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1、第 29卷 2007年 8月?第 4期 28- 32页世界科技研究与发展 WORLD SCI -TECH R 在 GPS导航中, 只有测出载波相位值, 才可实现精确目标定位等。总体上, 相位测量可分为模拟和数字方法两种:传统依靠模拟器件的方法, 如二极管鉴相法、 脉冲计数法 1等, 测量系统复杂, 需专用器件, 硬件成本高 2; 近年来, 相位测量逐渐向数字化方向发展, 其优点在于硬件成本低、 适应性强, 对不同的测量对象只需改变可编程器件 (如 FPGA、 DSP等 ) 的内部程序算法即可, 且其精度一般高于模拟式测量。显然,选定一套精确的相位测量算法是关键。FFT是数字化测相中常采用的手段
2、, 这是因为FFT的结果为复数, 从而含有丰富的相位信息。但FFT具有两个缺陷: ( 1) 只有当采样频率为 FFT 频率间隔的整数倍时, 测出的相位才准确, 否则会出现? 不同步采样 ?情况而使得测出相位不准, 从而需借助校正措施给予修正 2; ( 2) FFT 存在较严重的频谱泄漏效应 4, 频谱泄漏会降低相位测量精度。文献 5提出一种全相位 FFT ( al- l phase FFT,简称 apFFT或 apFFT)谱分析方法, 并指出 apFFT比 传统 FFT具有更优良的抑制频谱泄漏性能。但文献 5只研究了振幅谱, 对相位谱未作研究; 本文对apFFT的相位谱作深入理论分析发现: a
3、pFFT 具有 ?相位不变性 ?, 该性质意味着即使是在 ? 不同步采样的情况 ?, 无需借助任何附加的校正措施即可精 确提取出信号相位信息, 因而在相位计的设计、 激光测距、 雷达等多个应用领域具有较高的实用价值。另外, 本文对在噪声环境中的 apFFT 的测相精度作 了系统理论分析, 并与现有精度最高的基于 FFT 的时移相位差频谱校正法作比较, 从而从量度上证明了 apFFT的高精度测相性能。1? 全相位输入数据在数字信号处理中, DFT 处理的是信号 x (n)截 断后的周期延拓信号, 以 N = 3为例, 取 n = 0的 x( 0)为开始取样点, 则传统截断向量为 x0= x (
4、0),x( - 1), x( - 2) T, DFT 处理的是 x 0的周期延拓。 但对包含 x ( 0) 的 N = 3的截断而言, n = 1的2007年 8月世界科技研究与发展?信息技术www. globesci . com第 29? ? ?页x ( 1), n= 2的 x( 2)也可作为开始取样点, 则截断向量为 x1= x ( 1), x ( 0), x ( - 1) T, x 2= x ( 2), x( 1), x (0) T, 这 3个周期延拓信号相加形成一个新的全相位周期延拓信号。而全相位数据最终也是形成一个长为 N的向量, 其处理过程如图 1所示:图 1? 无窗全相位数据预处
5、理流图Fig . 1?Processing flow of no -w indow al- lphase data? 从图 1可看到全相位处理的步骤如下:( 1)列出所有包含 x ( 0)的长度为 N的子数据 向量。( 2)对所有子数据向量在截断原位置进行周期延拓。( 3)在截断的主区间内进行求和, 即得全相位 处理后的长为 N的数据全相位输入数据。很显然, 图 1的数据处理可用图 2来表示。图 2表明: 全相位处理等价于用一卷积窗wc图 2? 无窗全相位处理的等效框图Fig. 2? Equivalent diagra m ofno -w indo w al- l phase processi
6、ng对以 x ( 0)为中心的长为 ( 2 N-1)的数据向量进行加权处理, 再移位求和, 文献 6证明:wc(n) = f (n)*b( - n)( 1) 例如无窗时, 有 f = b = RN(RN为矩形窗 ), 则当 N = 3时, wc= 1 1 1* 1 1 1 = 1 2 3 2 1T即为图 2的三角加权窗。双窗时, f = b = WN(WN 为任何对称窗, 如汉宁窗等 )。? ? 以一简单例子来说明全相位 DFT 测相原理, 令N= 6, x( n) = 2cos( 2 . 2 ? 2n?/6+ 60?), - 5?n?5 的 11个输入数据 x- 5 x5为: - 1 . 0
7、000 ,- 0 . 6180 ,1. 8271 ,- 1 . 8271 ,0 . 6180 ,1 . 0000 ,- 1 . 9563,1 . 6180 ,- 0 . 2091 ,- 1 . 3383 ,2 . 0000 若考虑所有包括中心样点 x0= 1 . 0000的长度为 6的截断情况, 并对各截断序列进行循环移位后并对齐 x0起来, 则可形成如下 6个子分段 x0 x5的数据:? n= 0n= 1n= 2n= 3n= 4n= 5 x0: ?1 . 0000 ,- 1 . 9563,1 . 6180 ,- 0 . 2091 ,- 1 . 3383 ,2 . 0000 x1: ?1 .
8、0000 ,- 1 . 9563,1 . 6180 ,- 0 . 2091 ,- 1 . 3383 ,1 . 0000 x2: ?1 . 0000 ,- 1 . 9563,1 . 6180 ,- 0 . 2091 ,0 . 6180 ,1 . 0000 x3: ?1 . 0000 ,- 1 . 9563,1 . 6180 ,- 1 . 8271 ,0 . 6180 ,1 . 0000 x4: ?1 . 0000 ,- 1 . 9563,1 . 8271 ,- 1 . 8271 ,0 . 6180 ,1 . 0000 x5: ?1 . 0000 ,- 1 . 0000,1 . 8271 ,- 1
9、 . 8271 ,0 . 6180 ,1 . 0000? 若分别对 x0 x5进行 FFT 后则可得各子分段离散谱 Xi( k), ( i, k = 0 , ?, 5)即:Xi(k) =?N- 1n= 0xi(n) e-j2? Nnk?,i k? 0 , N- 1 ( 2)对各子谱 Xi(k)进行求和平均后就得到了全相位 FFT谱 Y(k), 即:Y(k) =1 N?N- 1i= 0Xi(k) ? k ? 0 , N - 1( 3)? ? 各子振幅谱 |Xi( k) |如图 3( a) ( f) 所有,apFFT的振幅谱 |Y(k) |如图 3( g)所示:对各子谱 Xi(k ) 和全相位谱
10、Y( k)取相角后得到的相位谱 ?i(k)和数据 ?Y(k)如表 1所示 (单位:度 )。从图 3( a) ( f)可看出, 各子谱在主谱线 k= 2的周围的旁谱线泄漏都很大, 式 ( 2) 求和平均的结果使得各子谱的泄漏相互抵消了很大一部分, 从而信息技术?世界科技研究与发展2007年 8月第 30? ? ?页www. globesci. com图 3? 各子分段 FFT和全相位 FFT的振幅谱Fig . 3?Sub-sections?amplitude spectrums ofFFT andamplitude spectrums of apFFT导致最终形成的 apFFT谱 Y( k)的旁
11、谱线泄漏很窄的性质意味着, 当信号包含多种频率成分时, 各频率成分的谱间干扰会变得很小, 如图 3( g)所示。 从表 1可看出, 在主谱线 k= 2处的各子相位谱?i(2) 与初相理论值 60?都差别较大, 最精确的?3(2)也仅有 55 . 366? , 与理论值相差近 5度, 而全相位 FFT 相位谱 ?Y( 2)则为 59 . 164? , 与理论值相 差不到 1度。这意味着, apFFT具有较好的测相位性能。事实上, 可采用加双窗措施 (即 f = b? RN时 )进 一步提高 apFFT 的测相精度: 经实验验证, 若设定本例中 f、 b同为汉宁窗, 则测到的相位谱 ?Y( 2)为
12、59 . 991? , 其精度得到进一步提高。2? 全相位 FFT其测相原理分析2 . 1? 全相位 FFT 简化表示N 阶全相位 FFT的处理框图如图 4所示。 2 . 2? 传统 FFT和全相位 FFT 理论分析:以单频复指数序列 x (n) = ej( 2?nm / N + ?0)来比较其传统 FFT 谱和全相位 FFT谱的结果。? ?x( n) 的传统 FFT 谱为:表 1? 各子相位谱和 apFFT相位谱数据 (N = 6, 单位: 度 )Table 1 ? Data of sub phasesmeasured by apFFT (N = 6, unit : degree)k = 0
13、k = 1k = 2k = 3k = 4k = 5?0038 . 44184. 0000- 84 . 000- 38 . 441?1180. 000- 39 . 58774. 590074 . 59039 . 587?2180. 000- 49 . 48373. 2930- 73 . 29349 . 483?30- 151 . 5455. 3660- 55 . 366151 . 54?4180. 000103 . 03134. 774180. 000- 34 . 774- 103 . 03?5060 . 00030. 000180. 000- 30 . 000- 60 . 000?Y039 .
14、 87059. 1640- 59 . 164- 39 . 870?X (k) =1 N?N- 1n= 0ej?0ej2?nm /Ne-j2?kn/N=1 Nej?0?N- 1n= 0ej2?(m- k)n / N=1 Nej?01- ej2?(m- k)1- ej2?(m-k ) /N=1 Nej?0e- j?(m- k)- ej?(m- k)e- j?(m- k) /N- ej?(m- k) / Nej?(m-k )ej?(m- k) /N=1 Nsin ?(m - k) sin ?(m - k) /N ej ?0+ ( 1- 1/N)?(m- k) ( 4)? ? 全相位数据的来源, 可以
15、认为对于时间序列中的一点 x( 0), 存在且只存在 N 个包含该点的 N 维向量:x0= x( 0), x (1), ?, x(N - 1) Tx1= x(- 1), x( 0), ?, x (N - 2) T?xN- 1= x(- N + 1), x (- N + 2), ?, x (0) T(5)? ? 将每个向量进行循环移位把样本点 x( 0)移到2007年 8月世界科技研究与发展?信息技术www. globesci . com第 31? ? ?页图 4? 全相位 FFT谱分析的基本框图 (N = 4)Fig . 4? D iagra m of apFFT spectral analy
16、sis (N= 4)首位, 则得到另外的 N个 N维向量:x?0= x( 0), x (1), ?, x(N - 1) Tx?1= x( 0), x (1), ?, x(- 1) T?( 6)x?N- 1= x( 0), x(- N + 1), ?, x(- 1) T? 对准 x( 0)相加得到全相位数据向量:xAP=1 NNx( 0), (N - 1)x( 1) + x (- N + 1),?, x(N - 1) + (N - 1)x (- 1) T? 根据 DFT 的移位性质, 式 ( 6)的 x?i的离散傅立叶变换 X ?i(k)和式 ( 5)的 xi的离散傅立叶变换 Xi(k)之间有很明确的关系:X ?i(k) = Xi(k) ej2?ki N, i ? 0,N - 1( 7)? 式 ( 6)对 i求和的平均即为全相位 FFT的输出:?xap(k) =1 N?N- 1i= 0X ?i(k) =1 N?
