《2010年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 18 页20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷真题试卷 数学三数学三试题试题一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. .(1)(1)若若 011lim()1xxa exx，则，则a等于等于（）（）（）（）（）(2)(2) 设设1y, ,2y是一阶线性非齐次微分方程是一阶线性非齐次微分方程 yp
2、 x yq x的两个特解的两个特解. . 若常数若常数, ,使使12yy是该方程的解是该方程的解, ,12yy是对应的齐次方程的解是对应的齐次方程的解, , 则则（）（A）11,22(B)11,22 (C)21,33(D)22,33（3 3）设函数）设函数( ), ( )f x g x具有二阶导数，且具有二阶导数，且( )0gx。若。若0()g xa是是( )g x的极值，则的极值，则 f g x在在0x取极大值的一个充分条件是取极大值的一个充分条件是（）(A) 0fa(B) 0fa(C) 0fa(D) 0fa（4 4）设）设 1010ln,x f xxg xxh xe，则当，则当x充分大时有
3、充分大时有（）(A) g xh xf x.(B) h xg xf x.(C) f xg xh x.(D) g xf xh x.(5)(5) 设向量组设向量组12:, , rI可由向量组可由向量组12II: , , s线性表示线性表示, , 则列命题正确的则列命题正确的是是 （）(A) 若向量组I线性无关, 则rs(B) 若向量组I线性相关, 则rs(C) 若向量组II线性无关, 则rs(D) 若向量组II线性相关, 则rs(6)(6)设设A为为 4 4 阶对称矩阵阶对称矩阵, ,且且20AA若若A的秩为的秩为 3,3,则则A相似于相似于（）(A)1110 (B)1110 第 2 页 共 18
4、页(C)1110 (D)1110 (7)(7) 设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数0,01( ),012 1,1xxF xxex ，则，则1P X （）(A) 0(B) 1(C)11 2e(D)11 e(8)(8) 设设1( )f x为标准正态分布的概率密度为标准正态分布的概率密度2( )fx为为 1,3上均匀分布的概率密度上均匀分布的概率密度, ,12( ),0( )(0,0)( ),0af x xf xabbfx x为概率密度为概率密度, ,则则, a b应满足应满足（）(A)234ab(B)324ab(C)1ab(D)2ab二、填空题二、填空题(9-14(9-14 小题小题, ,
5、每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题纸指定位置上请将答案写在答题纸指定位置上.).)（9）设可导函数 yy x由方程2200sinx yxtedtxt dt确定，则0_xdy dx（10） 设位于曲线 21() (1 ln)yex xx 下方,x轴上方的无界区域为G, 则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为_。（11） 设某商品的收益函数为 R p， 收益弹性为31p, 其中p为价格, 且 11R, 则 _R p （12）若曲线321yxa xbx有拐点1, 0, 则 _ b 。(13) 设,A B为 3 阶矩阵, 且, , |,ABAB1322则| _
6、.AB1（14 ） 设12,nXXX是来自总 体2( ,)(0)N 的简单随机样本。记统计 量211ni iTXn，则( )_E T 。第 3 页 共 18 页三三、解答题解答题(15(152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题纸指定的位置上. .解答应写出文字解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤.).)（1515）( (本题满分本题满分 1010 分分) )求极限求极限11 lnlim(1)xxxx （1616）( (本题满分本题满分 1010 分分) )计算二重积分计算二重积分3()Dxy dxdy, ,其
7、中其中D由曲线由曲线21xy与直线与直线20xy及及20xy围成围成. .第 4 页 共 18 页（1717）( (本题满分本题满分 1010 分分) )求函数求函数2uxyyz在约束条件在约束条件22210xyz下的最大值和最小值下的最大值和最小值 . .(18)(18) ( (本题满分本题满分 1010 分分) )(1)(1)比较比较10ln ln(1)nttdt与与10ln(1,2,)ntt dt n 的大小的大小, ,说明理由。说明理由。(2)(2)记记10ln ln(1),(1,2,)n nuttdt n求极限求极限limnnu 。第 5 页 共 18 页（1919）( (本题满分本
8、题满分 1010 分分) )设函数设函数 f x在闭区间在闭区间0, 3上连续上连续, , 在开区间在开区间0, 3内存在二阶导数内存在二阶导数, , 且且202 (0)( )(2)(3)ff x dxff(I)(I) 证明存在证明存在 0, 2, , 使得使得 ( )0ff；(II)(II) 证明存在证明存在 0, 3, , 使得使得( )0f。第 6 页 共 18 页(20)(20) ( (本题满分本题满分 1111 分分) )设设1101011A ，11ab 已知线性方程组已知线性方程组AXb存在两个不同的解存在两个不同的解. .(1)(1) 求求,a；(2)(2) 求方程组求方程组AX
9、b的通解的通解. .第 7 页 共 18 页(21)(21) ( (本题满分本题满分 1111 分分) )设设0141340Aaa , ,正交矩阵正交矩阵Q使得使得TQ AQ为对角矩阵为对角矩阵. .若若Q的第一列为的第一列为1(1,2,1)6T, ,求求, a Q. .(22)(22)(本题满分本题满分 1111 分分) )设 二 维 随 机 变 量设 二 维 随 机 变 量(, )X Y的 概 率 密 度 为的 概 率 密 度 为2222( , )xxy yf x yAe，x ，y 求常数求常数A以及条件概率密度以及条件概率密度|Y Xfy x。第 8 页 共 18 页(23)(23) (
10、 (本题满分本题满分 1111 分分) )箱中装有箱中装有6 6个球个球, , 其中红、白、黑球个数分别为其中红、白、黑球个数分别为1,1, 2,2, 3 3个个, , 现从箱中随机地取出现从箱中随机地取出2 2个球个球, , 记记X为取出红球的个数为取出红球的个数, , Y为取出白球的个数为取出白球的个数 . .(I)(I) 求随机变量求随机变量,X Y的概率分布；的概率分布；(II)(II) 求求,Cov X Y. .第 9 页 共 18 页20102010 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷 数学三数学三试题答案试题答案一、选择题：一、选择题：1 1
11、8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给出的四个选项中，只分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. .(1)【解】【解】由于 0001111lim()limlim()xxx xxxxxeaxeea eaexxxx001limlim1x xxxeaeax从而由题设可得11a ，即2a ，故应选（C）(2) 解：解：因为1y,2y是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x的两个特解，所以 1122yp x yyp x yq x-（1）由于1
12、2yy是该方程的解,则 1212()()yyp xyyq x即 1122()()yp x yyp x yq x将（1）代入上式可得：1（2）由于12yy是对应的齐次方程的解则 1212()()0yyp xyy，即 1122()()0yp x yyp x y将（1）代入上式可得：0（3）由（2） 、 （3）可得1 2。故应选（A）评注：设12,sy yy是一阶线性非齐次微分方程 yp x yq x的解，则对于常数12,sk kk，有下列结论： 若121skkk，则1122ssk yk yk y是方程 yp x yq x的解；若120skkk，则1122ssk yk yk y是方程 0yp x y
13、的解。第 10 页 共 18 页（3）本题主要考查导数的应用.求 f g x的一、二阶导数，利用取得极值的必要条件及充分条件。解：解：令 ( )F xf g x，则 ( ) F xf g xfg xgx , 2( ) Fxf g xfg xgxfg xgxfg xgx 由0g xa是( )g x的极值知00 gx。于是有0()0F x，00()( )()Fxfa gx由于( )0gx, 要使00()0Fxf g x, 只要 0fa.因此应选(B)（4）计算两两比的极限便可得到答案解：解：因为1098( )lnlnlnlimlim10 lim10 9 lim( )xxxxf xxxx g xxxxln10!lim xx x110!lim0 xx,1010( )1limlimlim0( )1 10xxxxxg xx h xee,由此可知当x充分大时,( )( )( )f xg xh x，故应选（C）。(5)本题考查向量组的线性相关性。解：解：因向量组I能由向量组II线性表示，所以IIIrr（ ） （ ），即1212(
