的定义证明) 过程 根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同， 其正弦值 ( 或余弦值 )就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在RtABC 中，CD AB.所以图中含有三个直角三角形. 例如 B既在 RtBDC 中，又在 RtABC中，涉及线段BC 、BD 、AB ，由正弦、余弦的定义得cosBABBC，cosB= BCBD. 结果 在 RtABC中，cosBABBC又CD AB. 在 RtCDB 中， cosB BCBDABBC=BCBDBC2AB BD.
