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1、盈亏问题、容斥原理 、推理问题第一节 盈亏问题例题1 ： 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家 。如果每人分5个，就多出10个； 如果每人分6个，就少2个。小明全 家有多少人？这篮梨有多少个？例题2 ：幼儿园买来一些玩具，如果每班分 8个玩具，则多出2个玩具；如果每 班分10个玩具，则少12个玩具。 幼儿园有几个班？这批玩具有多少 个？解题规律：在日常生活中常有这样的问题：一定数 量的物品分给一定数量的人，每人多 一些，物品就不够；每人少一些，物 品就有余。盈亏问题就是在已知盈亏 的情况下来确定物品总数和参加分配 的人数。解答盈亏问题的关键是弄清盈、亏与两 次分得差的关系。盈亏问题的数量关系是： （
2、1）（盈亏）两次分配差=份数（大盈小盈）两次分配差=份数（大亏小亏）两次分配差=份数 （2）每次分得的数量份数盈=总数 量每次分得的数量份数亏=总数量例3：有一些少先队员到山上去种一 批树。如果每人种16棵，还有24 棵没种；如果每人种19棵，还有6 棵没有种。问有多少名少先队员？ 有多少棵树？例题4 ：学校派一些学生去搬一批树苗，如果 每人搬6棵，则差4棵；如果每人搬8棵 ，则差18棵。学生有几人？这批树苗 有多少棵？例5：少先队员去植树，如果每人挖5个 树坑，还有3个坑没人挖；如果其 中2人各挖4个，其余的人各挖6个 树坑，就恰好挖完所有树坑。少先 队员一共挖多少树坑？例题6：三（1）班学
3、生去公园划船，如果 每条船坐4人，则少一条船；如果 每条船坐6人，则多出4条船。公园 里有多少条船？三（1）班有多少 学生？第二节 容斥原理 n容斥问题涉及到一个重要原理包含与 排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数 部分有重复包含时，为了不重复计数，应 从它们的和中排除重复部分。n容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分 类标准，按性质a分类与性质b分类（如图 ），那么具有性质a或性质b的事物的个数 =NaNbNab。n例1：一个班有48人，班主任在班会上 问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37人举手。又问：“谁做完数学作业？ 请举手！”有42人举手。最后问：“谁 语文、数学作业都没有做完？”
4、没有人 举手。求这个班语文、数学作业都完 成的人数。n例2：某班有36个同学在一项测试中， 答对第一题的有25人，答对第二题的 有23人，两题都答对的有15人。问多 少个同学两题都答得不对？n例3：某班有56人，参加语文竞赛 的有28人，参加数学竞赛的有27 人，如果两科都没有参加的有25人 ，那么同时参加语文、数学两科竞 赛的有多少人？例4：在1到100的自然数中，既不是5的 倍数也不是6的倍数的数有多少个 ？n例5：光明小学举办学生书法展览。学 校的橱窗里展出了每个年级学生的书 法作品，其中有24幅不是五年级的， 有22幅不是六年级的，五、六年级参 展的书法作品共有10幅，其他年级参 展的
5、书法作品共有多少幅？重叠问题n例题1： 六一儿童节，学校门口挂了 一行彩旗。小张从前数起，红旗是第8 面；从后数起，红旗是第10面。这行 彩旗共多少面？n例题2 ： 同学们排队做操，每行人数 同样多。小明的位置从左数起是第4个 ，从右数起是第3个，从前数起是第5 个，从后数起是第6个。做操的同学共 有多少个？n例题3： 把两块一样长的木板像下图 这样钉在一起成了一块木板。如果这 块钉在一起的木板长120厘米，中间重 叠部分是16厘米，这两块木板各长多 少厘米？第三节 推理问题n解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算 外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把 主要依靠推理来解的数学题称为推
6、理问题。n推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事 情的逻辑关系进行合情推理，仔细分析，寻找突 破口，并且可以借助于图表，步步深入，这样才 能使问题得到较快的解决。例题1 ： 有8个球编号是（1）（8），其 中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。 为了找出这两个轻球，用天平称了3次，结 果如下： 第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重； 第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻； 第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4） +（8）一样重。 那么，两个轻球分别是几号？分析：从第一次看，（3）、（4）两球中有 一个轻；从第二次看，（5）、（6）两球 中有一个轻；从第三次看，（1）、（3）
7、 、（5）中有一个轻，（2）、（4）、（8 ）中也有一个轻。综合上面的分析可以推出，两个轻球的 编号分别是（4）和（5）。n例题2 ： 一个正方体6个面上分别 写着1、2、3、4、5、6。根据下 图摆放的三种情况，判断每个数字 对面上的数字是几。分析：如果直接思考哪个数字的对面是几，有一 定的困难。我们可以这样想：这个数字的 对面不会是几。 （1）从（A）、（B）两种摆法中可以看出 ：4的对面不会是2、5，也不会是1、6，那 么，4对面一定是3； （2）从（B）、（C）两种摆法中可以看出 ：1的对面不会是4、6，也不会是2、3，那 么，1的对面一定是5； （3）剩下2的对面一定是6。n例题3
8、小英、小明、小亮在一次语文 、数学、英语三门考试中，每人都获 得了其中的一门第一名，一门第二名 和一门第三名。现在只知道小英获得 了语文成绩的第一名，小明获得了数 学第二名。获得英语成绩第一名的是 谁？分析：因为小英获得了语文第一名，所以 ，小明获得的第一名只能是英语或 数学，而小明已获得了数学第二名 ，不可能再获得数学第一名，因此 ，获得英语第一名的一定是小明。n例题4： 小明看一本书，如果看过的 页数每天比前一天增加一倍，7天正好 看完。已知这本书一共96页，他第几 天看到了12页？分析：n由于他每天看过的页数比前一天增加 一倍，7天正好看完，也就是说第7天 能看到96页。由此往前推：第6
9、天看到 了962=48页，第5天看到了482=24 页，第4天看到了242=12页。n所以，他第4天看到了12页。例题5：星期一早晨，王老师走进教室，发现 教室里的坏桌凳都修好了。传达室人员告 诉他：这是班里四个住校学生中的一个做 的好事。于是，王老师把许兵、李平、刘 成、张明这四个住校学生找来了解。 （1）许兵说：桌凳不是我修的。 （2）李平说：桌凳是张明修的。 （3）刘成说：桌凳是李平修的。 （4）张明说：我没有修过桌凳。 后经了解，四人中只有一个人说的是真话。 请问：桌凳是谁修的？ 例题6：虹桥小学举行科技知识竞赛，同 学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四 名学生的成绩作了如下估计： （1）
10、丙得第一，乙得第二。 （2）丙得第二，丁得第三。 （3）甲得第二，丁得第四。 比赛结果一公布，果然是这四名学生获 得前4名。但以上三种估计，每一种只 对了一半错了一半。请问他们各得第 几名？例题7：张、王、李三个工人，在甲、乙 丙三个工厂里分别当车工、钳工和电 工。 张不在甲厂，王不在乙厂，在甲 厂的不是钳工，在乙厂的是车工， 王不是电工。这三个人分别在哪个 工厂？干什么工作？例题8：六年级有四个班，每个班都有正 、副班长各一人。平时召开年级班长 会议时，各班都只有一人参加。参加 第一次回师的是小马、小张、小刘、 小林；参加第二次会议的是小刘、小 朱、小马、小宋；参加第三次会议的 是小宋、小陈、小马、小张，小徐因 有病，三次都没有参加。你知道他们 哪两个是同班的吗？
