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1、第 15 卷第 3 期? ? ? ? ? ? ? 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报1999 年 7 月 Vol. 15 No. 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? JOURNAL OF W UZHOU TEACHERS COLLEGE OF GUANGXI? ? ? ? ? ?Ju l . 1999热力学第一定律对范氏气体的应用言经柳( 南宁师专物理系, 广西? 龙州? 532400) 摘? 要用热力学基本方程导出了范氏气体的内能公式。将热力学第一定律应用于范氏气体,得出了范氏气体的各种过程方程, 并讨论了范氏气体在各种等值过程中能量转换关系。 关键词热力学第一定律;
2、 范氏气体; 过程方程; 能量转换热力学第一定律是热学教学的重点内容之一, 它反映了系统在过程中功、 热量、 内能增量三者之间的量值关系。一般热学教材 1 2由于受篇幅的限制, 仅把该定律应用于理想气体,而较接近于实际气体的范德瓦耳斯气体(以下简称为范氏气体) 却没有讨论。本文先用热力学 基本方程导出范氏气体的内能公式, 然后用热力学第一定律导出范氏气体的各种过程方程, 讨论该气体在各种等值过程中能量的转换关系。1? 范氏气体的内能公式 均匀闭系的热力学基本方程为:dU= T ds- ? Yidxi( 1)在无限邻近的两平衡态之间, 只有单项压缩功时变为:dU = TdS - PdVd( U-
3、 TS) = dF = - SdT - pdV式中 F= U- TS 是系统状态函数自由能, 故有:? ? ? ? ? ? (? S ?V)T= (? P ? T)v(2)上式是麦克斯韦四个关系式之一。另外, 以 T 、 V 为独立变量时, 有:? ? ? ? ? ? dS= (? S ?V)vdT + (? S ?V)TdV(3)? ? ? ? ? ? dU= (?U? T)vdT + (?U? v)TdV(4)将(3)代入(1)得到:? ? ? ? ? ? dU= T (? S ? T)vdT + T (? S ?V)T- P dV(5)比较(4)、 (5)两式各项, 并利用(2) 式可得
4、: 收稿日期 1999- 01- 20?64?第 15 卷第 3 期? ? ? ? ? ? ? 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报1999 年 7 月 Vol. 15 No. 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? JOURNAL OF W UZHOU TEACHERS COLLEGE OF GUANGXI? ? ? ? ? ?Ju l . 1999? ? ? ? ? (?U?V)T= T (? P ? T)V- P(6)? ? 上式是普遍的关系式, 与具体的分子结构模型无关, 它将物质系统的状态方程与内能两方 面的平衡性质联系起来。下面利用这个关系式来推导范氏气体的内能公
5、式。 一摩尔范氏气体的状态方程为? ? ? ? ( p +a v2)( v- b)= RT(7)或? ? ? p =RT v- b-a v2(7) 由上式求得(? p ? T)v=R v- b, 代入(6)式, 并利用(7) 式得到:? ? ? (? u?v)T=a v2(8)式中 u、 v 分别表示范氏气体的摩尔内能和摩尔体积。将( 8)代入(4)得? ? ? du= cvdT +a v2dv(9)式中 cv= (? u ? T)v为定容摩尔热容, 其量值由实验测定, 在温度变化范围不太大的情况下, cv可看成常数, 于是(9)式积分得:? ? ? ? u= cvT -a v+ 常数(10)
6、上式即为一摩尔范氏气体的内能公式, (9)式是它的微分式。 由(7)、 (9) 两式及热力学第一定律可导出范氏气体的各种过程方程及能量转换关系。 2? 范氏气体的各种过程方程及能量转换 2. 1? 多方过程方程 热力学第一定律的数学表达式为 ? ? ? dU= - d Q- - d A = cdT - PdV ? ? (11) 式中 c 为过程摩尔热容。将(7) 、 ( 9)两式代入上式整理后得:( p+a v2) dv+ ( cv- c) dT = 0将(7)代入上式整理后得:? ? ? ?R cv- c!dv v- b+dT T= 0(12)上式是在任意过程中, 范氏气体所遵从的微分方程。
7、如果在过程中 c、 cv均为与T 、 V 无关的 常数, 则这种过程称为多方过程。对多方过程, (12)式可以直接积分, 得到: ? ? ? ? T ( v- b)R/( cv- c)= 常数(13) 上式为范氏气体在多方过程中 T 、 V 的关系式, 联合(7)整理后得:? ? ? ? ( P+a v2)( v- b)n= 常数(14)其中 ? ? ? n= 1-R c- cv(15)称为多方指数。利用(15)式, 可将(13) 式写成 ? ? ? ? T ( v- b)n- 1= 常数(16) 2. 2? 各种等值过程的摩尔热容和多方指数值由热容量的定义式 C=- d Q dT及多方指数的
8、表达式( 15)式可得下列过程的摩尔热容及多方?65?第 15 卷第 3 期? ? ? ? ? ? ? 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学 报1999 年 7 月 Vol. 15 No. 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? JOURNAL OF W UZHOU TEACHERS COLLEGE OF GUANGXI? ? ? ? ? ?Ju l . 1999指数值: 等温过程: c= , ? n= 1绝热过程: c= 0, ? n=cv+ R cv等压过程: c= cp, ? n= 1-R cp- cv 等容过程: c= cv, ? n= - 。 需要注意的是, 定压摩尔热
9、容与定容摩尔热容的差值不再是理想气体的迈尔公式, 而应从 普遍的关系式 3? ? cp- cv= T (? p ? T)v(? v ? T)p? ? ?(17)求出: 由范氏气体状态方程(7) 式, 不难得到:(? p?T)v=R v- b, (?v ? T)p= RRT v- b-2a( v- b) v3- 1代入(17) 式整理后得:? ? ? cp- cv= R 1-2a( v- b)2RT v3- 1(18)上式为范氏气体定压摩尔热容与定容摩尔热容的差值。当温度 T 较高, 压强 P 较小, 摩尔体 积 v 就较大时, 式中分母第 2 项可略, 就变成理想气体的迈尔公式, 即: cp-
10、 cv= R。 (15)式为由多方过程摩尔热容表示的多方指数的关系式, 也可改为由多方指数表示的多 方过程摩尔热容, 即? ? ? ? ? c= cv+R 1?n(19)3. 3? 范氏气体的各种过程方程及能量转换 由(7)式和(14) 式以及上面对各种过程的热容和多方指数的讨论结果, 可以给出下列各种 等值过程的方程及过程中功、 热量、 内能增量的关系式: 3. 3. 1等温过程过程方程为: ( p +a v2)( v - b)= 常数内能增量由(10)式得: u2- u1= a(1 v1-1 v2)对外作功: A =v2v1pdv=v2v1(RT v- b-a v2) dv= RTmv2-
11、 b v1- b+ a(1 v2-1 v1)吸收的热量: Q= ( u2- u1)+ A = RT mv2- b v1- b 3. 3. 2绝热过程:过程方程为: ( p +a v2)( v - b)( cv+ R) / cv= 常数内能增量由(10)式得: u2- u1= cv( T2- T1)- a(1 v2-1 v1) 绝热过程系统与外界无热量交换, 系统对外作功以消耗自身的内能为代价, 即A = - ( u2- u1) = - cv( T2- T1) + a(1 v2-1 v1)?66?第 15 卷第 3 期? ? ? ? ? ? ? 广 西 梧 州 师 范 高 等 专 科 学 校 学
12、 报1999 年 7 月 Vol. 15 No. 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? JOURNAL OF W UZHOU TEACHERS COLLEGE OF GUANGXI? ? ? ? ? ?Ju l . 1999这个功也可由定义式求出:A =v2v1pdv=v2v1dv ( p1+a v2) ( v1- b)( cv+ R)/ cv ! ( v- b)( cv+ R) / cv- 1-? v2上式积分后, 将状态方程和过程方程代入整理后得:A = cv( T2- T1) + a(1 v2-1 v1)3. 3. 3等容过程 过程方程: ( v- b)= 常数 对外作功: A = 0
13、 所吸收的热全部用于增加内能 Q= u2- u1= cv( T2- T1) 3. 3. 4等压过程: 过程方程: p = 常数内能增量: u2- u1= cv( T2- T1)- a(1 v2-1 v1) 吸收热量: Q= cp( T2- T1)对外作功: A = Q- ( u2- u1)= ( cp- cv)( T2- T1)+ a(1 v2-1 v1) 3. 3. 5多方过程过程方程: ( p+a v2) ( v- b)n= 常数内能增量: u2- u1= cv( T2? T1)- a(1 v2-1 v1)对外作功: A =v2v1pdv, 将过程方程( 14) 式代入, 积分后, 再利用
14、过程方程(14) 式和状态方程(7)式得到A =R 1?n( T2- T1) + a(1 v2-1 v1)吸收热量: Q= u2- u1+ A = ( cv+R 1- n)( T2- T1)这个热量也可由 Q= C( T2- T1), 将(19) 式代入而得到。 以上讨论了热力学第一定律对范氏气体(较接近于实际气体) 的应用。可以看到, 范氏气 体在各种过程中都遵从热力学第一定律, 在各种情形下推导出的功、 热量及内能增量的公式, 对分析实际问题是十分有益的。参考文献 1 李椿. 热学. 黑龙江: 人民教育出版社, 1978年 9 月, 第 171 页- 第 180 页. 2 李平. 热学. 北京: 北京师范大学出版社, 1987年 6 月, 第 67 页, 第 277 页. 3 刘连寿. 理论物理简明教程. 武昌: 华中师范大学出版社, 1986 年 7月, 第 233 页. 4 吴瑞贤. 热学研究. 成都: 四川大学出版社, 1987年 4月, 第 22 页- 第 75 页。责任编辑? 韦文生?67?
