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1、第五章 弹塑性断裂力学 的基本概念 5-1 Irwin对裂端塑性区的估计 线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随r r- -1/21/2而变化。而变化。当当r r- -00时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度多么高的材料，多么高的材料，无限大的应力是不可能存在的无限大的应力是不可能存在的。尤其是断裂力学。尤其是断裂力学主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发生使这种无限大应力的结果并不符实。当含裂纹的弹塑性体受到生使这
2、种无限大应力的结果并不符实。当含裂纹的弹塑性体受到外载荷作用时，外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区裂纹端点附近有个塑性区(plastic zone)，塑性区，塑性区内的应力是有界的内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强度有关。度有关。 裂端塑性区 对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸不合忽略时，则必须给
3、一定的修正，不合忽略时，则必须给一定的修正，才能应用线弹性才能应用线弹性断裂力学结果断裂力学结果。 裂端塑性区 若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。 现在的问题是：如何估算裂端塑性区的形状
4、、大小？现在的问题是：如何估算裂端塑性区的形状、大小？ 裂端塑性区尺寸的初步估计 Irwin首先对裂纹尖端塑首先对裂纹尖端塑性区的尺寸给予初步的估性区的尺寸给予初步的估计计。假设裂纹是假设裂纹是I型型，裂裂端前端前r等于等于r*p处处y方向的方向的拉伸应力刚好达到屈服应拉伸应力刚好达到屈服应力力ys,则则r*p就是塑性区的就是塑性区的尺寸尺寸。用公式表示如下用公式表示如下: 所以塑性区尺寸为：所以塑性区尺寸为： ysprryrKp *0 2*22 * 2yspKrI型裂纹的应力场 由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为 高次
5、项高次项 在裂端区，即在裂端区，即r r足够小的情形下，式中足够小的情形下，式中r r的高次项比首项小得的高次项比首项小得多，因而可以忽略多，因而可以忽略 。 所以裂纹前沿任一点的所以裂纹前沿任一点的x =y= 23cos2cos2sin223sin2sin12cos223sin2sin12cos2 rKrKrKI xyI yI x 裂端塑性区尺寸 平面应力时：平面应力时： 平面应变时：平面应变时： 按按上上式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。因为平面应变时，塑式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。因为平面应变时，塑性内的应力分布并不是恒为性内的应力分布并不是恒为ysys，而是呈峰形分布，而是呈峰形
6、分布 。 Irwin建议取平面应变时裂端塑性区尺寸建议取平面应变时裂端塑性区尺寸为：为： 22 * 2spKr22 * 2)21 (spKr22 * 6spKr裂纹有效长度 第二步估计可以假设裂纹的第二步估计可以假设裂纹的有效长度为有效长度为aeff，而而aeff=a+，这里这里大于零大于零。用此用此aeff来计算来计算应力强度因子应力强度因子Keff和应力场和应力场。如图所示如图所示，仍是仍是I型裂纹型裂纹，当当有效裂纹端点前有效裂纹端点前处的处的y等于等于ys时时，则则: 得：得： yseffK2222yseffKIrwin塑性区的再度估计 当当a时时，即塑性区尺寸远比裂即塑性区尺寸远比裂
7、纹长度小纹长度小(此时叫小范围屈服此时叫小范围屈服) ，Keff趋近于趋近于K值值，上式成为：上式成为： 要估计要估计的大小的大小，可假设图中阴影可假设图中阴影线部分的面积线部分的面积A A等于面积等于面积B B。换句换句话说话说，高于屈服应力的高于屈服应力的A A部分已被部分已被B B部分的塑性变形所松弛部分的塑性变形所松弛。 * 222p yseffrKIrwin塑性区的再度估计 因此：因此： 推导得：推导得： 换句话说换句话说，Irwin第二步估计所得第二步估计所得 的塑性区尺寸比初步估计的大一倍的塑性区尺寸比初步估计的大一倍。 要知道要知道Irwin对塑性区的估计建立对塑性区的估计建立
8、 在小范围屈服在小范围屈服(small scale yielding) 的基础上的基础上，如果某含裂纹的构件如果某含裂纹的构件， 其塑性区的尺寸已不是小范围屈服其塑性区的尺寸已不是小范围屈服， 则不但则不但Irwin的不适用的不适用，线弹性断线弹性断 裂力学的分析也不适合裂力学的分析也不适合。 ysysdrrK02* 22 *2p ysprKr5-2 Dugdale模型 Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑性区是狭长块状，如图。由此他仿照性区是狭长块状，如图。由此他仿照Irwin有效裂纹长度的概念，有效裂纹长度的概念，
9、认为裂纹的有效半长度是认为裂纹的有效半长度是a+a+。这里。这里是塑性区尺寸。由于在是塑性区尺寸。由于在a a到到 a+a+间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没 有开裂。因此他假设：塑性区尺寸有开裂。因此他假设：塑性区尺寸的大小，刚好使有效裂纹端的大小，刚好使有效裂纹端 点消失了应力奇异性。点消失了应力奇异性。 Dugdale模型 对于无限大平板对于无限大平板I型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力 作用，此时有效应力强度因子为：作用，此时有效应力强度因子为： 利用叠加原理利用
10、叠加原理，在裂纹两边都受到离中心为在裂纹两边都受到离中心为x处的一对集中压力处的一对集中压力 (-ysdx)作用下作用下，右裂端的应力强度因子为右裂端的应力强度因子为: )(aK)()()( )()( )()( axaxaxa xaxa adxdKysDugdale模型 上式中括号内的第一项来自上式中括号内的第一项来自y y轴右边的集中力，第二项来自左边的轴右边的集中力，第二项来自左边的集中力。对上式从集中力。对上式从a a积分到积分到a+a+ ，则可得作用在塑性区上的应力，则可得作用在塑性区上的应力强度因子强度因子K K： Dugdale模型假设在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有：模型假设
11、在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有： 整理得确定塑性区尺寸的条件为整理得确定塑性区尺寸的条件为 ： aaaKys1cos20KK ysaa 2cos大范围屈服时塑性区尺寸由此式直接解出 Dugdale模型 以以Griffith裂纹为例裂纹为例，在小范围屈服时：在小范围屈服时： 与与Irwin第二步估计比较第二步估计比较，上式给出的塑性区尺寸要比上式给出的塑性区尺寸要比Irwin估计估计稍大稍大。 Dugdale模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。
12、 但是但是Irwin模型和模型和 Dugdale模型都只给出了裂纹前沿塑性区尺寸，模型都只给出了裂纹前沿塑性区尺寸，没有给出塑性区形状，这在下一节讨论。没有给出塑性区形状，这在下一节讨论。 222288 sysKa 习 题 1 若把若把Dugdale模型扩充到模型扩充到III型裂纹型裂纹，试求图中确定试求图中确定塑性区尺寸的方程塑性区尺寸的方程。设已知图示的裂纹的应力强度设已知图示的裂纹的应力强度因子为：因子为： aPK25-3 裂端塑性区形状 Dugdale模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的，模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的，是简化的模型，没有考虑应力的空间状态。对适用于是简化
13、的模型，没有考虑应力的空间状态。对适用于线弹性力学的高强度材料，比较正确的形状可由线弹性力学的高强度材料，比较正确的形状可由Von Misses屈服准则和屈服准则和Tresca屈服准则得到。屈服准则得到。 裂端塑性区形状 现在以现在以I型裂纹为例，裂端的主应力为：型裂纹为例，裂端的主应力为： 在在 范围内，范围内，I I型裂纹的主应力为：型裂纹的主应力为： 平面应力：平面应力： 平面应变：平面应变： 假设问题满足平面应力条件，由假设问题满足平面应力条件，由Misses屈服准则屈服准则： 2221 22xyyxyx 0)2sin1 (2cos221 rK )(021322 132 322 212
14、)()()(s裂端塑性区形状 于是得于是得裂端到塑性区周界的距离裂端到塑性区周界的距离r rp p是是 的函数，其形式为的函数，其形式为 ： 在平面应变时：在平面应变时： 2 22 sin23cos14)(spKr 22 22 sin23)cos1 ()21 (4)(spKr裂端塑性区形状 I型裂纹塑性区形状（型裂纹塑性区形状（a）Von Mises 和和(b)Tresca屈服准则屈服准则 问题在哪里？问题在哪里？ 习 题 1.试用试用Tresca屈服准则给出屈服准则给出I型裂纹的裂端塑性区形状公型裂纹的裂端塑性区形状公式式。 2.试用试用Mises屈服准则作出屈服准则作出II型裂纹的塑性区形
15、状型裂纹的塑性区形状。 5-4 平面应力和平面应变的塑性区 除了很薄的平板，大多数的线弹性平板都处于平除了很薄的平板，大多数的线弹性平板都处于平面应力与平面应变之间的状态。因此，含有贯穿板厚面应力与平面应变之间的状态。因此，含有贯穿板厚裂纹的平板，其裂端塑性区的状态将从表面的平面应裂纹的平板，其裂端塑性区的状态将从表面的平面应力塑性区过渡到内部的平面应变塑性区，其形状将如力塑性区过渡到内部的平面应变塑性区，其形状将如图图(57)所示，呈哑铃形。塑性区的尺寸在表面较大所示，呈哑铃形。塑性区的尺寸在表面较大（因为是平面应力状态），往内部则渐渐减小到平面（因为是平面应力状态），往内部则渐渐减小到平面应变塑性区的尺寸。应变塑性区的尺寸。 图图5-7 平面应变过渡到平面应力的塑性区平面应变过渡到平面应力的塑性区 在实际中，平面应变的断裂其断口较平整，即失稳断在实际中，平面应变的
