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1、 1 第六章 电磁感应 重点和难点 本章通过电磁感应定律，由静态场过度到时变场。 根据感应电动势导出电磁感应定律，说明时变磁场可以产生时变电场。感应电动势公式的证明可以略去。 讲解自感与互感时，应强调互感可正可负，以及与电流方向的关系。 磁场能量与力的讲解与静电场相同。 重要公式 电磁感应定律： 积分形式： SSBlEddtl微分形式： t BE 单回路电感： IILm N 匝回路电感： IN ILm 自感： 111 11IL 222 22IL 互感： 212 12IM 121 21IM 恒定磁场的能量： 单回路的能量： ILIWm21 212 多回路的能量： NjjjmIW121 2 分布电
2、流的能量： SVmSVWd21d21 SJAJA 恒定磁场的能量密度： BH 21 mw 对于各向同性的线性媒质， 2 21Hwm 磁场力： 安培定律： 1 23 121211220 21)(dd 4llIIrrrrllF 1 23 212122110 12)(dd 4llIIrrrrllF常电流系统： 常数Im lWF 常磁通系统： 常数mlWFm题 解 6-1 一个半径为 a 的导体圆盘位于均匀恒定磁场0B中，恒定磁场0B的方向垂直于圆盘平面，若该圆盘以角速度绕其轴线旋转，求圆盘中心与边缘之间的电压。 解解 将导体圆盘分割为很多扇形条，其半径为a，弧长为da。当导体圆盘旋转时，扇形条切割磁
3、力线产生的电动势 等 于 圆 盘 中 心 与 边 缘 之 间 的 电 压 。 根 据 书 中 式（6-1-11） ，在离圆盘中心为r，长度为rd的线元中产生的电动势为 0ddBvlerrBd 0 3 因此，圆盘中心与边缘之间的电压为 2 00021d aBrrBea 6-2 一个面积为ba的矩形 线圈位于双导线之间，位置 如习题图 6-2 所示。两导线 中电流方向始终相反，其变 化规律为 A)102sin(109 21tII， 试求线圈中感应电动势。 习题图 6-2 解解 建立的坐标如图 6-2 所示。在cbxc内，两导线产生的磁感应强度为 xdcbI xIzz 222010ee 则穿过回路的
4、磁通量为 s smdxaxdcbxIzcbczd11 210ee cddbcbaIln210 则线圈中的感应电动势为 temdd tI cddbcba ddln210V10ln102cos109 0 cddbcbta 6-3 设 带 有 滑 条AB 的 两 根 平 行 导 线 的 终 端 并 联 电 阻2 . 0R，导线间距为 0.2m，如习题图 6-3 所示。若正弦电磁场tBzsin5e垂直穿过该回路，当滑条 AB 的位置以m) cos1 (35. 0tx规律变 化时， 试 求回路中 的感应 电X I x a c d b dx dY I0 4 流。 解解 建立的坐标如图 6-3 所示。令并联
5、电阻位于0x处，在 t 时刻回路的磁通量为 s smd szzyxtdd sin5eeWb sin cos135. 0tt 那么，回路中的感应电动势为 temdd ttt dsin cos1d35. 0 Vcos2cos35. 0tt 因此回路中的感应电流为 ReI 2 . 0 cos2cos35. 0tt Acos2cos75. 1tt 6-4 一个面积为ba的矩形导线 框 位 于 磁 场yyBBe中 ， 如习题图 6-4 所示。若线框以角速 度绕 其 轴 匀 速 旋 转 ， 在0t时刻框平面与0y平面重合，试求当0BBy和tBBy cos0时 线 框 中 的 感 应电动势。 解解 当0BB
6、y时，磁场为恒定磁场，穿过线框的磁通量为 o R B x y B A 0.2m 习题图 6-3 a Z Y X B b 0 习题图 6-4 5 s smd1220d cosaaxtbByyeetabB cos0 则线框中的感应电动势为 tabBtemsindd01 1 当tBBy cos0时，同理可得穿过线框的磁通量为 tabBmcos202 那么，线框中的感应电动势为 ttabBtemcos sin2dd02 2 6-5 两个半径均为a的圆环导线沿 Z 轴同轴地放置， 如习题图 6-5 所示。若线圈 A 中通过恒定电流 I，线圈 B 以速度 v 向正 Z 方向运动，且间距ad ，试证线圈 B
7、 中的感应电动势为 44 0 23 dvIae 习题图 6-5 解解 线圈 A 在线圈 B 处产生的磁感应强度为 sincos2432 0eerrIa因为ad ，可以认为线圈 B 处于0位置，则线圈 B内的磁感应强度为 rrIae32 0 2 穿过线圈 B 的磁通量为 s smdddsin22 32 0rrIarsree23 224 02zaIa z A 0 B a d a I 6 则线圈 B 中的感应电动势为 dzdzmtzaIa tedd 2dd25 224 0tzdaIa dd2325 224 0 由于vtzdd，那么 25 224 023daIdvae 考虑到ad ，求得 44 0 2
8、3 dIvae 6-6 已知双导线中的电流21II， 导线半径 a 远小于间距 d，计算单位长度内双导线的内电感与外电感。 解解 建立直角坐标，且令一根导线位于 x = 0 处。在双导线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路，该回路方向与正 y 方向构成右旋关系，如习题图 6-6（a）所示。令zIIe1，zIIe2那么，两个电流在两导线间产生的磁感应强度为 xdI xIo 2200 21yyeeBBB 该磁场形成的外磁通为 习题图 6-6（a） a x I2 I1 X Y a 0 1B 2B d 7 xxdxIadasom od11 2d0 yyees aadIln0 由于此时磁通链等于磁
9、通，即m o，故外电感为 ILoaad ln0 如习题图 6-6（b）所示，导体内的磁感应强度为 20 2 aIrBi 该磁场形成的内磁通链为 raIrid2d43 0 即 8d00Iaii 故内电感为 ILi i 80 6-7 若无限长直导线与半径 为 a 的圆环导线平行放置， 电流方向如习题图 6-7 所示。 计算直导线与圆环之间的互感。 解解 建立的直角坐标如图 6-7 所示， 令长直导线位于 z 轴。那么，无限长 z 向电流在0x平面内+y 轴一侧产生的磁感应强度为 yI 210 1xeB B1产生的磁通与线圈电流2I交链的磁通链21为 sB d2121 sadadyyydaId22
10、10 dI10 因此，直导线与线圈之间的互感为 x y r 0 o dr r 习题图 6-6（b） a x y I1 I2 a d z y dy 习题图 6-7 8 dI0 121 21 可见，21为负，这是因为2I产生的磁通方向与互磁通方向相反导致的。 6-8 若 无 限 长 直 导 线 与 边 长为 a 的等边三角形线框平行放置，电流方向如习题图 6-8 所示 。 计 算 直导线与三角形线框之间的互感。 解解 建立的直角坐标如图 6-8 所示， 令长直导线位于 z 轴。那么，无限长 z 向电流在0x平面内 y 0 区域中产生的磁感应强度为 yI 210 1xeB B1产生的磁通与线框电流2
11、I交链的磁通链21为 sB d2121 sydyyId6tan2210 xxee adaddI 2332ln3310 因此，直导线与线框之间的互感为 121 21I adadd2332ln330 6-9 已知同轴线的内导体半径为 a， 外导体的内外半径分别为 b 及 c，内外导体之间为空气，当通过恒定电流 I时，计算单位长度内同轴线中磁场储能及电感。 解解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为 I1 a d I2 a a y dy z x y 习题图 6-8 9 raIB20 12 ar 那么，内导体单位长度内的磁场能量为 VBW Vmd2112 1 01202020016d2221I
12、rraIra 在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为 rIB20 2bra 2mWabIrrrIbaln4d22212 02 00 在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为 2222 0 32bcrc rIB rrbcrc rIWcbmd222122222 003 rrrcrcbcIcbd2 43242222 0 22224 2222 0341ln 4bcbcbcc bcI因此，同轴线单位长度内的磁场能量为 321mmmmWWWW 222222242 03ln4ln4116bcbc bcbcc abI那么，单位长度的自感 22222224 0 23ln4ln4182 bc
13、bc bcbcc ab IWLm6-10 已知某区域内均匀电场0EzeE ， 均匀磁场0BxeB ，若速度0vyev 的电子进入该区域时，试求电子的运动轨10 迹。 解解 设电子电荷为 q，从原点进入该区域，则受到的力为 BvEF q00BvvvEqxzzyyxxzeeeee zyyzvBvBEq000ee 由牛顿第二定律aFm，得 tvmmaFz zzdd 即 00ddEvBqtvmyz （6-10-1） 同理可得 zyvqBtvm0dd （6-10-2） 将式（6-10-1）对时间微分，并将式（6-10-2）代人，得 0dd2 0 22 zzvmeB tv令 2 02meB，则0dd2 22 zzvtv方程的解为 tDtCvz sin cos 代入式（6-10-1）后，得 tDtCBEvy cos sin00 已知00|vvyte，得00 0, 0BEvDC 因此 tBEvvz sin00 0 （6-10-3） tBEvBEvy cos00 0 00 （6-10-4） 将式（6-10-3）及式（6-10-4）对时间t积分，求得 t 时刻电子的位置 11 tBEvtBEy sin100 0 00 tBEvz cos1100 0
