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1、常微分方程计算题及答案20 计算题（每题 10 分）1、求解微分方程222xyxyxe。2、试用逐次逼近法求方程2yxdxdy通过点 (0,0)的第三次近似解. 3、求解方程2xyyye的通解4、求方程组dxdtydydtxy的通解5、求解微分方程24yxyx6、试用逐次逼近法求方程2yxdxdy通过点 (1,0)的第二次近似解。7、求解方程yyyex 22的通解8、求方程组dxdtxydydtxy的通解9、求解微分方程xyyx10、试用逐次逼近法求方程2yxdxdy通过 (0,0)的第三次近似解. 11、求解方程yyyex 24的通解12、求方程组dxdtxydydtxy的通解13、求解微分
2、方程xyyex()14、试用逐次逼近法求方程22xydxdy通过点 (0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程yyyex 22的通解16、求解方程xeyyy32的通解常微分方程计算题及答案21 17、求方程组 yxdtdy dtdxxydtdydtdx243452 的通解18、解微分方程22(1)(1)0x ydxy xdy19 、 试 用 逐 次 逼 近 法 求 方 程2dyxydx满 足 初 始 条 件(0)0y的 近 似 解 ：0123( ),( ),( ),( )xxxx. 20 、 利 用 逐 次 逼 近 法 ， 求 方 程22dyyxdx适 合 初 值 条 件(0)1y的 近 似
3、解 ：012( ),( ),( )xxx。21、证明解的存在唯一性定理中的第n次近似解( )nx与精确解( )x有如下误差估计式：10|( )( )|(1)!n nnMLxxxxn。22、求初值问题22,( 1)0dyxyydx在区域:|1|1, | 1Rxy的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。23、coscos0yyxydxxdyxx24、2221dyydxxy25、21210dyxydxx26、ln(ln)0yydxxy dy27、 2 lnyyyyyx28、22dyyxdxxy常微分方程计算题及答案22 29、222()0xydxxy dy30、3(ln)0y
4、dxyx dyx31、22220 1xdxydyydxxdy xyxy32、(1)10xxyyxedxedyy33、213dyxydxxy34、443()0xydxxy dy35、22(2)0xyy dxyyx dy36、3“ 10y y37、“0yyyy38、“2 “3 100yyyy39、(4)0yy40、(6)(4)2“20yyyy41、(4)“0yy42、(4)4 “ 8 “8 30yyyyy43、(4)4 “6 “4 0yyyyy44、“xyyxe45、2 “3 4xyyye解： 对应齐次方程的特征方程为22310，特征根为1211,2，齐次方程的通解为1 2 12xxyC eC e
5、由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如1xyABe的特解。将1xyABe代入已知方程，比较系数得14,6AB即146xye，因而，所求通解为常微分方程计算题及答案23 12 12146xxxyC eC ee。46、3“2 4(2)xyyyxe解： 对应齐次方程的特征方程为2240，特征根为1,213i，齐次方程的通解为12(cos 3sin 3 )xye CxCx由于 3 不是特征根，故已知方程有形如3 1()xyeAxB的特解。将3 1()xyeAxB代入已知方程，比较系数得110,749AB即3 111 074 9xyex，因此，已知方程的通解为3 12110(cos3sin3 )749
6、xxye CxCxex。47、2613(52)txxxe tt48、txxe49、2“2tsasa se50、2441ttxxxee51、“4 10yy52、“3 “3 (5)xyyyyex53、“3 2sincosyyxx54、22225sin(0)xkxk xkktk55、“sincosyyxx56、“2 2cosxyyyex解： 对应齐次方程的特征方程为2220，特征根为1,21i，齐次方程的通解为12cossinxyeCxCx由于1i不是特征根，故已知方程有形如1(co ssi n)xyeAxBx的特解。将1(cossin )xyeAxBx代入已知方程，得11,88AB因此，所求通解为
7、常微分方程计算题及答案24 121cossin(cossin)8xxyeCxCxexx。57、“2 10cos2xyyyex58、sin,0xxata59、22 “5 cosyyx60、“4sin 2yyxx61、“2 34sin 2yyx62、“2 24cosxyyyex63、“918cos330sin3yyxx64、sincos2xxtt65、22costxxxtet66、求微分方程22“01yyy的通解。67、求1“cosxyyxexx的通解。68、求微分方程2“0yyyxx的通解。69、求微分方程2“( )0xyyx yyy的通解。70、求微分方程“3 2sinxyyyex的通解。71
8、、求微分方程2 21“4 4xyyyex的通解。72、求方程2“4 5cscxyyyex的通解。73、求微分方程2“220x yxyy的通解。74、求微分方程22“222x yxyyx的通解。75、利用代换cosuyx将方程“cos2 sin3 cosxyxyxyxe化简，并求出原方程的常微分方程计算题及答案25 通解。76、求下列线性微分方程组2244(1)22(2)tdxxyedt dyxydt77、解下列微分方程组1 122 223 322(1)(2)2(3)dyyydx dyyy dx dyydx的通解。78、5445dyyzdx dzyzdx79、3452dxxydt dyxy dt
9、80、254342xyyxxyxy计 算 题 答 案、解：对应的齐次方程y+2xy=0 的通解为y=ce-x2 (41)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2代入方程 y1+2xy=2xe-x2得常微分方程计算题及答案26 c1(x)=2x 因此有 c(x)=x2+c (31）所以原方程的通解为y=(x2+c)e-x2 (11)、解：按初始条件取0( )0yx2 2 1000( )( )2wxyxyxyx dx25 2 2010( )( )220wxxyxyxyx dx25811 2 3020( )( )2201604400wxxxxyxyxyx dx3、解：对应的齐次方程为
10、“- 20yyy特征方程为2+20解得1,-2对应的齐次方程通解为2 12xxYcex e（21）设方程的一个特征解为y1=Ae-x则y11=-Ae-x,y21=Ae-x代入解得A=-1/2 从而11y2xe（ 21）故方程的通解为2 11212xxxyYyc ec ee（21）4、解：它的系数矩阵是A0121特征方程|AE1210或为2-10 +9=0 （21） 特征根1=1,2=9 原方程对应于1 =1 的一个特解为y1=et,x 1=-et（21） 对应于2=9 的一个特解为y1=e9t,x 1=e9t（21）原方程组的通解为xc ec eyc ec etttt1221222（21）5、
11、解：对应的齐次方程y1+2xy=0 的通解为y=ce-x2 (41)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e-x2代入方程 y1+2xy=4x 得 c1(x)=4ex2 x 因此有 c(x)=2ex2 +c (31）所以原方程的通解为y=(2ex2 +c)e-x2 (11)常微分方程计算题及答案27 6、解：取12 0010( )0,( )( )( )nnyxyxyxxyx dx则2101y ( )22xxxxdx2253220111y ( )222062430xxxxxxxxdx因此，第二次近似解为532211y ( )2062430xxxxx。7、解：对应的齐次方程为111- 2
12、0yyy特征方程为2+20，得1,-2对应的齐次方程通解为-2 12xxYc ec e（21）设方程的一个特征解为- 1xyAe则1- 1xyAe,11- 1xyAe代入解得-1A，而- 1-xye（21）故方程的通解为-2- 112xxxyYyc ec ee（21）8、解：由方程解出y，得yxxpxp2122，代入dx pdy1得dxxdpp即pcx故通解为ycxc21122()9、解：方程化为yxyx223对应的齐次方程y xy20的通解为y=cx2(41)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x2代入方程得c1(x)=2x 因此有 c(x)=x2+c (31）所以原方程的通解为
13、y=(x2+c)x2(11) 10、解： 取2 0010( )0,( )( )( )xnny xyxyxxyx dx则210y ( ) 2xxxxdx222520y ( )2220xxxxxxdx常微分方程计算题及答案28 因此，第三次近似解为532211y ( )2062430xxxxx11、解：对应的齐次方程为y11+y1-2y=0 特征方程为2+ -2=0解得=1,-2 对应的齐次方程通解为 Y=c1ex+c 2e-2x（ 21）设方程的一个特征解为y1=Ae-x则y11=-Ae-x,y111 =Ae-x代入解得A=-2从而y1=-2e-x（ 21）故方程的通解为y=Y+y1=c1ex+
14、c 2e-2x-2e-x（21）12、解：它的系数矩阵是A0121特征方程|AE1210或为2-4 -5=0 （ 21） 特征根1=-1,2=5 原方程对应于1 =5 的一个特解为y1=e5t,x 1=e5t（ 21） 对应于2=-1 的一个特解为y2= -e-t,x 2=e-t（21）原方程组的通解为xc ec eyc ec etttt1221222（21）13、解：方程化为yyxex1对应的齐次方程1-0yy的通解为xyce(41)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为( )xyc x e代入方程得11( )cxx因此有( )ln |c xxc(31）所以原方程的通解为(ln |) xyex
15、c(11)14、解：取2 0010( )0,( )( )( )xnny xyxy xxyx dx则3 2 10y ( )3xxxx dx常微分方程计算题及答案29 2337 2 20y ( )3363xxxxxxdx因此，第三次近似解为237151173 2 302y ( )363595352079633xxxxxxxxxdx15、解：对应的齐次方程特征方程为2+2=0解得=1,-2 对应的齐次方程通解为-2 12xxYc ec e（ 21）设方程的一个特征解为- 1xyAe代入解得32A从而- 13-2xye（21）故方程的通解为-2- 112-(3/ 2)xxxyYycec ee16、解：
16、对应的齐次方程特征方程为2+ -2=0 解得=1,-2 对应的齐次方程通解为Y=c1ex+c 2e-2x（21） 设方程的一个特征解为y1=Ae-x代入解得 A=-3/2 从而 y1=-(3/2)e-x（21） 故方程的通解为y=Y+y1=c1ex+c2e-2x-(3/2)e-x（21）17、解：化简有xxyyxy232它的系数矩阵是A0121特征方程|AE1210或为2-1=0 （ 21） 特征根1= 1 原方程对应于1 =-1 的一个特解为y1=e-t,x 1=e-t（21） 对应于2=1 的一个特解为y2=et,x 2=3et（21）原方程组的通解为xc ec eyc ec etttt1221222（21）18、解：因 M(x,y)=3x2+6xy2,N(x,y)=6x2y3+4y3常微分方程计算题及答案30 MyxyNx12所以为全微分方程将其分组()()346602322x dx
