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1、( 冶金 自动化 2 0 0 4 年增刊关于区间矩阵 H u r w i t z 与 S c h u r 稳定之间的关系李永伟， 韩金舫( 河北科技大学科研处， 河北 石家庄 0 5 0 0 1 8 ) 摘要 运用矩阵特征值性质讨论了区间矩阵H u r w i t z 稳定与S c h u r 稳定的关系， 提出了以区间矩阵H u r w i t z 稳定来推 断S c h u r 稳定的判据， 解决了 现有结果的相反问题， 从而构架了H u r w i t : 与S c h u r 相互推导的桥梁。 关健词1 控制理论; 区间矩阵; H u r w i t z 稳定; S c h u r 稳
2、定; 特征值0 引言关于区间矩阵的稳定性问题， 从 1 9 8 3 年B i a l a s 在 I n t . J . C o n t r o l 上讨论以来， 引起国内外众多学 者的广泛关注。 这方面论文也是连篇累犊地出现在国际、 国内 一些重要核心期刊上( 可参见仅列出的极 少的一部分 1 - 1 3 1 ) ， 迄今仍经久不断。 文献 1 讨论了仅具有实特征值的区间矩阵的H u r w i t z 稳定性， 给出了一些较简捷的判据。 文献 2 同时研究了区间矩阵的H u r w i t z 稳定性与S c h u r 稳定性， 提出了化 整为零的思想方法。文献 3 进行了 进一步校正、
3、 完善和发展， 并给出了令人信服和满意的结果。文献 4 首次提出用区间矩阵的S c h u r 稳定来推断区间矩阵的H u r w i t z 稳定的判据。 受上述文献之启发， 本 文试考虑文献 4 中的相反问 题， 即: 用区间矩阵的H u r w i t z 稳定来推断区间矩阵的S c h u r 稳定。本着由 特殊到一般的原则， 先给出 一类特殊区间矩阵的结果， 然后再提出对于一般区间矩阵的判据。1 主要结果本文采用B i a l a s 的记号， 讨论如下形式的区间矩阵。N P , 剑= A = ( a i; ) P A Q ， 即p ii a ij q =i ， i , j = 1
4、, 2 ， , n ) ( 1 ) 其中， P = ( p i; ) E R n l n , Q = ( q ; ) E R n X n ， 称为区间 矩阵N P , Q 1 的 界阵。 并构造一点阵 如下:W=( W。 ) n X n 其中W; = m a x I p ,; ， I q ii ! i , j = 1 ， 2 ， , n ( 2 )我们首先介绍两个有用的结果。引理1 : 如果点阵W=( w ,; ) ( 按式( 2 ) ) 是S c h u r 稳定的， 则区间矩阵N P , 剑 ( 式( 1 ) ) 必是S c h u r 稳 定的。 证明: 显 然， b A E N P ,
5、 剑有p ( A ) 舜 ( J A I ) p ( w ) o，. ， 。 。 : _， 、 ， 一， _ v _ 、 ， 。1， ，A T l 。 .， 一 ，: 、 ， 一 书 二引 埋 Z 1 0 J : x 7 仕 息 八 七找一“ ， 飞 已力= 二 于气 八十八 少 , 贝 卜夕 U 鱿 舀联 卫 。乙( 1 ) 如果对称矩阵B是H u r w i t z 稳定的， 则矩阵A也是H u r w i t z 稳定的。( 2 ) 如果矩阵B是S c h u r 稳定的， 并且矩阵A为对称正定阵或半正定阵、 或正矩阵、 或非负矩阵， 则 A也是S c h u r 稳定的。注: 本引理说
6、明对 称 矩 阵 鲁 ( A 十 A T ) 的 稳 定 性 决 定 了 矩 阵 A乙的稳定性。式( 1 ) 的证明应用文献 6 中引理即得， 式( 2 ) 的证明再加上著名的P e r r o n -F r o b e n i u s 定理即可， 从略。我们还需给出两个概念。定义1 : 称区间矩阵N P , Q 只有实特征值 1 或只有非负实特征值， 如果V A C- N P , Q A只有实特 征值 1 或只有非负实特征值; 称区间矩阵N P , 剑为对称正定阵， 如果V A EN P , 剑 A为对称正定阵。 收稿日 期 2 0 0 4 - 0 6 -1 7 基金项目 河北省教育厅自 然
7、科研基金( 2 0 0 3 3 0 5 ) ; 河北省科技攻关项目 ( 0 3 2 1 3 5 4 1 D ) 作者简介 李永伟( 1 9 5 8 -) ， 男， 河北沧州人， 教授， 主要从事自 动控制理论、 自 动化技术及智能控制研究工作。( 冶金 自动化 2 0 0 4 年增刊定义2 : 称区间矩阵N P , 剑是H u r w i t z ( S c h u r ) 稳定的， 如果V A E N P , Q A是H u r w i t z ( S c h u r ) 稳定的。下面我们开始讨论区间矩阵的S c h u r 稳定与H u r w i t z 稳定的关系。定理1 4 1 (
8、前人结果) : 若区间矩阵N P +E , Q +E 是S c h u r 稳定的， 则区间矩阵N P , Q 是H u r - w i t z 稳定的。 这里E为单位阵。定理2 : 假设区间矩阵N P , 剑只有非负实特征值， 那么， 如果区间矩阵N P - E , Q -E 是H u r w i t z 稳定的， 则区间矩阵N P , Q 是S c h u r 稳定的。这里E为单位阵。证明: 任取A E N P , 剑 ， 则A -E E N P -E , Q -E 。 设A的特征值为a ; ， 则A 一 E的 特征值为,u i = a 一1 ， 依题设。 a = E R ( i =1 ,
9、 2 , , n ) 。如果N P 一 E , Q - E 为H u r w i t z 稳定， 则Rep= = R e ( a 一1 ) = a 、 一1 0 ， 即a = 1 。 亦即A为S c h u r 稳定。 依A的任意性及定义2 知N P , Q 为S c h u r 稳定。推论1 : 如果区间矩阵N P , 剑为对称正定阵， 那么， 如果N P -E , Q -E 为H u r w i t z 稳定的， 则N P , 剑必是 S c h u r 稳定的。证明: 实因对称正定阵的特征值为实且为正。注: 本推论对于对称半正定阵也成立。定理3 : 假设区间矩阵N 尸 ， 剑只有实特征值
10、， 那么， 如果两个区间矩阵N -E 士P , -E 士Q 均是 H u r w i t z 稳定的， 则区间矩阵N P , Q 必是S c h u r 稳定的， 这里E为单位阵。证明: 任取A E N P , Q ， 则一E + AE N - E +P ， 一E +Q ， 一E - AE N 一E -P ， 一E - Q ， 设A 的 特征值为.l ; ， 依题设.h E R ( i =1 , 2 , “ “ “ , n ) ， 显然一 E + A的 特征值为: 一1 + A i = ,u = ， 一 E - A的特征值为 -1 - a c = 。如果区间矩阵N - E +P , -E +
11、剑与N - E -P , -E - Q 均是H u r w i t z 稳定的， 则应有 R e 如 i ) = R e ( 一 1 + A , ) 0 ， 及R e ( $ ; ) 二 R e ( 一1 - A , ) 0 ， 即一1 + A = 0 ， 一1 - A ; 0 , ( 这里注意到a ; E R ) ， 于是有一1 G1 i l ( i =1 ， 2 ， , n ) ， 即A为S c h u r 稳定， 从而N P , 剑为S c h u r 稳定。对于一般的区间矩阵N P , Q ， 它不一定只有实特征值， 我们给出如下判据。定理 4阵一E 士B: 设N P , 剑为一般区间
12、矩阵， 相应地点阵W=( W、 )(按式( 2 ) ) ， 记B =1， ， ， ，. 二 ， 。、二 _ 二二 干气 W 一 w) 。 又 目 洲 险 大 已 乙均是 H u r w i t z 稳定的， 则区间矩阵N P , 剑必是S c h u r 稳定的。这里E为单位阵。证明: 由于B =1 ( W + W T ) 为 非 负 对 称 阵 乙， 它的特征值均为实数。 今设B的特征值为A ; , A 沂R U=1 , 2 , “ “ “ , n ) ， 则一E 士B的特征值为一1 士A _ 。如果一E 士B均是 Hu r w i t z 稳定的， 则应有 R e一1 士A _ ) = 一
13、1 士.1 c 0W 是 S c h u r， 即一1 A ( i =1 , 2 , 3 , . . . , n ) ， 亦即B是S c h u r 稳定的， 由于W为非负矩阵， 依引理2 知 稳定的， 再依引理 1 知区间矩阵N P, 剑为S c h u r 稳定。2 结束语以上讨论了区间矩阵( 含点阵) 的H u r w i t z 稳定与S c h u r 稳定之间的关系， 回顾了由S c h u r 稳定推断 H u r w i t z 稳定的判据， 提出了由 H u r w i t z 稳定来推断 S c h u r 稳定的判别条件， 从而构架了H u r w i t z 与 S c
14、 h u r 相互推导的桥梁。使得人们在必要的时候仅用某一种适当的方法( 判据) ， 就可以同时得到 H u r - w i t z 与S c h u r 两种稳定性结果， 明显给解决控制理论中的某些实际问题带来方便与快捷。 参 考 文 献 1 J i r i R o h n . S t a b il i t y o f i n t e r v a l m a t r i c e s : T h e r e a l e i g e n v a l u e c a s e J . I E E E T r a n s A u t o m a t . C o n t r , 1 9 9 2 , 3
15、7 ( 1 0 ) : 1 6 0 4 一1 6 0 5 . 2 K a i n i n g Wu a n g , A n t h o n y Mi c h e l , e t a l. N e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d it io n s f o r t h e H u r w it z a n d S c h u r s t a b i l it y o f i n -t e r v a l m a t r i c e s J . I E E E T r a n s A u t o m a t C o n t r , 1 9 9 4 , 3 9 ( 6 ) : 1 2 5 1 一1 2 5 3 . 3 廖晓听. 关于区间 矩阵稳定性、 可控性、 可观性的 充要条件的注记 J . 自 动化学报， 1 9 9 8 , 2 4 ( 6 ) : 8 2 9 -8 3 3 . 4 彭晓林. 离散系统稳定与不稳定的 代数判据 1 . 科学通报， 1 9 9 1 , ( 1 6 ) : 1 2 7 3 一1 2 7 4 0 5 S h e n g -G u o Wa n g , S h i
