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1、此文发表于数学通讯2015 年第 3 期(学生刊)先静后动，各个击破，巧解一类规划题苗勇苗勇（江苏省睢宁县古邳中学，221200） 郑良郑良（安徽省灵璧县第一中学，234200） 单变量范围容易控制，类型相对简单；而多变量各行其是，又相互制约，使得问题错综 复杂，思考起来难免挂一漏万.学生面对此类问题，或一筹莫展，或解题后惴惴不安（担心 算法是否合理，解答是否正确）.因此，在合理算法支撑下，准确无误地操作，方可确保解 答的水到渠成.如线性规划的整点最优解问题，常见方法：一是优值调整法，以退为进先求 出目标函数在可行域下的最优解，当整点最优解不是“角点”时，向可行域内部进行优值调 整；二是枚举法
2、，先固定每一个x（或y）的值，求出目标函数的最值，然后将这些（有限个）最值再进行一次筛选，得到整点的最优解（最终的最值）.例例 1设实数, x y满足20, 250, 20,xy xy y 求11 2uxy的取值范围.这是线性约束条件下的非线性规划问题，因为目标函数没有明显的几何意义，不易“对 号入座”，导致解题思维的发散和解法的多样化.文1通过对目标函数变形，使之转化为 求二次函数在动区间上的最值问题， 但由于参变量的讨论稍显复杂， 出现了错误结果； 文 2通过换元 （令11,stxy） ， 将目标函数转化为线性函数， 但可行域却难以画出， 未达到“好作图”、“作图好”、“用好图”的目的，正
3、是由于可行域的判断失误，导致错误结果的发 生. 当前教学中，由于受到高考指挥棒的影响，课堂上过度注重对常规题（高考试题的外显 形式）的“通性通法”的强调与演练，而疏于对其逻辑原理进行解释和帮助学生理解，使得 对很多学生解题时出现“张冠李戴”、“移花接木”的现象.题目结构特征是解题的出发点、 落脚点和归宿.在教与学中，我们要以题目结构特点为抓手，以思维培养为目标，让学生思 维适度发散聚合，既要“通性通法”，也要“奇思妙想”.本文给出这个问题的另类解法. 解：可行域如图 1 阴影部分（含边界），容易求出点(1,2)A，(4,2)B，(3,1)C，所以14x，12y，设点( , )P x y是可行域
4、内一动点，二元函数11( , )2u x yxy，既是x的减函数，也是y的减函数。 当P点与C点重合时，此时x取得最大值 4，同时y取得最大值 2，此时u取得最小值111 4222；对于每一个固定的y的值，要使u取得最大值，应使x取得最小值，即P点应位于线段AB上，此时52 (12)xyy，11115( )(12)25222 (52 )u yyxyyyyy.记图 12( )2 (52 )410f yyyyy ，其图象开口向下，故min( )min (1),(2)6,44f yff，所以max min55 ( )4uf y，此时P (1,2)与点A重合；综上所述，u的取值范围是1 5 , 2 4
5、.评析：评析：目标函数是一个二元函数，先将其中一个固定（看成常数），考察函数单调性， 寻找其取最值的必要条件，得到二变元之间的等量关系，再利用此等量关系进行消元，转化 为一元函数，由陌生到熟悉，由复杂到简单，达到“以静制动，各个击破”的效果，容易理 解，便于操作.例例 2设实数, x y满足20, 250, 20,xy xy y 求（1）22 1uxy的取值范围；（2）求2 2uxy的取值范围；解：可行域如图 1 阴影部分（含边界），设点( , )P x y是可行域中的动点.(1)对于22 1uxy，是x的增函数，是y的减函数，对于每一个固定的y的值，要使1u取得最大值，应使x取得最大值，即P
6、点应位于线段BC上，此时2(12)xyy，22 1(2)4412uyyy,当2y 时取得等号，所以1u的最大值为 12，此时点P与点C重合；由于22 1uxy是x的增函数，是y的减函数，当P点与A点重合时，此时x取得最小值 1，同时y取得最大值 2，所以此时1u取得最小值22123 ；综上所述，1u的取值范围是 3,12.(2)对于2 2uxy，既是x的增函数，也是y的增函数，当P点与C点重合时，此时x取得了最大值 4，同时y取得最大值 2，此时2u取得最大值2428；对于每一个固定的y的值，要使2u取得最小值，应使x取得最小值，即P点应位于线段AB上，此时52 (12)xyy，此时222 2
7、52(1)44uxyyyy,当1y 时取得等号，所以1u的最小值为 4，此时点(3,1)P与点B重合；综上所述，2u的取值范围是4,8.例例 3 (2008 年上海高考 11 题) 在平面直角坐标系中，点, ,A B C的坐标分别为(0，1)，(4， 2)，(2，6)如果( , )P x y是ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当xy取到最大值 时，点P的坐标是_ 解：如图 2，04x，16y，xy是x，y的增 函数.对于固定的y，要使取最大值，应使P在最右方，对于固定的x，要使取最大值，应使P在最上方，所以当取最大值时，P点应位于线段BC上，易求出线段BC方程为210(24)yxx ，此时
8、( 210)xyxx252()2x 25 2，所以当5 2x 时，取得最大值，此时5( ,5)2P.评析：评析：与前两例不同，本例需两次分别固定变量，才能确认当取最大值时，P点必位于线段BC上.要迁动思维， 举一反三， 勤于质疑，力求规范.不理解方法的本质，机械模仿，生搬硬套， 不是学好数学的正确选择.例例 4（江苏省徐州市 2014 届高三考前模拟 14）设等差数列na的公差为d，前n项和为nS，且11a ，2424a，12168S，则2 9ad的取值范围是_.解：由题意可得，12324da，111228da，记xd，1ya，在平面直角坐标系中， 动点( , )P x y满足1, 2324,
9、 11228,y xy xy 不等式表示的平面区域是图 3中的阴影部分（含边界），易求得(1,1)A，26(,1)11B，4 76( ,)77C，设2 9tad28xxy 2(4)16xy ，由二次函数性质可得，对于每一个固定的y，当x越接近 4 时t越大，当x远离 4 时t越小，所以要使t取最大值，( , )P x y必在线段BC上，此时11228xy，25142txx 25249 426()()416711xx ，所以当5 4x ，即点5 57( ,)48P时，t取得最大值249 16；要使t取最小值，( , )P x y必在线段AC上，此时2324xy，22153211524()24txxx 4(1)7x， 所以当1x ， 即(1,1)P时，t取得最小值 8.综上所述，2 9ad的取值范围是2498,16.图 2图 3图 2评析：评析：通过换元，使其更加符合习惯.解题时，要善于对条件和结论进行加工、调整， 将其纳入我们认知的轨道中来.练习练习设实数, x y满足20, 250, 20,xy xy y 求38 27uxy的取值范围.答案：1723,27 参考文献：参考文献： 1陈大连.把握解法的本质，方可以不变应万变J.数学通讯，2014（上半月）（4）. 2曾晓阳. 换元回归根本，再探另类规划问题J.数学通讯，2014（上半月）（9）.
