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1、部分教学大纲目录 数 学 分 析 ,3 高 等 代 数 ,13 几 何 学 ,20 概 率 论 与 数 理 统 计 ,24 初 等 数 学 研 究 ,28 学 科 教 学 论 ,33 常 微 分 方 程 ,40 近 世 代 数 ,43 复 变 函 数 ,46 实 变 函数 ,50 分 析 学 专 题 选 讲 ,54 代 数 学 专 题 选 讲 ,58 近 代 数 学 专 题 选 讲 （ 一 ） ,62 近 代 数 学 专 题 选 讲 （ 二 ） ,67 点 集 拓 扑 学 ,70 微 分 几 何 ,74 泛 函 分 析 ,77 群 论 ,80 图 论 ,84 运 筹 学 方 法 ,87 数 学
2、 模 型 ,92 计 算 方 法 ,95 初 等 数 论 ,99 解 题 研 究 ,102 数 学 方 法 论 ,106 数 学 史 ,110 离 散 数 学 ,114 论 文 写 作 ,118 竞 赛 数 学 ,121 数学分析课程教学大纲一、说 明适用专业数学与应用数学先修课程高中数学总学时312 总学分17 （一）本课题的目的要求和任务数学分析是高等学校数学与应用数学专业必修的一门重要基础课程，是学习后继课程，如复变函数、微分方程、概率论与数理统计、实变函数与泛函分析等课程的必备基础。同时，对学生今后的学习、研究起着关键的作用。通过教学应达到以下目的和要求（1）正确理解和掌握数学分析的基
3、本概念，基本理论，尤其是极限理论、一元函数微积分学、多元函数微积分学以及无穷级数等方面的基本知识、基本技能。（2）灵活掌握数学分析中论证方法，提高分析问题和解决问题的能力。（3）能用数学分析的基本理论，对数学中的有关重要事实、现象和公式给出理论上的解释与处理。（二）内容选取和实施中应注意的问题（1）极限理论、一元函数微积分学、多元函数微积分学在保持理论体系完整的前提下，合理地组织教学和安排内容。（2）实数集与函数一章中的函数的定义、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数等有关内容，因中学已介绍可略讲，应突出本课程的需要，力求避免不必要的重复。（3）本课程应精讲基本内容，注意教学方法，阐明基本概念和
4、基本规律，突出重点，提高教学效果。（4）为了培养学生分析问题和解决问题的能力，应讲解适当的例题或安排一定的习题课，同时布置适量的思考题，促使学生牢固掌握所学知识。（5）大纲中带“ *”号的内容，供选学，教学时根据实际情况决定讲或不讲。（三）教学方法1、以课堂教学为主，适量布置课外作业，坚持课后辅导答疑，并适当增加习题课，使学生的疑难问题能及时得到解决；2、适度利用现代化的教学手段，如多媒体电子课件、网络资源等，提高教学效果。（四）考核方式1、期中测验成绩占总学期成绩的10% ；2、作业、课堂笔记、课堂讨论等方面的分数占总学期成绩的10% ；3、期末考试成绩占总学期成绩的80% ；4、期末试卷严
5、格实行教考分离。考试卷从卷库中抽取，流水阅卷，批阅规范，严格执行评分标准。（五）教学内容与学时分配教学章节教学内容学时安排备注1 实数集与函数6 2 数列极限12 3 函数极限20 4 函数的连续性18 5 导数与微分20 6 微分中值定理及应用20 7 实数的完备性8 8 不定积分16 9 定积分22 10 定积分的应用10 11 反常积分8 12 数项级数14 13 函数列与函数项级数12 14 幂级数12 15 傅里叶级数集合10 16 多元函数的极限与连续16 17 多元函数微分学20 18 隐函数定理及其应用14 19 含参量积分12 20 曲线积分10 21 重积分22 22 曲面
6、积分10 注：1、分三学期授完，第一学期：第一至第六章；第二学期：第七至第十五章；第三学期；第十六至第二十二章。2、在保证完成教学大纲所规定的基本内容的前提下，对讲授次序，课时分配，教学内容及教学的方法可以灵活掌握，适当调整。（二）大纲 内 容第一章实数集与函数1、实数及性质，绝对值与不等式，区间与邻域。2、实数集的确界，确界原理。3、函数定义、函数的表示法、函数的四则运算、复合函数、反函数、初等函数。4、具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。说明和要求：1、了解实数集及其性质，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式。2、掌握区间、邻域、确界、函数、复合函数和反函
7、数的概念，函数的简单性质，会求数集的上、下确界，掌握确界原理。3、了解函数的几种表示法，及其分析中常用的一些函数, 如分段函数、符号函数、狄里克雷函数、黎曼函数等的表示法。4、本章重点是区间、邻域、确界、函数、复合函数和反函数的概念，确界原理。难点是确界原理。第二章数列极限1、数列极限的概念：数列极限定义及其几何意义，无穷小数列。2、收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性，保不等式性，无穷小数列收敛性。3、收敛数列的四则运算。4、数列的收敛判别法：迫敛法、单调有界法则、柯西准则。5、重要极限：e nnn)11(lim说明和要求 : 1、理解数列极限的概念，能够应用“-N”语言进行极限证明和处理极
8、限问题。2、能正确叙述和证明数列极限的唯一性，保号性、及不等式等性质。3、能应用极限定义、四则运算、极限存在的判别法，柯西收敛准则，熟练地求出数列极限和证明数列存在极限。4、本章重点是数列极限，难点是求出数列极限和证明数列存在极限。第三章函数极限1、函数极限的概念：x趋于无穷大时函数极限，x趋于某一定数时函数极限，单侧极限，极限与单侧极限的关系。2、函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，极限的四则运算法则。3、函数极限存在判别法：迫敛性定理、单调有界定理，归结原则、柯西准则。4、两个重要极限：1sinlim,)11(limxxexxxx5、无穷小量与无穷大量，无穷小量阶的
9、比较。6 曲线的渐近线说明和要求：1、掌握函数极限的概念，无穷小量与无穷大量及其阶的比较。2、能够运用“ - ”与“ -M”的语言处理函数极限问题。3、能正确叙述和证明函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。4、能应用定义、四则运算、极限存在判别法熟练地求出或证明函数的极限。用等价无穷小量替代求极限。5、了解归结原则的内容。6、本章重点是函数极限。难点是运用 “ - ”与“ -M”的语言处理函数极限问题。应用函数极限的性质证明相关问题。用等价无穷小量替代求极限。第四章函数的连续性1、连续性概念：函数在一点的连续性，左连续与右连续，函数在一点处连续的充分必要条件，间断点及其分类，区间上的连续函
10、数。2、连续函数的性质：连续函数的局部性质，复合函数的连续性，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，一致连续性。3、初等函数的连续性。说明和要求：1、弄清连续、间断的概念，并能对间断点进行分类，对可去间断点能进行连续延拓。2、能正确叙述和应用连续函数的性质。3、了解初等函数的连续性。4、本章重点是函数的连续性。难点是应用连续函数的性质。第五章导数与微分1、导数概念：导数的定义及其几何意义，左导数，右导数的定义，费马定理，导函数，可导与连续的关系。2、求导法则：导数的四则运算、反函数的导数，复合函数的导数，基本求导法则与公式。3、参变量函数的导数。4、微分：微分概念，微分的运算法则，一阶微
11、分形式不变性，微分近似计算中个应用。5、高阶导数与高阶微分：高阶导数，高阶微分。说明和要求：1、掌握导数与微分的概念，它的几何意义。2、能熟练地应用导数运算性质和求导法则（特别是复合函数求导法则）求函数的导数，一阶微分。3、能求函数的高阶导数。4、利用微分进行近似计算。5、本章重点是导数与微分，难点是复合函数求导。第六章微分中值定理及其应用1、中值定理：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2、不定式极限：0/0 型不定式极限，/ 型不定式极限，其它类型不定式极限。3、泰勒公式：泰勒定理，带皮亚诺型、拉格朗日型余项的泰勒公式，某些应用。4、函数的单调性与极值：函数的单调性，极值，最大值
12、与最小值。5、函数的凸性与拐点：函数的凸性，拐点。6、函数图象讨论：函数作图。说明和要求：1、掌握中值定理的内容与证明。2、能熟练地应用洛必达法则求不定式极限。3、能把某些函数按泰勒公式展开。4、能熟练地求出连续函数的极值与闭区间上的最大值、最小值。5、能应用函数单调性证明一些不等式。6、了解凸函数的概念，并能应用凸函数概念证明相关不等式。7、能对函数图象进行讨论，并较正确地作出函数的图形。8、本章重点是中值定理，不定式极限，函数的性质。难点是中值定理; 不定式极限 ; 以及利用中值定理证明相关不等式。第七章实数的完备性1、实数完备性的基本定理：闭区间套定理与柯西收敛准则，聚点定理与有限覆盖定
13、理。2、闭区间上连续函数性质的证明。说明和要求：1、了解实数连续性的几个基本定理。2、能够证明闭区间上的连续函数的基本性质。3、本章重点是实数完备性的基本定理。难点是证明闭区间上的连续函数的基本性质。第八章不定积分1、不定积分的概念与基本积分公式：原函数与不定积分，基本积分表，不定积分的线性运算法则。2、换元积分法与分部积分法：换元积分法，分部积分法。3、有理函数和可化为有理函数的不定积分：有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分。说明和要求：1、理解原函数与不定积分概念。2、熟练掌握换元积分法与分部积分法。3、掌握有理函数和三角函数有理式积分法。4、会计算某些无理
14、根式的不定积分。5、本章重点是不定积分。难点是有理函数和三角函数有理式积分法，某些无理根式的不定积分。第九章定积分1、定积分的概念：问题的提出，定积分的定义。2、牛顿 - 莱布尼茨公式3、可积条件：可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。4、定积分的性质：线性性质，积分区间可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。5、微积分学基本定理定积分计算：微积分学基本定理，换元积分法与分部积分法，泰勒公式的积分型余项。说明和要求：1、理解定积分的概念，可积的必要条件，了解可积的充要条件。2、掌握三类可积函数。3、掌握定积分与可变上限定积分的性质。4、能熟练地应用牛顿莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分
