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1、华北水利水电学院数学建模论文题目：利津水文站年径流量数学建模学院：数学与信息科学专业：统计学姓名：张旭学号： 201015213 指导老师：陈自高完成时间： 2012年 7 月 4 日利津水文站问题数学建模摘要已知利津水文站18552007年天然径流量数据，要求对2010年年径流量进行预测。 这里我用时间序列分析法模型预测。首先做出该数据的时序图，发现其不平稳后，做一阶差分后，得到平稳序列。然后对一阶差分后的数据做纯随机检验，发现该序列为非白噪声序列，即有规律可寻。再运用自相关函数和偏自相关函数的特点，做出拟合 q=1 的 MA 模型。对模型中未知参数的估计，采用最小二乘法，并做出参数显著性检
2、验。 对于该模型的有效性检验， 采用残差序列白噪声检验，发现有效性很高后，最后得到拟合模型的具体形式，随后便可对 2010 年的年径流量进行预测。关键字：时间序列分析法白噪声MA 模型 最小二乘法显著性检验Abstract 1855 - 2007knownLijin Hydrometric Stationof natural runoffdata, requirements on the2010annual runoffprediction.Here I use the method of time series analysis in forecasting model.First of a
3、ll to makethe datatime series graphs,find itsinstability,dothe first-order difference,bestationary sequence.Then thefirst-order differencedatadopure randominspection,found that the sequenceis white noise sequence,i.e. there are rules to be found.Then use theautocorrelation andpartial autocorrelation
4、function,make thefitting q=1MA model.The unknown parameters in the model areestimatedby least square method,and make theparameters,test of significance.The validity of the modeltest,the residual sequence ofwhite noise test,found to be effectiveis very high,finallyobtained by fittingthe particular fo
5、rm of the model,and thenon2010annual runoffprediction. Keywords: time series analysis method white noise MA model least square method Significant test 问题的提出1）查找该站 1964-1997年利津水文站天然年径流量数据；2）在表 2 中，如果 1960 年数据缺失，如何补充？请给出几种具体解决方案。3）根据查找得到的数据，预测2010年该站的年径流量；4) 从表 1、2、3、4 中，统计出黄河的丰水期和枯水期，并对近期的丰水期和枯水期进行预测
6、。问题的分析1）查找 1964-1997年天然年径流量数据， 我们在可以通过网络搜索，得到有效数据。表 a 1964 1997年利津水文站的天然年径流量（亿立方米）年号径流量年号径流量年号径 流量年号径 流量1964 799.8 1973 476.8 1982 529.2 1991 435.8 1965 457.9 1974 430.6 1983 696.0 1992 563.8 1966 564.9 1975 645.6 1984 616.3 1993 625.3 1967 802.6 1976 644.6 1985 568.8 1994 569.7 1968 661.2 1977 466.
7、4 1986 465.8 1995 567.9 1969 447.8 1978 524.2 1987 433.2 1996 625.6 1970 490.4 1979 514.6 1988 518.5 1997 589.3 1971 471.1 1980 432.8 1989 645.3 1972 427.6 1981 627.9 1990 576.9 2）当 1960 年数据缺失时，我们可以采取最小二乘法，对其进行补充。其中最小二乘法的方法也有很多，利用不同的方法，进行比较。3）对 2010 年年径流量的预测，也有多种方法可供选择。微分方程模型，灰色数学，时间序列分析法。对于微分方程法，当我
8、们描述实际对象的某些特性随时间( 或空间)而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态微分方程模型。微分方程研究的大多是物理或几何方面的典型问题。 假设条件已经给出， 只需用数学符号将已知规律表示出来， 即可列出方程， 求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的。 但是有些问题是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。微分方程模型的建立基于相关原理的因果预测法。反映的是内部规律，但是由于方程的建立是以局部规律；以独立性假定为基础，故做中长期预测时， 偏差有点大。 所以不采用微分方程模型。对于灰色数学， 灰色预测的主要特点是模型使
9、用的不是原始数据序列，而是对原始数据作累加生成( 或其他方法生成 )的数据序列。对波动性较大的时间序列不能做出较好的预测。对于时间序列分析法， ARMA模型是时间序列建模中最重要和最常用的预测手段。 事实上，对实际中发生的平稳时间序列做恰当的描述，往往能够得到自回归、滑动平均或混合的模型，其阶数通常不超过2。时间序列模型其实也是一种回归模型，属于定量预测。综上所述，这里我们采用时间序列分析法模型，对 2010 年的年径流量进行预测。并对近期的丰水期和枯水期进行预测。4）首先做出该数据的时序图，发现其不平稳后，做一阶差分后，得到平稳序列。 然后对一阶差分后的数据做纯随机检验，发现该序列为非白噪声
10、序列， 即有规律可寻。 再运用自相关函数和偏自相关函数的特点，做出拟合q=1 的 MA 模型。对模型中未知参数的估计，采用最小二乘法，并做出参数显著性检验。对于该模型的有效性检验， 采用残差序列白噪声检验， 发现有效性很高后，最后得到拟合模型的具体形式。基本假设1）假设测得数据的误差较小，具有一定准确性2）假设排除其他外界因素的影响符号说明y 年径流量x 时间（年份）a0函数参数a1函数参数模型建立1)根据所得数据做出1855-2007年时间序列图当 1960 年数据缺失时， 采用最小二乘法进行直线拟合。由上图可知，可由 1960年附近的数据， 做出直线拟合， 然后对 1960 年数据进行填充
11、，具有一定可采取性设 直线方程为ya0+a1x用最小二乘法估计参数时， 要求观测值yi的偏差的加权平方和为最小.?,?2 1010iiiiiiyxxaxayxaNa正规方程组便可求得直线参数a0和a1的最佳估计值0? a和1? a。221?iiiiiixxNyxyxN a2220?iiiiiiixxNyxxyxa年号径流量年号径流量年号径流量1955 667.13 1961 641.1 1966 564.9 1956 528.32 1962 530.54 1967 802.6 1957 469.87 1963 632.63 1968 661.2 1958 715.7 1964 799.8 19
12、69 447.8 1959 596.18 1965 457.9 1970 490.4 根据上述公式，求得a0的估计值为 573.72 a1的估计值为 22.46 所以函数为 y=22.46x+473.72 求得 1960年径流量为 496.1 已知原数据 1960 年径流量为 480.84 有一定误差。从以上输出的时序图可知：该序列波动性较大，不具有平稳性。线图显示径流量序列在1970年后有明显的下降趋势， 且有一定的周期性，说明序列不平稳。对时序图做一阶差分后得到图形如下发现一阶差分后的序列为平稳序列。2）对所得一阶差分后的序列做纯随机检验，因为差分后的径流量序列有常数均值， 该序列为非白噪
13、声序列。 因为纯随机过程是有一个不相关的随机变量的序列构成的，对于所有的随机变量的协方差均为零。3）确定出时间序列后，根据自相关函数和便自相关函数的性质，做出 q=1 的 MA 的模型自协方差函数222 12 111,0,10,qkkkq kqkkqkq2 是非白噪声序列的方差样本自相关函数因为样本自协方差函数在k=1 时截尾，所以确定 q=1，可对该时间序列做出 MA(1) 的拟合4）对时间序列做出MA(1) 的拟合后，需要对该拟合做出检验。模型的显著性检验主要是检验模型的有效性。一个模型是否有效主要看它提取的信息是否充分。 一个好的拟合模型应该能提取观察值序列中几乎所有的样本相关信息， 也
14、就是说，拟合残差项中将不再蕴含任何相关信息，即残差序列应该为白噪声序列。 这样的模型称之为有效模型。反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残差序列中还残留着相关信息未被提取， 这就说明拟合的模型不够有效，就得重新拟合其它的模型。所以模型的显著性检验即为残差序列的白噪声检验。用 sas 软件做出对残差项的信息检验，可知，我们对时间序列做出MA(1)的拟合是显著的。1122 011,0,110,kkq kqk kqkkqkq22 0 11|2qkl lN5）求出拟合的具体形式因为 MA(1)是合理的，所以得到径流量时间序列ARIMA(0 ，1，1,) 由 sas 软件求出拟合函数为2171.
15、071.1tttyyy利津水文站 1998-2007年径流量表（亿立方米）年份199 8 199 9 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 径流量106.1 68. 36 48.5 9 46.5 1 41.8 9 192. 6 198. 8 206.7 6 191. 7 204 由上表数据信息可对2010 年径流量做出预测2008年212.73 2009年218.93 2010年223.3 . 模型检验通过时间序列分析模型，预测到2010 年径流量为 223.3,。经查询资料，2010 年实际径流量为 193.0。该模型的预测存在一定的误差。参考文献应用时间序列分析王振龙 著 2006.10 最小二乘法百度文库概率论与数理统计第二版茆诗松 程一鸣
