《凸函数的算子凸性估计及其在算子平均中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《凸函数的算子凸性估计及其在算子平均中的应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、V o 1 3 4 ( 2 0 1 4 ) NO I 数学杂志 J o f Ma t h ( P R C ) BOUN DEDN ESS OF OPERATOR CON VEXI TY FOR CONVEX FUN CTI ONS AN D APPLI CATI ON S FOR oPER 觚 oR M EAN S Z UO Ho n g l i a n g ， DUAN Gu a n g - c a i ( C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e ， H e n a n
2、 N o r m a l U n iv e r s it Y ， ) 札 z i 0 n g 4 5 3 0 0 C h i n a 1 A bs t r a c t ：I n t h i s p a p e r ， we e s t i m a t e b o u n d e d n e s s o f o p e r a t o r c o n v e x i t y f o r c o n v e x l u n c t i o “ S As a n a p p l i c a t i o n ， w e o b t a i n s o me r e l a t i o n s b e
3、t we e n t h e p o w e r o f o p e r a t o r me a n s( a r i t h me t c m0 n ， g e 0 me t r i c me a n ， c h a o t i c a l l y g e o me t r i c me a n ) a n d t h o s e me a n s o f o p e r a t o r p o w e r s I n p a r t i c u l a r we o bt a i n t h e o r d e r r e l a t i o n b e t we e n a r i t
4、 h m e t i c m e a n a nd c h a o t i c a l l y g e o me t r i c m e n Ke y wo r ds ： o pe r a t o r c o n v e x ；a r i t hme t i c me a n ； g e o me t r i c me a n ； e ha o t i c a i y g e o me t i e me 帆 2 0 1 0 MR S u b j e c t Cl a s s i fi c a t i o n： 4 7 A5 6 ； 4 7 L 2 5 Do c u me n t c 0 d e
5、 ： A Ar t i c l e I D： 0 2 5 5 7 7 9 7 ( 2 0 1 4 ) 0 1 0 0 6 5 _ 0 7 1 Pr e l i m i na r y Th r o u g h o u t t h i s p a p e r ，a c a p i t a l l e t t e r me a n s a b o u n d e d l i n e a r o p e r a t o r o n Hi l b e r t s p a c e H A n o p e r a t o r A i s c a l l e d p o s i t i v e ， i n s
6、 y mb o l ， A 0 i f ( A x ， ) 0 f o r a l l H i s c a ll e d s t r i c t l y p o s i t i v e( s i m p l y T0 ) i f T i s p o s i t i v e a n d i n v e r t i b l e ， 叱 a r e p o s it iv e n u m b e r s w it h O Li =1 A c 。 n t i n u i 。=u1s f u n c t i 。 n厂 。 n i n t e r v a 1 i s c a l le d。 p e r a
7、 t 。 r c 。 n v e x 。 n ， i f g ( A ) ， ( B) c ， ， ( ( 1 一 ) + ) ( 1 一 ) 厂 ( ) +a f ( B ) h o l d s f o r 0 ， 1 】 Co n v e x f u n c t i o n s a n d o p e r a t o r c o n v e x f u n c t i o n s a r e d i ff e r e n t Ty p i c a l e x a mp l e o f s u c h f u n c t i o n i s t o n( 0 ， 。 。 ) ， w h i
8、c h i s a c o n v e x f u n c t i o n for 7 2 ， b u t i s n o t o p e r a t o r c o n v e x I n An d o ， Li a n d M a t h i a s p r o p o s e d a d e fi n i t i o n o f t h e g e o me t r i c me a n for a n礼 t u p l e o f p o s i t i v e o p e r a t o r s a n d s h o we d t h a t i t h a s ma n y r
9、e q u i r e d p r o p e r t i e s o n t h e g e o me t r i c me a n F o l l 。 w in g【3 ， 4 ， w e r e c a l l t h e d e fi n i t i o n o f t h e w e i g h t e d g e o me t r i c me a n tin ， t w it h t 0 ， 1 G 一1 ， 纠 ( ( 一 1 ) J ) ：G 一1 ， ( i 一 ， ， ， ， 一， 一 ) Re c el ve d da t e ：2 0 1 3 0 2 0 8 Ac c
10、 e pt e d da t e ：2 01 3 0 5 0 7 F b u n d a t i o n i t e m： P a r t i a l l y S u p p o r t e d b y N S F C( 1 0 4 7 1 0 8 5 ) ； t h e B a s i c S c i e n c e a n d T e c h n o l o g i c a l F r o n t i e r Pr o j e c t o f H e n a n P r o v i n c e( 1 3 2 3 0 0 4 1 0 2 6 1 ) Bi 0 g r a p h y ：Z u
11、 o H o n g l i a n g ( 1 9 7 6 一 ) ， ma l e ， b o r n a t N a n y a n g ， H e n a n ， p r o f e s s o r ， P h D ， m a j o r i n f u n c t i o n a l a na l y s i s J o ur na 1 of M a t he m a t i c s Vo1 3 4 i n d u c t i v e l y f o r r T h e n t h e s e q u e n c e ) o h a v e t h e s a me l i m i
12、t fo r a l l i =1 ， 2 ， ， n i n t h e Th o mp s o n me t r i c S o we c a n d e fi n e G ， t ( A 1 ， A 2 ， 一， A ) = l i m ) r S i mi l a r ly , w e c a n d e fi n e t h e w e i g h t e d a r it h me t i c me a n a s f o ll o w s ：L e t A 2 ， t ( A i ， A 2 )： ( 1 一t ) A1 +t A 2 F o r 几 3 ， p u t 。 =A
13、 for a l l i =1 ， 2 ， ， n a n d = 礼一1 ， 叫 ( ( 一 ) J t ) ： 一1 ， 叫 ( 一 ， ， ， ， - ， 一 ) T h e s e q u e n c e ) h a v e t h e s a me l i m i t f o r a l l i =1 ， 2 ， ， 佗 ， S O i t s e x p r e s s e d b y An ， t ( A 1 ， A 2 ， ， A ) = li m r o。 He r e we i n t r o d u c e t h e f o l l o wi n g po we r m
14、e a n s ： for p o s i t i v e i n v e r t i b l e o p e r a t o r s AI ， A2 ， ， n ， d e fi n e F ( r ) = ( ( A ， A ； ， ， ) ) ， e x p ( Vn ( 1 o g A1 ， lo g A 2 ， r0 ； ，l o g A ) ) ， r =0 I t i s c le a r t h a t F( r ) i s mo n o t o n e i n c r e a s in g u n d e r t h e c h a o t i c o r d e r ， b u t i s n o t m o n o t o n e u n d e r t h e u s u a l o r d e r B e s i d e s ， F( O ) i s c a l l e d c h a o t i c a l l y g e o me t r i c m e a n fo r A I ， A 2 ， T h e o r e m A 6 - 8 L e t 02 ， t h e n ( ， r ) ( ( A 1 ， A ， 一， A ) ) ( A ， A ， 一， A ) K+ ( h ， r ) ( a ( A 1 ， A ， ， A n )
