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1、1 第一讲：向量及其线性组合第一讲：向量及其线性组合 编辑：2014 级数学 2 班：魏辉和拉旺桑珠 一一 向量向量 1.1. 什么是向量？什么是向量？ 既有大小，又有方向的量。 （速度、位移、力） 平面上的一个点 例1 点（3,2） 例2 儿童与玩具的数量68 2IR 2. 表示方法 大小（长度）+方向 点 H 例 43 (5, ) 2 68 2IR 3687IR 46875IR 注意注意： 无论用哪种方法，都必须从原点开始。这样向量具有唯一性，不存在平行。 今后统一用第三种方法来表示向量，完全用数来表示。 二、我们对向量能做什么？我们对向量能做什么？ 1.两个向量可以相加。 例 1 一只鸟
2、把一个东西拉走了v，然后有一个人把它拉走了w，一起拉到了哪里？， 即vw，即向量可以相加，向量头尾相连。 例3 第一天有 6 个儿童带着 7 个玩具，第二天有 8 个儿童带着 10 个玩具。 问：这两天儿童与玩具数量各是多少？ 第一天：67 第二天：810 儿童+儿童=6+8=14 玩具+玩具=7+10=17 向量的加法向量的加法 ： 把 12aa与12bb相加得到 11112222abab abab例 3： 假如第一天是=67 ，第二天也是= 67 则两天共+=2=67 +67 =6677 =6 27 2 =1214 686814 7107 1017 3 即可以用一个数去乘一个向量。 2数乘
3、向量数乘向量 数 c 乘向量 =12aa 得 c=1122acacaca特殊情况： 1122( 1)( 1)aa aa 11220()00aa aa 1200000a a 当然：12,32 12321 32523 三. 23,IRIR中的向量运算（可以画，直观）中的向量运算（可以画，直观） 1.加法 例 1 41,22vw 当然3 4vw 第一分量：4+（-1）=3；第二分量：2+2=4 即 413 224vw 例 2 v=42 ，w12 ，当然()vwvw 415 220 4 1 23. 数乘 如：=42 ，当22811,211422 易看出：的倍数都在一条直线上 的全体倍数可填满所在的这条
4、直线l, 即lcc是任意实数 如： 则 . 0 1 22l12 2 ,3 21 3 5 1 0 00c ccc 在右边 在左边在原点5 注意：、相加、数乘是向量的两个基本运算。 、向量是线性代数最基本的组成部分。 、线性组合 线性组合数乘数乘，如： 就是与的一个组合，23是另一个组合。 如：1120 ,2 ,3311 ，则1121 4204 22 323119 结论：对于一个向量 ， 的全部组合就是 对于 ， 的全部组合就是 问：如 在三维空间 中，则 1、想象一下 的全体线性组合 a 是什么样的一个图形？ 2、想象一下 的全体线性组合 是什么样的一个图形？ 3、想象一下 的全体线性组合 是什
5、么样的一个图形？ 这些问题对于我们这一课来说很重要。回答这些问题需要考虑向量 的具体情况。如果 。则每种组合结果都是零向量，那么图形就是原点，一个点。 23aaR、,aba bRabcabcR、 、 的全部组合就是、 、 、3IR、ab、 、abc、 与= = =0 6 如果 都是些非零向量，那么最多填满的图形是： 全体线性组合 将填满一条直线 全体线性组合 将填满一个平面。2IR全体线性组合bac将填满一个平面。3IR这条直线是在 的方向上无限延伸的（向前，向后，经过零向量） 。 当我们考虑第三个向量时，倍数 c给出了第三条直线。如果这条直线不在于的平面上，那么当 c与ab放在一起时，就会填
6、满整个三维空间。 一种很特殊的情况是：直线、平面，然后空间。 但是其它可能性是存在的。 如果刚好是ab， 那么第三个向量就在前两个向量的平面里。此时，, 的全部组合将不会走出, 所在平面。我们就无法得到整个三维空间。 想象：a带在直线上走; 1,1,1,aaa 往前走倒着走带直线a在，所在平面上跑11b1bab 时，时，往前走时，往后倒结果为平面，ab 、 、由 生成直线由 与 生成平面aba7 带平面ab在三维空间中跳0a 00cb cc 时， 时，往前跳时，往后跳重点回顾 1. 一个二维空间中的向量12=aa 有两个分量1a和2a。 2. 1111122222,ababaaaababaa，按照分量进行。 3. , 与的一个线性组合是一个向量，如234。 4. 如果, 与是三维空间中的向量，那么有一种漂亮的情况是： 的全部线性组合 一条直线 与的全部线性组合 将填满 一个平面 , 与的全部线性组合 整个三维空间 高等代数作业(数 2 班) 1 描述116 与011 的全体线性组合。找一个向量，使它不是与的一个组合。 2. 10 ，01 ，请按下列两种情况分别描述全体向量a与全体组合ab： a为整数; 0a .
