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1、4 4 中学教研 ( 数学) 一道伊朗竞赛题的再探究 王恒亮 李一淳 ( 广东省珠海市实验中学高中部5 1 9 0 9 0 ) 题 目 设 a O， b 0， c O， a +b + C +a b c = 4， 求证 ： a+ b+ C 3 ( 1 ) ( 第 2 1 届伊 朗数学奥林 匹克竞赛试题) 笔者最近在竞赛教学中对该试题进行了一番探 讨 ， 感悟颇多 !在此先给出简洁的证 明， 然后谈谈对 该试题的一些发散式探究， 最后给出一组相关的数 学竞赛试题， 希望对读者起到抛砖引玉的作用 1 简证 证法 1 注意到 4 =0 +b 2+c +0 b c 2 a b+c + a b c =a
2、b ( 2+C )+C ， 于是 a b 2一C 由抽屉原则知3个正实数 a ， b ， C中必有 2个不大 于或不小于 1 不妨设正实数a ， b 满足( a 一 1 ) ( b 一 1 ) - 0， 则 口6 a+b一1 从 而 2一C a b n+b 一1 ， 故 a+b +c 3 证法 2 令 a= 2 p， b =2 q ， C= 2 r ， 则条件 “ a + b +C + a b c = 4 ” 变形为 P + q +r +2 p q r ：1 ， 而 待 证式( 1 ) 等 价于P + q + r 注意到在& A B C中 ， c 0 s 2 A +c o s 曰 +c o s
3、 2 C +2c o s Ac o s Bc o s C =1 对 比P +q +r 2+2 p q r=1 ， 不妨设 P=c o s A， q= c o s B ， r = c o s C ， 则式( 1 ) 等价于 c o s A +c o s B +c o s C ， 二 此武由琴生不等式即证 结合条件 ( 2 ) ， 得 ( 2 a一1 ) 。 12 由 2 6 6 0 。 LA BD =6 0。 ， 且 ADB = 1 9 0 。一 B D C 求证： A B= B 二 DB +DC 老 鼠尾 巴： A D B =9 0 。一 1 L B D C 就是一条“ 老鼠尾巴” A C 图
4、 7 分析由L A D B= 9 0 。 一 _ B D C ， 得 二 2 AD + 肋C =1 8 00 利用 它来添辅助线 ： 延长 C D到 E， C D E正好 是 一个平角 A D B+LB D C+ A 朋 ：1 8 0 。 ， 从而 厶ADB = ADE 再在 C E上取 D E=D B， 这 时 A D B AA D E 接 着 ， A = A B= A C， 从而 AED = ABD ：6 0。= ACD 从而 A C E是等边三角形 ， 于是 AB =AC =CE =DE +CD =BD +DC 评注特 别 注意 ： 本 解 很 自然地 从 “ 老 鼠尾 巴” 推 出添辅
5、助线 的方法 第 6期 王恒 亮， 等 ： 一道伊 朗竞赛题 的再探 究 4 5 注证法 2中用到一个常用恒 等式 “ C O S A+ c o s B+c o s C+2 c o s A c o s B c o s C=1 ” 事 实 上 ， 在 AA B C中， A+ +C：订， 且 C O S A= C O S ( +C )=( c o s B c o s C s i n B s i n C ) = C O S B c o s C+( 1一 C O S B) ( 1一C O S C )一 2s i n Bs i n Cc o s Bc o s C = 1一C O S BC O S C+2
6、 c o s B c o s Cf c o s Bc o s C s i n B s i n C )= 1一C O S BC O S C+ 2 c o s B c o s C c o s ( B+C )= 1一C O S B C O S C +2c o s Ac o s Bc o s C 故c o s 2 A+ C O S B+C O S C+ 2 c o s A c o s B c o s C=1 2发散式探究 探究 1 设 a0 ， b0 ， c0 ， a +b +c + a b c = 4 ， 则 a b c 1 证明 由式( 1 ) 可知3 口+b+c 3 口 6 c ， 故 a b
7、c 1 探究 2 设 a 0， b0 ， c0 ， a +b +c + a b c = 4 ， 贝 0 a+b +c a b +6 c +c a 证 明注意到 ( a+b+ c ) 13 ( 口 6 +6 c +c a ) ( a+b+ c ) ( 口 6 +6 c +c a ) ， 故 a+ b+c a b+6 c +c a 探究 3 设 a0 ， b0 ， c0 ， a 4 - b +c + a b c = 4 ， 则 a + b +c 13 证 明 注意到 a b c= 4一( a +b 。+c ) 1 ， 故 口 +6 +c 1 3 探 究 4 a b c = 4， 则 1 -I -
8、口 设 a0 ， b0 ， c0 ， a +b +c + 1 + 3 口 + 6 + c 2 + 口 6 c = 3丁 3= 3 ， 丁 而 a +b +c +a b c=4口 +2 b c+a b c ， 于是 0a 一 4+b c ( 2+ a )=( 2+ 口 ) ( a一 2+ b c ) ， 得0 口一 2+6 c ， 即 2a+b c ， 亦 即 2 a n + a b c 同理可得 2 b 6 +a b c ， 2 c c +a b c ， 因此 2 ( a+b +c ) ( 口 +b +c +a b c )+2 a b c = 4 +2 ab c 故 a+b +c 12+ a
9、b c 又由式( 1 ) 可知 3 口+b+ c ， 从而 + + 3 n+b+c 2 +nb c a D c 探究 5 设 a0， b0 ， c0 ， a +b +c + a b c = 4 ， 则 2+a b c a b+b c + c a 3 a b c ( a+ b+c ) a b c 证明注意到( a+b+c ) 3 ( a b+6 c+c a ) 和 n 6+6 c +c a 3 ， 于是 a b c( a+b+ c )=a b b c +b c c a+c a a b= _ =1- 3( a b b c +6 c c n+ c 口 。 6 ) J _ =1- a 6+6 c+ c
10、 口 ) = ( 。 6 ( 口 6 + 6 c + c a ) ( b c + c a + a b ) +6 c+c a 3= 口 6+6 c+c a 因此 n 6+6 c + c a a b c ( a+b+ c ) 而3 a+b +c ， 故 口 6 +6 c +c a 3 a b c - a b c ( a+b+ c ) 由题知 a ， b ， c中一定有且 只有 2个数都不 大于 1 或者不小于 1 ， 不妨设这 2个数为 a ， b ， 则 c ( a一1 ) ( b 一1 ) 10， 即 6 c+a c a b e+c 而 a +b +c +a b c=42 a b+c +a b
11、 c ， 故 口 6 ( 2+c ) 4一 c ， 即 a b 2一c ， 从而 口 6+ 6 c +c a 2一c +a b c+ c = 2+a b c 综上可得， 2+ a b c n 6+6 c +c a 3 a b c ( a+b+c ) a b c 注由探究 5的结果“ 2+ a b c a b + 6 c + c a 3 a b c ( a+b+ c ) a b c ” 得“ 2+a b e 3 a b c ” ， 即“ a b c 1 ” ， 即为探究 1 探究 5可看作是探究 1的一个加 强 而“ 3 a b c ( a+b+c ) a b c ” 可 以看作是式 ( 1 )
12、 的 一个等价形式 探究 6 设 a0 ， b 0， c0 ， a +b +c + a b c = 4 ， 则 + + 3 8+b+c 2+n b c a o c 口 6+6 c+ c a 3 a b c ( a+ b+c ) a b c 证明略 、 需要说 明的是 ， 在 AA B C中有如下结论 ( 限于 篇幅 ， 请读者 自行证明) ： ( 1 ) C O S A+ C O S B+ C O S 。 C+ 2 c o s A c o s B c o s C=1 ； 1 ( 2 ) c o s A c o s c o s c 寺； ( 3 ) c o s A+ c o s B+ c o s
13、 C ； ( 4 ) c o s A + c o s B+ c o s c ； 汪 4 6 中学教研 ( 数学) 2 0 1 4 ( 5 ) s i n A s i n B s i n C 3 o 结合式( 1 ) 证法 2中的三角换 元可知 ， 对于条 件“ a 0 ， b 0， C 0 ， a +b +C +a b c= 4 ” 可作 三 角换 元 a=2 p=2 c o s A， b=2 q=2 c o s B， c=2 r= 2 c o s C ， 于是探究 1中“ a b c 1 ” 等价于三角不等式 “c o s A C O S B c o s c ” ， 探究3 中“ 口 + b
14、 + c 1 3 ” 等 价于“ C O S 2 A+c 。 s B+c 。 s c 3“，式 ( 1 ) 中 “ 。+ b + c 3 ” 等价于“ c o s A+ c o s B+ c o s C ” 事实上， 根据不等式 s i n A s i n B s i n C 3 知 s i n 。 As i n。 Bs i n cL ，可以得到新的不等式 n 4 ( - 一 譬 ) ( 一 譬 ) ( 一 手 ) ， 且 口 ( 4一 a ) ( 4一 b ) ( 4一C ) 2 7 类似地， 在条件“ a 0 ， b 0 ， c 0 ， 0 +b + C + a b c = 4 ” 下新的探究， 读者可根据相关的三角 不等式进行运算 ， 在此不再一一赘述， 3相关赛题 事实上， 与条件“ a 0 ， b 0 ， C 0 ， a + b + C 。 + a b c = 4 ” 相关的竞赛试题在各级各类数学竞赛 中屡见不鲜 由式 ( 1 ) 证法 2可 进行 三角代换 a= 2 c o s A， b= 2 c o s B， C =2 c o s C， 从而可以将难 以下手的 代数问题转化 为三角 函数问题轻松地解决 例 1 设口 0 ， b
