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1、第9卷第2期1999年济南大学学报JOURNAL OF JINAN UNIVERSITYVol . 9 No. 21999求解格林函数级数解的两种方法李永平 姜 静3 张春青3 3(德州高等专科学校物理系,德州253023;3 青岛大学师范学院物理系,青岛266071;3 3 济南大学物理系,济南250002)摘 要 给出求解格林函数级数解的两种方法,并举例说明其应用。 关键词 格林函数;分离变量;函数用格林函数法求解静电学边值问题,找到相应的格林函数是解决问题的关键。 求解格林函 数就是求解下列方程1?2G(x_ ,x_) = -1 0(x_ -x_ )G(x_ ,x_ )s= 0 或 5G
2、(x_ ,x_ ) 5ns= 0(1)通常教科书只介绍了无界空间直接求解和有界空间少数情况用电象法求解格林函数,本文给 出的求解格林函数级数解的两种方法,能解决更复杂的问题,应用范围更广泛。1 第一种方法若(1)式给定的G(x_ ,x_ )边界条件,是某种可分离变量的坐标曲面,则可对G(x_ ,x_ )的方程和边界条件分离变量。将方程两边的 (x_ -x_ )和G(x_ ,x_ )中相应的两维展开为正交归一化函数的级数形式,并代入(1)式,方程两边消去了含相同的正交归一化函数而分离出一维非齐 次微分方程。方程的形式为p(x)d2y dx2+dp dxdy dx+q(x)y= -(x-x)(2)
3、式中p(x)、q(x)是已知函数。若y1(x)是满足(2)式相应齐次方程x=a处所给定齐次边 界条件的一个解,y2(x)是满足(2)式相应齐次方程x=b处所给定齐次边界条件的一个解,且ab,则方程(2)的解可取y(x,)为2y(x,) =-1 Ay1(x)y2() x -1 Ay1()y2(x) x (3)式中 A=p()y1()y2()-y2()y1(),(4)即可解得(1)式的格林函数G(x_ ,x_ )。下面以求解双层球面间任意点源的格林函数为例。13假定双层球面半径分别为a,b(ab),双层球面间任一点源q之坐标为(r, , ) (arb),其格林函数满足球坐标系中的非齐次方程1 r2
4、5 5r(r25G 5r) +1 r2sin5 5(sin5G 5) +1 r2sin252G52= -q 01 r2sin(r-r)(- )(- )(5)边界条件为 G(x_ ,x_ )r=a=G(x_ ,x_ )r=b= 0(6)将 (x_ -x_ )和G(x_ ,x_ )按r展开为正交归一化函数的级数形式(x_ -x_) =1 r2(r-r)2n= 02nm= -n2n+ 1 4(n-m)!(n+m)!pm n(cos)pm n(cos )eim(- )(7)G(x_ -x_) =2n= 02nm= -ngn(r,r)2n+ 1 4(n-m)!(n+m)!pmn(cos)pmn(cos
5、)eim(- )(8)(8)、(7)式代入(5)式,得1 rd2 dr2rgn(r,r) -n(n+ 1)r2gn(r,r) = -q 0r2(r-r)(9)由(3)式得gn(r,r) =-1 A(A1rn+B1r-(n+ 1) (A2rn+B2r-(n+ 1) arr-1 A(A1rn+B1r-(n+ 1) (A2rn+B2r-(n+ 1) r rb(10)将(10)式代入边界条件(6)式,并令C=A1A2 A, (10)式可改写为gn(r,r) =-C(rn-a2n+ 1r-(n+ 1) (rn-b2n+ 1r-(n+ 1) arr-C(rn-a2n+ 1r-(n+ 1) (rn-b2n+
6、 1r-(n+ 1) r rb(11)(9)式两边乘以rdr,并在r 点附近求积分 r+r-d2 dr2rgn(r,r) dr-r+r-n(n+ 1)rgn(r,r)dr= -q 0r(12)令 0,由gn(r,r)在r=r 处的连续性条件可知,上式第二项积分趋于零,得d drrgn(r,r) r+-d drrgn(r,r) r-= -q 0r(13)当r=r+时 d drrgn(r,r) r+= -C r1 -(a r)2n+ 1 (n+ 1)r2n+ 1+nb2n+ 1同样 d drrgn(r,r) r-= -C r1 -(b r)2n+ 1 (n+ 1)r2n+ 1+na2n+ 1将这些
7、导数代入(13)式,得 C=q 0(2n+ 1) (b2n+ 1-a2n+ 1)(14)由(8)、(11)、(14)式,并使q= 1,得双层球面间任意点源格林函数为G(x_ ,x_) =2n= 02nm= -n1 4 0(n-m!)(n+m)!1 (b2n+ 1-a2n+ 1)pm n(cos)pm n(cos )eim(- )(rn-a2n+ 1r-(n+ 1)(b2n+ 1r-(n+ 1)-rn) arr(rn-a2n+ 1r-(n+ 1)(b2n+ 1r-(n+ 1)-rn) r rb(15)232 第二种方法 根据(1)式给定的边界条件,选取某种可分离变量的坐标曲面,将点电荷用 函数表
8、示成 坐标曲面上的面电荷,而此曲面将求解区域分成满足拉普拉斯方程的两部分,各部分均可用分离变量法求解,由边界条件与源点所在坐标曲面上的边值关系确定系数后,即得格林函数级数 解。 仍以求解双层球面间任意点源格林函数为例,点电荷q之坐标为(r, , ),可将q看作 是r=r 球面上的面电荷,电荷面密度可表示为=q r2sin(- )(- )(16)在arr 和r rb的两区域内,G(x_ ,x_ )均满足拉普拉斯方程,通解为G1(x_ ,x_) =2n= 02nm= -n(Anmrn+Bnmr-(n+ 1)Ymn(,) (arr)(17)G2(x_ ,x_) =2n= 02nm= -n(Cnmrn
9、+Dnmr-(n+ 1)Ymn(,) (r rb)(18)式中Ym n(,)为球谐函数Ymn(,) =(2n+ 1)4(n-m)!(n+m)!pmn(cos)eim(19)边界条件为 G1r=a= 0,G2r=b= 0,G1r=r=G2r=r(5G2 5r-5G1 5r) r=r= -1 0= -q 0r2sin(- )(- )将边界条件代入通解(17)、(18),利用球谐函数的正交归一性 20d0dsinYm3 n(,)Ym n(,) =nnmm和 函数的性质,使q= 1,并考虑到(19)式,仍得(15)式。 第二种方法实质上是用分离变量法求解拉普拉斯方程,只不过在定解时多了点源处 函 数的
10、处理问题,也就是要按 函数的性质确定系数。两种方法求得的结果是等效的。参 考 文 献1 郭硕鸿.电动力学(第二版)1 北京:高等教育出版社, 1997178822 数学手册编写组 1 数学手册 1 北京:人民教育出版社, 197917543 J D杰克逊著;朱培豫译 1 北京:人民教育出版社, 19781123125T WO M ETHODS FOR OBTA INING THE GREEN FUNCTI ON SERIES SOLUTI ON L i Yongp ing J iang J ing3Zhang Chunqing3 3(Department of Physics, Dezhou
11、U nion College, Dezhou 253023; 3Department of Physics, Normal College of Q ingdao U niversity, Q ingdao 266071; 3 3Department of Physics, Jinan U niversity, Jinan 250002)Abstract Two methods for obtaining the Green function series solution is presented and some examples are given. KeyW ords Green function; Separated variable;2function33
