《线性规划问题无界最优解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性规划问题无界最优解（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、安徽工举院举报? 幻!#%?一.其中,为维向量83为维常向量8为:维常向量,且李,#?,;8.为:阶矩阵,.:,;,#.?:,#的列5句量用9,9,。表示且子,?,一,检验数取99?2一34 1一9?,的形式。其中,=。1一就是线性规 划的单纯形乘子。本文所指的向量范数一律指范数,即对于向量?,9,。.?,使,9为的第个分量.称67问题存在无界最优解。定理?设6 7问 题存在最优解,则。存在无界浪优解的充要条件是9对于 任何一个给定的最优解,都存在向 量以.?,屯,屯屯。.丫.4,屯,.二?,使 =,.仍为最优解。其中为任意王数。证明充分性显然。下证必要性9设6 7问题最优解集为。则对于任意,
2、因67问题存在无界最优解,故有。?, ,使对于任何一个给定的正数。,总存在 4,满足9!。,则9本文收 5日期? +0年?月日安徽工学院学报?百+?年/月即9(5一(.9 一?。:;一5?43 4,?.假设定理不真,则存在4,对于任何维向量梦.,】 梦卜?,都存在一个有限的对使使),心. 夯,使9,仓.仓。因为6 问题最优解要求各分量非负,所以,于任何含有负分量的维 向量8,?=一卜?,必存在有限 的 ,=一.,=一.仓一。即对于任何=,酬?,总存 在 有限的 ,屯.,=.。由的凸性,对于任何,屯.,=.、5 屯。 ?; 】5一5.为6 7问题的一个无界最优解扩张向量。不必要求 训?。定理设9
3、,9是相互独立的 任意非 负参数序列,;“.,;.,4 ,.是不含负分量的维非零向量组,则吕 ? 名屯.5二?为6户问题最优解的充要条件是9,.为675 题最优解,?.#;?4,二?,)8,?.21;,. 二 4,?,一)。证明充分性显然,下证 必要性9仍设为67问题最优解集。因巾,故吕北?乙;,二!.4?,.#?#兄8,#;,.? ?, .台 21二2, 乙,31; ,.?)二?其中,护为67问题目标函数最大值。在,.、, .、,.中令8?4,?,21?)所以,。又令9?,9“#;吸盖.?,.,),则 。,# 二,?。则9第+卷第期线性规划问肠的无界优解/ #,使得9)乙 咬一;,.一 ?
4、则9对于任何 4,名8;“., 二?令;?一,.,则,“.?,”;,由定理、推论?及定理?不难证明9推论67问题存在无界最优解的充要条件是9存在“, ,。,铸.且,. 一.?定理9设是67问题的一个最优基,那么,问题存在无界最优解的充要条件是9存在#的个列向量7一8,9,和个正数入9,入9,入、,.?使9 ,.刀入。一7一乙,? ,?.刀入,39一341一)、.?证明,必要性。不失普遍性,设?,7979夕。.,一?石?,石9,。.1因为问题存在 无界最优解,由定理?可知,存在维向量。?,。9,;。.1.,由 的任意性,不必要求?;55?.,使?,石9,二,4,4.1;,为67问题最优解集.,其
5、中是任意非负实数。设“的最后一个非零分量为;,即9 ;4,; 8? 一;?,?兰兰,由定理可知#;?4,所以,刀;一一? ?故79,7,线性相关,则:。不妨设?:,.?,并设,9,; :,均为正数,令9入?;二,?,设入?,入9, 入、.1?,;二,9,;.1,;。二,;9,;.,则9?; 入? 互、一一;口毛设#二, .,二,。,十.,?,二,97。.,由#; ?,可知;入?,所以,;。?一一入因; ,故 一入?艺入一7二十,兰 ?又由定理,得31 ;二。,令3?,39,=二.1,=。? ?,=。9,一,3十.了则/ 安工举院学报? ?+ ?年/月=1 ;?=1;。=1入?一=)1一(入=4
6、1入?,=41一=4 1一(.入?名入,=二,9一=。,一(7。,. 二?二充分性。仍设#?, .,?,二.,3?,39 131=、1.,入?,乳,久9入.1,且有9 艺入一7。,兰 ? 刀孔,=口,一=41一(7二.?则一入续,=1一=。,一.入?令9卜、 几人 5入一了了 、 、? 了 了 、一一其中为任意非负数,设) 为67问题最优值,则可以验证9义.仇#?,=了?) 因,故问题存在无界最优解。”下面介绍一个直观性强,而又便于使用的推论9推论设是6 7问题的一个最优基,如果在以为基的单纯形表中,有一列数字 全部非正,且对应的检验数为零,则问题存在无界最优解。为了证明定理,先做一些准备工作
7、。设?,79二气7二.是67问题的一个基,不必可行.,如果一的第个分量等于零,则称78为的一个退化向量,否则,称78为的一个非退化向量。由线性代数知识 可证 下列 引理成立9引理?如果是退化基,只要一个基含有的全部非退化向量,则9,.也是一个退化基8,.中所有不同于的非退化向量的向量都是退化向量,? ? ?.如果的每一个非退化向量 在两个基中的次序相同,则有一?一。我们称和是同解的。引理设是6 7问题的一个基,不必可 行.,?,797二.,如 果向 量79,7、,7:十9,十9线性独立,:乙,:.,.?,那么,一定可以从向量7、9,7。中选 取:一一个向量,使它们与,。十9,。一起构戍一个基,
8、不必可行.。5定理设是67问题的一个最优基,是的基本解,“是一个无界最优解扩张 向饭户第+卷第期线性规划问肠的无界最优解乡量,如果;中恰有一个非零分量对 应着的非基变量,那 么,对于任意给定的正数,?十;都不能表示成问题 的基 本最优解的凸组合。证明不妨设?,99户二.,; ?,;,;9;4;。94.1,其中;。,9。假设能表示成 基本最优解的凸组 合,因基本最 优解的个数有限,设可表成其中个基本最优解,“,的 凸组合9?艺入),.名入8?,入?,一因。、9?一。二,故必存在一个基本最优解 ,?续,使壮、孟季主?告?,设“对应的基为“,则“一定含有非退化向量二,9,如果,“中含有。十、,乙%兰
9、一:,那么,必为,“的退化 向 ,由引理?,引理可知,一定可以从78,7,7口巾挑选出某个向量代替7,而组成一个和,“同解的基,不妨设,中怀含有7。,9,7。中的向量,进 一步可设, ?,7。,9797二.,由定理的证 明可知9,;9,;9,;二.1? ?一 ;。,9一十94,设9=互“5,?,:则9一7二,?,日9日日:.1一,. ?一,二,8二.5 _ _ _ 少氏队。氏了犷5 _气由于、,“都是基,所以;,一“.?:,则日9手又日9乙4,故日9,。设一?,9,石9,二.1,在 引理?的证 明中,令?,石9.,?,石9,石。.1,?、。9,?,。9,。.,则一,爵.石9日9玩一氏石,.一?
10、。二一攀。二75因,“为最优基,所以石,日,.4,又 因为也是最优基,故9.,因为日9,所以,。9二4,即9争?。,故7二十9为 ,“ ,的退化向量,从而导出矛盾。75 由线性代数知识易证9、4 ,七安徽工学陇学报?+?年/月引理设9,9,线性无关,?乙兰一?,并且!能被,9,线性表出,?共乙,其线性表达式为、 7!?习;、? ?则对于任意一个,续杀,只要;、牛4,那 么,一就和9,9,卜,。9,线性无关。考虑齐次线性方程组#?,.设是,.的一个非零解,又称正解.,记中非零分量 的个数减去各非零分量对应的,系数列向量的秩所得的差为,.,则,.5。定义+,.的一个正解称为标准正解。如果又满足下列
11、条件9今工一一.?。引理如果齐次线性方程组,.有一个正解,那么,必有一个满足条件=的标准正解 。条件=是9对 于二?,只要,?,则?。证明如果,.?,令9,?!,?,其中,。?95万万下,则一,9 ,9 ,。.就是一个满足条件2的标准正解。分!?5如果 ,中只有两个非零分量,显然,.?,则引理为真。设中有个非零分 量,且,.?,设中非零分量对应的系数列向量的秩为,不妨设9,9均为正数, 且对应的系数列向量79,7,线性无关,:,并设79,797线性无关,而的另外个非零分 量设 为二9,?,二,二十、,二,即94,.1则7二9,7二均可由9,9,线性表出。令:,9?,二十9? 一。?4,可得,.
12、的一个非零解?,9,9,?,二心.1,显然,.?。先证如果:,则99二一二?4。假设此结论不成立,不妨设,9姜,则由#二,9?4,可得二9?一乙一),由引理可知,二9与,?5?7,7二79十9,7。线 性无关,这 与前面讨 论所 得的结 果“7。,79线性表出矛盾”。故可写成9?,9,9, 二,?7。十,均可 由.1797一第+卷第期线性规划问题的无 界最优解其中二9二?,即满足条件=。如果是一个正解,令9,二以,?,一,其中,。,?万万,。5一、9,。,就是一个满足条件2。标,正尸!二?解。如果中含有负分量,令玉、。?:;土一8 8。,!?,”,少?一二二5,?4艾则 ,为,.的一个正解,而且满足条件=。此外更有 ,、二,而今,即 ,.?,可仿照 上面的方法构造出一个满足条件=的标准正解 ,如果, ,.,可仿照上面方去钩告出一个非零分量 的个数少于一?而又满足条件=的正解,再重复这种构造过程,最终一定能构造出一个满足 条件=的标准正解。?定义67问题的一个无界最 优解扩张 向量心称为标准的,如 果=又满 足9 ,.名=,?8 ?,?.,=.?。定理)如果6 7问题存在无
