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1、1.3 概率的公理化和加法公式古典概型只对样本空间含有限个样本点,且每个样 本点发生的可能性相同的情况定义了概率.下面将概率的定义进行推广.设是试验S的样本空间,在实际问题中往往并不需 要关心的所有子集, 只要把关心的子集称为事件 就够了.但是事件必须是的子集, 并且满足以下三 个条件: (a) 是事件,(b) A, B 是事件, 则都是事件,(c) 当是事件, 则是事件.以后总假设上面的条件(a), (b), (c)成立.由(b)知道有限个事件经过有限次运算后得到的结果仍 然是事件.对于试验S的事件A, 我们用 0,1 之间的数P(A)表示事件 A发生的可能性的大小. 对于每个事件A , P
2、(A)是一个 实数. P(A)是事件A的函数.ABABABA,jAj jA1概率及公理化概率及公理化 定义定义 3.13.1 如果事件的函数如果事件的函数P P满足条件满足条件(a) (a) 非负性非负性: : 对于任何事件对于任何事件A, A, P(A) 0,P(A) 0,(b) (b) 完全性完全性: : P( )=1,P( )=1,(c) (c) 可列可加性可列可加性: : 对于互不相容的事件对于互不相容的事件, , ,有有就称就称P P是试验是试验S S的概率的概率, , 简称为概率简称为概率, , 称称P(A)P(A)是是A A的的概率概率(probability).(probabi
3、lity).1A2A 11)()( jjj jAPAP我们称定义我们称定义3.1中的中的(a), (b), (c)为概率的公理化为概率的公理化条件条件. 不满足公理化条件的不满足公理化条件的$P$不是概率不是概率.条件条件(c)中的中的“可列可列”, 指集合的个数或运算的指集合的个数或运算的 次次数可以依次排列起来数可以依次排列起来.2概率的性质概率的性质0)(P(1)（2）有限可加性有限可加性:若若A1，A2，An互不相容互不相容，则则 nkknkkAPAP11)()()(1)(APAP若若A B, 则有则有P(B A) = P(B) P(A)P(A) P(B)特别地特别地，对任何事件对任何
4、事件A，都有都有P(A) 1;ASB A对事件对事件A，有有(3)()()()( ABBPAPABBAPBAP BAB 又因又因再由性质再由性质 3便得便得)(ABBASABAB)()()()(ABPBPAPBAP(4) 对任何两个事件对任何两个事件A, B，都有都有三个事件和的概率为三个事件和的概率为=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC) + P(ABC)(CBAP (5) 对任何对任何n个事件个事件A1，A2，An,都有都有)() 1()() 1()()()(11111111212211nkknnkkkkkmk nkkknkknkkAPAAAPAAPAPAPmm
5、例例1010(1) 若事件若事件A与与B互不相容互不相容, 求求)(ABP（2）若若A B, 求求)(ABP（3）若若P(AB)=1/8, 求求设设P(A)=1/3, P(B)=1/2)(ABP提示提示:81)()3(),()()2( , 0)() 1 (),()()()(ABPAPABPABPABPBPABBPABP例例1111 设元件盒中装有设元件盒中装有5050个电阻个电阻，2020个电感个电感，3030个个 电容电容，从盒中任取从盒中任取3030个元件个元件，求所取元件中至少有求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率一个电阻同时至少有一个电感的概率. .)(1)(ABPABP
6、 )(1BAP )()()(1BAPBPAP所求概率为所求概率为P(AB)解解: : 设设A=所取元件中至少有一电阻所取元件中至少有一电阻 B=所取元件中至少有一所取元件中至少有一电感电感 )()()(1)(BAPBPAPABP 3010013080 30501例例12.12. 甲甲、乙两人先后从乙两人先后从5252张牌中各抽取张牌中各抽取1313张张, , 求甲或乙拿到求甲或乙拿到4 4张张A的概率的概率. . ( (1 1) ) 甲抽后甲抽后不放回不放回，乙再抽乙再抽; ; ( (2 2) ) 甲抽后将牌甲抽后将牌放回放回，乙再抽乙再抽. .=P(A)+P(B)计算计算P(A)和和P(B)
7、 时用古典概型时用古典概型13 3913 529 3513 48 13 529 48 CCCC CC 13 529 482 CC )(BAP (1)(1)A、B互不相容互不相容解解：设设A=甲拿到甲拿到4张张A， B=乙拿到乙拿到4张张A所求为所求为)(BAP (2) A、B相容相容解解：设设A=甲拿到甲拿到4张张A， B=乙拿到乙拿到4张张A所求为所求为=P(A)+P(B) P(AB)13 5213 529 489 48 13 529 482 CCCC CC )(BAP )(BAP在实际应用中在实际应用中，除了要研究事件除了要研究事件A的概率的概率P(A)之外之外，有时还需要研究在有时还需要
8、研究在事件事件B已经发生的条件下已经发生的条件下，事件事件A发生的概率发生的概率。我们称这种概率为我们称这种概率为事件事件B已已发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率发生的条件概率，记为记为P(A|B)一般说来一般说来P(A|B) P(A)1.4 条件概率和乘法公式P(A )=1/6，例例如如，掷一颗均匀骰子掷一颗均匀骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？掷骰子掷骰子已知事件已知事件B发生发生，此时试验所有此时试验所有 可能结果构成的集合就是可能结果构成的集合就是B，B中共中共于是于是P(A|B)= 1/3.容易看到容易看到)()( 6361 31 BP
9、ABPP(A|B)有有3个元素个元素，它们的出现是等可能的它们的出现是等可能的, 其中只有其中只有1个在集个在集 A 中中又如又如，向长方形向长方形S内随机均匀投点内随机均匀投点，若已知点若已知点 落在区域落在区域B内内，求在此条件下点落在区域求在此条件下点落在区域A A内的概率内的概率SABAB条件概率条件概率P(A|B)实质就是缩减了样本空间实质就是缩减了样本空间上的事件的概率上的事件的概率。由于已知事件由于已知事件B已经发生已经发生，原样本空间原样本空间缩减为缩减为B，在该空间上再在该空间上再进一步计算事件进一步计算事件A发生的概率发生的概率可以证明可以证明，在古典概型下在古典概型下，若
10、若P(B)0, 有有)()()|(BPABPBAP(见书p15)设设A、B是两个事件是两个事件，且且P(B)0，则称则称2. 2. 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件B发生的条件下发生的条件下，事件事件A的条的条件概率件概率. .)()()|(BPABPBAP3. 3. 条件概率的性质条件概率的性质设设B是一事件是一事件，且且P(B)0，则则P(.|B)满足概率的三满足概率的三 条公理条公理，即即(1). 非负性非负性：对任一事件对任一事件A，0P(A|B)1;(2). 规范性规范性： P (| B) =1 ；(3). 可列可加性可列可加性：设设 A1,An互不相容互不相容，则则 1
11、1)|()|( iiiiBAPBAP条件概率条件概率P(.|B)也具有三条公理导出的一切性质也具有三条公理导出的一切性质如如)|()|()|()|(BACPBCPBAPBCAP )|(1)|(BAPBAP （2） 在缩减的样本空间上计算在缩减的样本空间上计算4. 条件概率的计算条件概率的计算（1） 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B B 发生后的发生后的 缩减样本空间缩减样本空间 所含样本点总数所含样本点总数在缩减样本空间在缩减样本空间 中中A A 所含样本点所含样本点 个数个数
12、解法解法1:)()()|(BPABPBAP 解法解法2:21 126)|( BAP应用定义应用定义在在B发生后的发生后的 缩减样本空间缩减样本空间 中计算中计算21 /2 51 41 32 52 3AAAAA例例3 一盒子装有一盒子装有5只产品只产品，其中其中3只一等品只一等品，2只二等只二等 品品。从中取产品从中取产品2次次，每次任取一件每次任取一件，做不放回抽样做不放回抽样。 设事件设事件 B为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”，事件事件 A为为 “第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”，试求试求P(A|B).P(AB)=P(B)P(A|B) (1) 二二. . 乘法公式乘
13、法公式公式公式（1 1）和和（2 2）均称为概率的乘法公式或称均称为概率的乘法公式或称 为概率的乘法定理为概率的乘法定理P(AB)=P(A)P(B|A) (2)1. 定义定义设有两个事件设有两个事件A，B，如果如果P(B)0，由条由条件概率公式得件概率公式得如果如果 P(A)0，由条件概率公式得由条件概率公式得乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况乘法公式容易推广到多个事件的积事件的情况，如如P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)当当P(A1A2An-1)0时时，有有当当P(AB)0，有有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)例例4一场精彩
14、的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行，5 5个球迷个球迷好不容易才搞到一张入场券好不容易才搞到一张入场券. .大家都想去大家都想去, ,只只好用抽签的方法来解决好用抽签的方法来解决. .入场入场 券券“大家不必争先恐后大家不必争先恐后，你们一个一个你们一个一个 按次序来按次序来，谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都的机会都 一样大一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”解我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.也就是说也就是说，iA则则表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第因为若第2个人抽到个人抽到 了入场券了入场券，第第1个人个人 肯定没抽到肯定没抽到.)|()()()(121212 AAPAPAAPAP 212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式= (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP也就是说也就是说“抽签与顺序无关抽签与顺序无关 .”同理同理，第第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须必须 第第1，第第2个人都没
