波动的有限元模拟_基本问题和基本研究方法

《波动的有限元模拟_基本问题和基本研究方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《波动的有限元模拟_基本问题和基本研究方法（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、?卷?期?年? ?月地震工 程与工程振动? ? ? ? ? ? ? ? ?扭? ?,? ?。,?波动的有限元模拟基本问题和基本研究方法一二二廖振鹏刘晶波?国家地震局工程力学研究所?提要本文以紧凑形式给出了可以直接用于波动有限元计算的透射人工边界公式。为了阐明离散化 误差和由人工边 界引起的振荡失稳的基本概念,作者利用简单的一维模型详细分析了波动有限 元 模拟中遇到的这两个主要问题。基于在离散和连续模型中波动规律差别的分析,首先研究了离 散 化误差。这一研究导致对可能实现波动有限元模拟的频段的识别,以及采用一种兼备有限差和有限元优点的集中质量离散模型的建议。根据波在人工边界的放大效应和在有限离散

2、模型中多次反 射的概念在频域内阐明了这一常见的振荡失稳的机制。在此基础上提出了在保证数值计算精度的 条件下通过对人工边界附近节点运动的修正来消除振荡失稳的措施。本文还似一维模型 为例给 出了人工边界条件的稳定性准则。引言时域有限 元法不但可以用 于研究复杂介质中的线性和非线性波动 问题,而且利用计算机图形仿真技术还可 以把波动过程动态地显示出来,直 观地揭示与震源和传播路径等有关的各种物理因素和波动特征之 间的关系。因此,这一方法是研究土程科学和地学中一系 列 重要波动问题的有力工具。为了完善这一工具,需要研究以下问题?从无限介质区中切取出有限计算区时 引入的人工边界,?时空离散化对波动 规律

3、的影响?由人工边界的引入而引起的波动问题时域有限 元解法的稳定性。对于上述问题,作者 曾进行过简要 的讨 论“,本文将系统地阐明这些问题。文中首先以紧凑形式给出可以直 接 用于有限元计算的透射人工边界条件。然后通过一个简单的一维模型阐明解决后两个问题的 基本方法和 基本概念。二、人工边界人工边界问题,即如何在有限计算区边界上建立数学条件以模拟无 限域内波的 辐射 条件,是一个难题。近? ?年来已提出了许 多种人工边界?“。在所有这些人工边界中物理概念清楚、精度高并且易于在有限元法中实现的边界建立在如下思想之上?在原来的实际介质中人工边界并不存在,建立这一虚拟人工边界最自然的办法是直接在边界上模

4、拟波从有限模型的内部穿过人工边界向外透射的过程。因此,人工边界离散节点在下一时刻的运动可以用邻近?地震工程与工程振动?卷的内部离散节点在现在时刻及较前若干时刻的运动确定。如果假定入射波垂直 于人工边界,则模拟透射过程的上 述思想容易直接在离散模型上实现?,可以证明,由入射波垂直 于人工 边界的假定引起的误差 仍然是一个与原外传波传播方向和传播速度相同 的向外射出 的波,因 此,也可以采 用 与处理原外传波相同的透射方法处理 上述误差波?,。?述思想 的反复运用 导致了多次透射公式的建立”一?例如文献?中式? ?、。由于透射公式中涉及 的计算点与离散模型的节点往往不重合,为了将透射公式直接用 于

5、有限元计算,必须 用插值方法将它改写成用离散模型节点运 动表示的形式。在众多可供选择的插值方案中,一种优良的内插方法由文献的给出,利用此内插方法透射公式可以改写成?罗?乙?一?十?督于?瓦?其中,正整数?称为透射阶数,可十表示人工边界节点?图?在?二? ?时刻 的位移,简称节点?在?时刻的位移?下同?,尔为时间步距、?为正 整数?列向量气 表 示 节点?及 与节点?相邻 的若干节点在?一。?时刻 的位移,?一?,?罗二璧?,“亨二共屯?行向量?。?,?,?,?,式?中?一?,?才?,?亡全,?,?,?二?。?蛋,?于?,?。?互,?,?,?,?刀?二?”?二?,?,?,任意正整 数?式?中记号

6、名表示对 所有满足 条件?礼,?一?一?,?。?,?,? ? ? ? ?月月, ,?一一?百百, ,几龟 ,? ? ?一?一一?么?一一? ? ?血血叫叫 ?三 ?入一一, ,? ? ? ? ? ? ? ? ? 目一口? ?,? ? ?李李一? 一? 弋弋?一?一阅阅全一一奋一一一祖祖卜?一一一一一月月? ? ?一? ? ? ? ?一? ? ?一? ? ?一? ? ? 峨峨峨卜一一一一一闷闷卜一?浦浦卜一一一一一? 通通卜一一一一专专一一一一一一闷闷嘴嘴嘴卜一一? 一? ? ? 卜一?一?一沼沼卜一? ?叮叮诊一一一一通通卜一一一?一研研日日司司?日日图?人工边界节点及式?涉及的节点编号?期波

7、动的有限元模拟的项求和,而?一?一?,?。?一?,?。二?一?式?中“?“。? ?,欠为空 间步距,?。称为人工波速,二项式系数亡誉? ?一?。?人工边界条件式?可以容易地合并到有限 元计算中以模拟向量波?平面内波动或三 维波 动?或标量波? ?波或声波?的传播。对于向量波情形,式?中“兮 应理解为位移向量 的一个分量。式?的收敛性巳得到了证明。一。,式?误差的量 级为? ?八?勺或。?乙? ?勺,其中久和?分别为简谐平面波的波长和周期。因此,透射人工 边界式?的精度可以和任何有限 元法的精度相匹配。三、离散误差和离散方法?离散误差用有限元 法模拟连续介质中的波动 时必 须考虑离散化引入的误差

8、。这是因为在离散模型和 相应的连续介质中波动 的规律有本质的差别。为了具体说明这一差别的实质,我们将分析一个简单的但富有启发性的实例,即分析和对比在半无限均匀弹性杆和 它的相 应 的离散模型中波动特征的差别。在这一实例中连续模型的运动方程为?“?义,?“拓?戈,?其中?义,? ?表示在点?和时刻?的纵向位移,常数?。为直杆中纵波的传播速度。设杆端?二?,图?的运动为?,?。?,?式中“。? ?为巳知 时间函数,则在式?给定的边界条件和零初始条件下 式?的解可以写成?,?“?一 义?。?,? ?式? 。?表明连续模型 的解为具有确定波形的波动。用集中质量有限 元法【。形成 的相应离散模型 的运

9、动方程可以写成衅?二?林卜衅一?八下?扭亨?一?林亨?杯?一,?,?式? ?中,乙?二乙?。/x,u亨= =u(夕A二,p乙t)和厂,户二0, 1,2(图2)。J一ZN一l j一1t之j 匕d 七= 盆=山匕JL韶胜孟礴 r 刁X卜、+x十乙x十知十:十x十 ,升乃x十叫,叫卜- ( Z N十1)么:-一一叫图2半无限匀直弹性杆及其离散模型设在杆端节点。的输入运动为简谐振动,u。 (公)二U。exp( ioP乙t)(12) 式(12)中U。和“分别表示振幅和圆频率,在第了个节点的运 动可以表示为地震工程与工程振动9卷u亨=U, e义p(玄。p乙t),夕=1, 2,。(13)将式 (13)代入式

10、 (11)可得频域内的离散运动方程。这一方程的解具有如下特征 ”一“。第一,当。N时离散模型中的运动实际上将以低于。N的频率出现,这里,。N=二/t为时 域离散化引入 的奈奎斯特(Nyq琳s约圆频牢。第二,在。毛。(。N频段内离散模型的解为.U,=U。 (一p) (14)式 (14)中,p为相邻节点振幅之比,p=s艺n (。/。: )s云n一A丁/A:一 (51炸( (。加:)51。一八:)/:)2一1/2“ (15)由时空离散化引入的截止圆频率。:由下式给出,。:=(2/二)功、sin一:(1 6)由解答式(14) 给出 的运动称为寄生振荡,这是因为它是非行 进的、通 常只 在 激励源的 邻

11、近节点上出现。最后,在0(。(。.的频段内,离散解为 Us=U。e大p(一夕北乙x)(1 7)式(17)中波数丸=。/ c,相 速度c可以表示为(。/。.)s艺n一:s艺n(“/。:)S玄九二八:)乙T(18 )丁s艺n一 1因此,在这一频段内的运动是行 进 的,但是,是频散的波动。对比式(10) 和 式(1 4一18 )可以清楚地揭示连续和离散模 型中波 动特征 的 差别,这些差别对这两 类模型是典型 的。根据这些差别可以作出如下结论:(1)对于大于 某一临界频率 (例如,对所讨论的一维模型。)。,)的连续介质内的波动不 可能用离散模 型模拟,由这一离散模型 获得的在这些频率上 的信息必须从

12、数值结果中排除,(2)模拟可能在较低 的频段(例如,。1的频率)小于但接近于截止频率。.;最后,注意到 式(28)也可以清楚地解释为什么透射阶数N越高,振荡失稳发生得越早并且越 严重这一 现象。i i i月二二 l- - - U普由本文给出出l。召召口口l l l 二二一U誉由文献给出出。乡 月月一1. . .一一一U含 很据文献15_/J J J, ,、 中中的方法给出出出出少少 、 军军军军军军 、 J J J尸尸 到到J J J户户户 一一.尹. . . . .尹尹尹 二二,矿军二一一一一一一_ _ _/,二二川二滋一一一一一夕一、奋.,户一一一. . .,一:口.一一一一一, , ,U

13、 U U - . .二犷几.一. . .自口. 喇口州 . . . . . . . . . . . 奋奋二二口. 戊戊 屯屯多多勺勺二二二 二二二二二二二汤口目一. . . . .- - -一1. 1 1 1U, , , , ,.口- - -aa二0。5.1.b,a二2. 01. 7,1.6, 1. 2, 0.8图5一维模型的反射因子3.模拟的精度(l)人工边界的误差人工边界的误差通常用反射系数R。=Uf /U若表示,其中U去和Uf分别表示入射波和由人工边界引起的反射波在人工边界上的 幅值。应 该特别指出的是,由本文给出的反射系数R。(或者U季)不同于 以往的R。一”或根据以往的方法“推得的R

14、。在以往确定Uf的结果或方法中某些 重要 的因素未被考虑,这 些 因素包括时空离散化的影响、实现透射公式 所需的插值方法的影响 和反射波对人工边界条件中涉及的总位 移的 贡献。由本文给 出的Uf(或 上述一 维 模型中的U梦)真实地反映了人工边界的反射,因而用它河以合理地解释振荡失稳现象。根据式 (19) 和式(28)可知,IU会卜 ! f州IU百,本文给出的Uf与其它结果之间的差 别,可以通过对比用各种方法得到 的反射因子的幅值If相对无量纲频率。/。:的变化曲线看出(图sa )。从图中可以看到本文的结果与以往其它结果差别很大。例如,考虑了反射波影响的实线当频率。、0时 并不趋于零,考虑内插

15、方法的实线与未考虑内插方法的虚线相差显著,同时,几乎在整个频段内内插方法似乎有利于减少误差。(2)波动有限元模拟的总误差为了估计有限元模拟的最终精度,必须考虑其总的误差。总误差除来自上述的人工 边界误差 外还来自离散模型 的有限性。总误 差可以表示为期波动的有限元模拟E:= (1)(36)其中UI(1 )为第一个波动循环的入射波在节点夕的幅值,即不存在人工边界影响时离散模型的精确解, U江o o)为j点实际运动的幅值,即有限离散模型节点位移振幅的精确解。U,( c o)可通过令式(32)中M,c o得到。将U,(o o)代入式(36)可得E,二(1一 a“, )a一 “了 fN1一 a一2了 fN(3 7)图6示出选取不同的透射阶数N及波速比a = c / c。时模拟的总误差IE,1。图6可用 于说明对选取