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1、 3 6 数学教 育研 究 2 0 1 2年第 4期 构造函数与抛弃函数解题举隅 王光侠 ( 江苏省徐州市铜山镇中学2 2 1 1 1 3 ) 史 华锋 ( 江苏省徐州市铜山区棠 张中 学 2 2 1 1 1 3 ) 所谓“ 构造 函数” 即从无 到有 ， 即在解 题的过 程 中， 根据题 目的条件和 结论特 征 ， 不 失时 机地 “ 构造 ” 出一 个具体 函数 ， 而“ 抛 弃 函数” 则 是舍 弃具 体 的 函数解 析 式 ， 转 向研究 函数 的性 质 ， 从而 找 到解题 的 突破 口 这 两种方法 ， 对 学 生 的思 维能 力 要求 都 特 别 高 ， 难 度 较 大 ， 一般
2、都作为填空题或解 答题 的压轴 部分 ， 更是 各级 各类考试命题 的热点 之一 ， 下 面 举例 说 明其在 解题 中 的应用 例 1 ( 2 0 0 7年 普通 高等 学校 招生 全 国统 一 考试 陕西卷理科 第 1 l题) ， ( -T ) 是定 义在 ( 0 ， +o o )上 的非 负可导 函数 ， 且满足 z _厂 ( z ) +_， ( z ) 6 _厂 ( 6 ) 分析考虑 A、 B两 选项 的结构 特 征 ， 由于 a f ( 6 ) q ( 6 )， 即 n -， ( n) 6 ，( 6 ) 选 D 例 2 已知 函 数 l， ( z) ， R满 足 f( 2 ) 一3
3、， 且 ， ( ) 在 R上的导数满足 -， ( z ) 一1 2 ， 则不等式的解集为( 一。 。 ， 一 2 ) U( 2 ， +o 。 ) 例 3( 2 0 1 0年 普 通高 等学 校招 生 全 国统 一考 试 辽宁卷理科第 2 1题 ) 已知 函数 -厂 ( ) 一( a +1 ) I n + z + 1 ( 1 ) 讨 论函数 -厂 ( -z ) 的单调性 ； ( 2 )设 a 0 ， 故 ( z) 在( o ， +o o ) 单调增 加 ； 当n 一1时， ( z ) o ； -r ( “V _ 2 a， + o 。 ) 时 ， ( z ) L z 1 2 不妨 设 z z z
4、， 则上式等价于 f ( x ) 一f ( x z ) z -X 2 ， 也即 f ( x 1 ) 一z 1 -厂 ( z 2 ) 一z 2 构造 函数 g( z ) 一， ( z ) 一X ， 则 g ( x ) g ( x 2 ) ， 所 以g ( z ) 单调递增， 故 g ( z ) 0 ， 即 ( z ) 一1 0 ， 所以 ( z ) 1 结论 成 立， I ( z )l 4 ， 所 以 J ( z )I ： 十 2 I 4 1 I 由于 n 0 ， 所 以 +2 口 zO ) 或 I f ( x - ) 一f ( x z ) I M J X 一z 2 l ( MO ) 型 的 不
5、等 式的证明 、 求参 数问题 ， 都可 利用上述方法解决 以上 ， 我们通过几个 例子 ， 说明 了构造 函数在 解题 中的具体运用 ， 可 以 发现 ， 在解 题 过程 中， 要 时刻 关 注 题 目的已知和所求 的“ 数式 的结构 特征” ， 适 时“ 构造 ” 下面 ， 我们再来 探究 “ 抛弃 函数” 解题 的例子 例 4 函数 ， ( z ) ： 。 + ， z R， 当 o 时， f ( ms i n O ) +-厂 ( 1 一 ) o恒成立， 则实数 m的取值范围 是 分析直接代人 ， 导致无法继续转化或转 化困难 解 由 ( z ) 一3 x 。 +1 0 ， 知 厂 ( z
6、 ) 为 R上的单调 增 函数 ； 由 ， ( -x ) 一一， ( z ) ， 知 _厂 ( z ) 为奇函数 f( ms i n 0 ) +，( 1 一 ) O _厂( ms i n O ) 一，( 1 一 m) = f ( ms i n O ) ，( m一 1 ) ms i n O 一1 ( 1 一 s i n O ) m k 一2 t 。 即对一切 t R有 ： 3 一2 t -k 0 ， 从而判别式 一 4+ 1 2 1 3 2 t 一 0 上式对一切 t R均成立 ， 从 而判别式 一4 +1 2 k O型 的含参 不等式 ， 常逆用 函数 的单 调性 、 奇偶 性定 义来 解题 ， 一 般 ， 不 需将 厂 ( z ) 的解 析式代人 “ 构造 ” 与“ 抛弃” 函数 ， 是 一个相 反 的过程 ， 它对学 生解 题 的灵活 性 、 创造性 是一 个考 验 ， 平 时的教 学 中， 只要教师抓住题 目的结构特征 ， 启发 正确 ， 学生 还是 能 够突破 的 责任编校钱骁 勇
