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1、第 1 页 共 23 页19921992 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三试题数学三试题一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分, ,把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上.).)(1) 设商品的需求函数为1005QP,其中,Q P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_.(2) 级数21(2) 4nn nx n的收敛域为_.(3) 交换积分次序2120( , )yydyf x y dx_.(4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵
2、,且0,0AAa Bb CB,则C _.(5) 将, ,C C E E I N S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENCE的概率为_.二二、 选择题选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中, ,只有一只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的, ,把所选项前的字母填在题后的括号内把所选项前的字母填在题后的括号内.).)(1) 设2 ( )( )xaxF xf t dtxa,其中( )f x为连续函数,则lim( ) xaF x 等于()(A)2a(B)2
3、( )a f a(C) 0(D) 不存在(2) 当0x 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ()(A)2x(B)1 cosx(C)211x(D)tanxx(3) 设A为m n矩阵,齐次线性方程组0Ax 仅有零解的充分条件是()(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关(4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则()第 2 页 共 23 页(A)( )( )( ) 1P CP AP B(B)( )( )( ) 1P CP AP B(C)( )()P CP AB(D)( )()P CP AB(5) 设n个随机变量
4、12,nXXX独立同分布,2 1 11(),ni iD XXXn2211()1ni iSXXn,则()(A)S是的无偏估计量(B)S是的最大似然估计量(C)S是的相合估计量(即一致估计量)(D)S与X相互独立三、三、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设函数lncos(1),1, 1 sin( )2 1,1.xx xf xx 问函数( )f x在1x 处是否连续?若不连续,修改函数在1x 处的定义使之连续.第 3 页 共 23 页四、四、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )计算arccot.xxeIdxe五、五、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )设sin()( ,)xzxy
5、xy,求2zx y ,其中( , )u v有二阶偏导数.第 4 页 共 23 页六、六、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )求连续函数( )f x,使它满足20( )2( )xf xf t dtx.七、七、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )求证:当1x 时,212arctanarccos214xxx.第 5 页 共 23 页八、八、( (本题满分本题满分 9 9 分分) )设曲线方程(0)xyex.(1) 把曲线xye,x轴,y轴和直线(0)x 所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积( )V;求满足1( )lim( )2V aV 的a.(2) 在此曲线上找一点,
6、使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.第 6 页 共 23 页九、九、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )设矩阵A与B相似,其中20010022 ,02031100AxBy .(1) 求x和y的值.(2) 求可逆矩阵P,使得1P APB.第 7 页 共 23 页十、十、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )已知三阶矩阵0B ,且B的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.xxxxxxxxx (1) 求的值;(2) 证明0B .十一、十一、( (本题满分本题满分 6 6 分分) )设AB、分别为mn、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00
7、ACB是否是正定矩阵.第 8 页 共 23 页十二、十二、( (本题满分本题满分 7 7 分分) )假设测量的随机误差2(0,10 )XN,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字).附表1234567e0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001第 9 页 共 23 页十三、十三、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求
8、X的数学期望EX和方差DX.第 10 页 共 23 页十四、十四、( (本题满分本题满分 4 4 分分) )设二维随机变量(, )X Y的概率密度为,0,( , )0,yexyf x y 其他,(1)求随机变量X的密度( )Xfx;(2) 求概率1P XY.第 11 页 共 23 页19921992 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三试题数学三试题答案答案一、填空题一、填空题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)、(10,20解：根据( )10050Q PP,得价格20P ,
9、又由1005QP得( )5Q P ,按照经济学需求弹性的定义,有( )5 ( )1005Q PPPQ PP ,令55110051005PP PP,解得10P .所以商品价格的取值范围是(10,20.(2)、(0,4)解：因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性.首先当20x即2x 时级数收敛.当2x 时,后项比前项取绝对值求极限有2(1)2212(2)4(2)(2)limlim,(1)4(2)414nnnnnnxnxnx nxn当2(2)14x,即当02202xx或24x时级数绝对收敛.又当0x 和4x 时得正项级数11nn,由p级数：11p nn当1p 时收敛；当1p 时
10、发散.所以正项级数11nn是发散的.综合可得级数的收敛域是(0,4).(3)、221220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy解： 这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成： 原式( , ).Df x y dxdy由第 12 页 共 23 页累次积分的内外层积分限确定积分区域D：2( , ) 01,2Dx yyyxy,即D中最低点的纵坐标0y ,最高点的纵坐标1y ,D的左边界的方程是xy,即2yx的右支,D的右边界的方程是22xy即222xy的右半圆,从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见12DDD,且2 12 2( , ) 01,0,( ,
11、 )12,02.Dx yxyxDx yxyx所以2221212200010( , )( , )( , ).yxxydyf x y dxdxf x y dydxf x y dy(4)、( 1)mnab解：由拉普拉斯展开式,0( 1)( 1)0mnmnACA BabB .【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则*,*AOAABBOB*1*mnOAAABBBO .(5)、1 1260解：按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可.设所求概率为( )P A,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排成一行,其全部的等可能排法为 7!种,即基本事件总数
12、为7!n ,而有利于事件A的样本点数为2! 2!,即有利事件的基本事件数为 4,根据古典概型公式2! 2!1( )7!1260P A.二、选择题二、选择题( (本题共本题共 5 5 小题小题, ,每小题每小题 3 3 分分, ,满分满分 1515 分分.).)(1)、(B)解：方法方法 1:1:lim( ) xaF x 为“0 0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以可应用洛必达法则.2 2( ) lim( )lim( )limxxaaxaxaxaf t dtxF xf t dtaxaxaxyD12O第 13 页 共 23 页2 2( )lim( )1xaa f xa f a .
13、故应选(B).方法方法 2:2: 特殊值法.取( )2f x ,则2 2lim( )lim22xaxaxaxF xdtaxa.显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若( )( )( )( )ttF tf x dx,( ) t,( ) t均一阶可导,则( )( )( )( )( )F ttfttft.(2)、(D)解：由于0x 时,222111 cos, 1122xxxx,故22,1 cos , 11xxx是同阶无穷小,可见应选(D).(3)、(A)解：齐次方程组0Ax 只有零解( )r An.由于( )r AA的行秩 A的列秩,现A是m n矩
14、阵,( )r An,即A的列向量线性无关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax ,有定理如下:对矩阵A按列分块,有12nA, ,则0Ax 的向量形式为11220nnxxx.那么,0Ax 有非零解12n, 线性相关12nr,n r An.(4)、(B)解：依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出ABC,故()( )P ABP C；由概率的广义加法公式()( )( )()P ABP AP BP AB推出()( )( )()P ABP AP BP AB；又由概率的性质()1P AB ,我们得出( )()( )( )()( )( ) 1P CP ABP AP BP ABP AP B,第 14 页 共 23 页因此应选(B).(5)、(C)解：根据简单随机样本的性质,可以将12,nXXX视为取自方差为2的某总体X的简单随机样本,X与2S是样本均值与样本方差.由于样本方差2S是总体方差的无偏估计量,因此22,ESES,否则若ES,则22()ES,22()0DSESES.故不能选(A).对于正态总体,S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差2S是2的一致估计量,其连续函数2SS一定也是的一致估计量.三、三、( (本题满分本题满分 5 5 分分) )解
