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1、第四章习题课基本内容1线性有界泛函:fDX满足()()()fxyfxfy，线性若xD，|() |fxMx称 f 有界2线性有界泛函的范数|( ) |sup |xfxf x| |1| |1|sup |() |sup |() |xxffxfx共轭空间（ Banach空间）*()nnRR，*()pqll，*(,)pqLa bL，*HH基本定理：延括定理：GX是线性子空间，:fGX是线性有界泛函， 则*FX，使（）当xG时，()()Fxfx；（）|XGFf两个推论：（） （Hahn Banach定理） 设Xl.n.s，0xX，0x， 则*fX，|1f，00()|fxx（）设Xl.n.s，GX是线性子空
2、间，0xX，0(,)0dxG，则*fX，满足（）xG，()0fx；（）0()fxd；（）|1f3线性有界算子1X，2Xl.n.s，1DX线性子空间，2:TDX满足()()()TxyTxTy4线性有界算子，算子范数5基本定理引理：（开映射原理） ：若1X，2X是 Banach 空间，12()TB XX，且2()R TX，则 T 为开映射 逆算子定理：设1X，2X都是 Banach空间，12:TXX满射，可逆的线性有界算子，则 T的逆算子1T是有界算子 闭图像定理：设1X，2X都是 Banach空间，12:()TD TXX是闭算子，其中()D T是1X的闭子空间，则T是线性有界算子 共鸣定理：设1
3、X是 Banach空间，2X是 l.n.s.|iXiA是一族12XX的线性有界算子，则|iTiA有界1xX，|iT xiA有界6强收敛与弱收敛 l.n.s中的点列的强、弱收敛（）若|0nxx，称nx强收敛于x，记为nxx；（）若*fX，|()() |0nfxfx，称*nxx（弱收敛） 有限维空间中，强弱收敛等价 弱收敛的判别（等价条件）*nxx（） |nX有界；（）*MX（稠密），使*fM，0|()() |0nfxfx 算子列的各种收敛性：（）一致收敛：|0nTT；（）强收敛：|0nT xTx；（）弱收敛：|()() |0nfT xf Tx，*2fX，1xX特别泛函列nf：（）强收敛：|0nf
4、f（对应一致收敛）；（）弱*收敛：|()() |0nfxfx（对应算子列强收敛）7共轭算子设1X，2X是同一数域上的 l.n.s.12()TBXX，*21:TXX，如果对任何1xX，*2fX，都有*()()()TfxfTx或*(,)(,)x TfTxf成立，就称*T是T的共轭算子（也称伴随算子） 共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数） ：设12()TB XX，*T是T的共轭算子，则*T是*21XX的线性有界算子，且有*| |TT定理（共轭算子的性质） ：（1）*()aTaT；（2）*2112()TTTT；（3）*1212()TTTT；（4）12:IXX, 则* 12:IXX8自共轭算子H是 H
5、ilbert空间，若,xyH，(,)(,)Txyx TyT自共轭算子Th（自共轭算子的充要条件） ： H是复的 Hilbert空间， T为自共轭算子xH，(,)Txx为实数性质： （1）特征值为实数；T1X*1X*T2X*2X（2）不同特征值的特征向量正交投影算子：0P xx. （0xxz，0xM，zM） 举例例 1设21, XX是snl.，)(21XXT，则TXXBT)(21应某个内部非空的有界集为有界集。证：)(设01, AXA（0A是A的内部）2XTA有界，取AraO),(（0A） ，,0r令|supTx Ax，,0,1xXx有),(|1raOxxra，因此|)|(|1xxraT可以推出
6、rxrxTax xraTTx/|2/|) |(|因此T有界。)(显然成立。例 2设)(YABT，A是X的稠密子空间，Y完备，则唯一的)(YXBT，使得|,TTTT A。证：Xx，取,Axn使)(nxxn。因|nmnmxxTTxTx故nTx是Y中的Cauchy列；由于Y完备，必存在nnTxlim，记为xT，这与nx的选取无关 （事实上，若)(Axxxnn，取,2211xxxxyn，xy，则nTy为Cauchy列，xTTyn，则xTxTn） ，这样就定义了一个算子YXT :，T显然是线性的，且TT A。由|lim|lim|xTxTTxxTnnnn故|TT，故)(YXBT。因|,xTxTTxAx，故
7、|TT，因此|TT。若有某)(YXBS亦满足,TSA则Xx，取,Axn，使xxn，则xTTxSxnnlim，因此TS（唯一性得证）。例 3设YX ,.snl，Xdim，0Y，则存在无界线性算子YXT :。证：Xdim，可取线性独立的可数集,XxAn可设,1|nx取Yyy,0，定义算子T：nyTxT可以自然的扩张到SpanA（如),YxTxTTySpanAxxy。则X可以表示BSpanAAX，Bx定义0Tx，则T是一线性算子，)(YXT，因|sup|sup|sup1|nyTxTxnn nx故T是无界算子。例 4设),0,0,(21nnxxxxT，2lxxn。证明)(22llBTn，求|nT。证
8、：)(22llBTn显 然。|xTn|),0,0,(21nxxx|,| x因 此1|nT。另一方面，设ie是2l的标准正交基，则1|ne，nnneeT，故|1ne=|nnnnnTeTeT，故1|nT，故1|nT。例5 给 定.).(snlXa， 令TaT )(（)(XXBT， 证 明),(XXBB求|。解：此题中，a是固定的，T成了“自变量”，)()()()(STSaTaaSTST（)(,XXBST可见:XXXB)(是线性算子。由|)(|aTTaT)(XXBT得|a；XXXB)(。取IT，得|)(|IIIaa| a；| | | | |a。例 6 设YX ,是Banach空间，)(YXBT是一个
9、单射，存在Xxn，使得)(|1|Nnx nTxnn，证明)(TR在Y中不是闭的。证： 用反证法。若)(TR在Y中闭，则)(TR作为Y的子空间是一个Banach空间，于是)(:TRXT是一个线性等距同构（T是单射，2121,TxTxxx） ，由逆算子定理知，)(1XTRBT，这与以下事实相矛盾。.|)(|1nnnTxnxTxT例 7设X是,.snl设Xxk，*Xf，1|)(|kkxf，证明1|)(|kkfMxf。证：定义算子lXT*:lX,(*均为Banach空间） ，)(kxfTf。若 在*X中ffn， 在l中)(knaaTf， 则 必 有)()(kknxfxf=),(NknakaTF。于是由
10、闭图像定理知),(*lXBT，即得证。MT |，故*Xf，.|fMTf即1|)(|kkfMxf。例 8 设X是Banach空间，Y是,.snl，)(YXBTn，|)(|supxTfn n（*,YfXx） ，证明|supn nT。证：Xx，由|)(|supxTfn n，则|sup1xTn n。（事实上，*Yf，|)(|xTfn是有界的，0fC，使fnCxTf|)(|（fC与f有关，而与n无关） ，作映射*)(:YTxTx，然后再对nT应用共鸣定理可得|supn nT。例 9 设RXf :是一非零线性泛函，证明：（1）f有界)( fN是闭子空间；（2）f无界XfN)(。证：,0fXfN)(。（1）若f有界，则f连续，因而)0()(1ffN是闭集（设0),(xxfNcnn，则00lim)(lim)lim()(0nnnnxfxfxf，).(0fNx（2）反之，若f无界，则Xxn，使|)(|nnxnxf。今证XfN)(（这会推出)( fN非闭，因而问题得证） 。Xx，有)( )()(fN xfxxfxynnn（0 )()()()()(nnnxfxfxfxfyf），|xyn0|)(|)(|)(|nxfxfxxfnn，这表明)( fNx，故XfN)(。
