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1、 1 运筹学的原理与方法习题答案 第一章习题 1 . ( 1 ) 设决策变量 x1, x2分别表示生产产品 A , B 的产量，则此问题的数学模型可归结为：求 x1, x2，使得 m a x Z = 5 5 0 x1+ 2 0 0 x2; s . t . +0,16244267212121xxxxxx( 2 ) 设决策变量 x1, x2, x3分别表示 A , B , C 三种产品的月需求量， 则此问题的数学模型可归结为：求 x1, x2, x3，使得 m a x Z = 1 0 x1+ 1 4 x2+ 1 2 x3; s . t . +120100,280250,25020010000 .
2、12 . 10 . 220000 . 45 . 10 . 1321321321xxxxxxxxx( 3 ) 设决策变量 xj表示第 j 种合金的用量（j = 1 , 2 , , 5 ） ，则此问题的数学模型可归结为：求 xj，使得 m i n Z = 8 . 5 x1+ 6 . 0 x2+ 8 . 9 x3+ 5 . 7 x4+ 8 . 8 x5; s . t . =+=+=+=)5,.,2 , 1(0x)xxxx(x5040x+ 80x+ 30x+ 70x+ 10x)xxxx(x2010x+ 10x+ 20x+ 20x+ 60x)xxxx30(x 50x+ 10x+ 50x+ 10x+ 30
3、xj543215432154321543215432154321j( 4 ) 依题意，各种可能的搭配方案为： 方案 B1 B2 B3 需要根数 3 m 3 0 2 9 0 4 m 0 2 1 6 0 设决策变量 xj表示第 Bj种方案所用钢筋的根数，则此问题的数学模型可归结为：求 xj2 （j = 1 , 2 , 3 ） ，使得 m i n Z = x1+ x2+ x3; s . t . =+)3 , 2 , 1(060290233231jxxxxxj( 5 ) 设决策变量 xj表示第 j班次开始上班的人数，则此问题的数学模型可归结为：求xj，使得 m i n Z =61jjx; s . t
4、.=+) 6,.,2 , 1(0302050607060655443322116jxxxxxxxxxxxxxj( 6 ) 依题意，设 Bj( j = 1 , 2 , , n ) 为用料方案，则各种可能的搭配方案为： 方案 B1 B2 Bn 需要根数 1 . 5 7 m a11 a12 an12 0 0 1 . 4 5 m a21 a22 an22 0 0 1 . 3 m a31 a32 an36 0 0 0 . 3 5 m a41 a42 an41 2 0 0 设决策变量 xj表示采用 Bj种方案下料的根数，则此问题的数学模型可归结为：求 xj（j = 1 , 2 , , n ） ，使得 3
5、m i n Z =njjx1; s . t .=+),.,2 , 1(01200.600.200.200.4242141323213122221211212111njxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxajnnnnnnnn( 7 ) 设决策变量 xij为生产 i 型( i = 1 , 2 , 3 ) 产品所需 j 型设备 （j = 1 , 2 , 3 对应 A , B , C ） 加工的时间，则此问题的数学模型为： 求 xij( i = 1 , 2 , 3 ; j = 1 , 2 , 3 ) 使得利润最大化, 即 m a x Z = ( 5 0 - 1 5 ) * 1 0 x11+
6、 ( 1 0 0 - 2 5 ) * 2 0 x21+ ( 4 5 - 1 0 ) * 1 0 x32- 2 0 0 ( x11+ x21) - 1 0 0 ( x12+ x32) - 2 0 0 ( x23+ x33) s . t .=+=) 3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(0 604550242332332122111333223211211jixxxxxxxxxxxxxij2 . ( 1 ) 引入松弛变量 x5, x6，令自由变量 x4= x 4- x 4，则其标准形式为： m a x Z= - Z = 3 x 1- 4 x2+ 2 x3- 5 ( x 4- x 4) ; s
7、. t .=+=+=+0,x, x, x, x,x,x2x- 2x- x2 x- 3x 2x-14 xx+ x- 3x+ x x2 x- x 2x- x4x-65 4 43216 4 43215 4 4321 4 4321x( 2 ) 引入松弛变量 x4，令自由变量 x1= - x 1, x3= x 3- x 3，则其标准形式为： m a x Z= - Z = 2 x 1+ x2- 3 ( x 3- x 3) ; 4 s . t . =+=+0 x, x,x,x6 x3x+ 3x - x 5x-4 x- x+ 2xx 3 32 14 3 32 1 3 32 13 . ( 1 ) 在 x1o x
8、2坐标平面作直线 l1: 2 x1+ 5 x2= 6 0 l2: x1+ x2= 1 8 l3: 3 x1+ x2= 4 4 其等值线为：2 x1+ x2= k 此时 =513* 2* 1 xx为最优解, Z*= 3 1 . ( 2 ) 在 x1o x2坐标平面作直线 l1: - x1+ 2 x2= 2 5 l2: x1+ x2= 2 0 l3: 5 x1+ 3 x2= 7 5 其等值线为：5 x1+ 1 0 x2= k 此时 =155* 2* 1 xx为最优解, Z*= 1 7 5 . ( 3 ) 在 x1o x2坐标平面作直线 l1: 2 x1+ 5 x2= 6 0 l2: x1+ x2=
9、 1 8 l3: 3 x1+ x2= 4 4 其等值线为：2 x1+ 5 x2= k 此时有无穷多解. ( 4 ) 在 x1o x2坐标平面作直线 l1: 2 x1+ x2= 1 0 5 l2: - 3 x1+ 2 x2= 6 l3: x1+ x2= 6 其等值线为：4 x1+ 3 x2= k 此时是无界的. ( 5 ) 在 x1o x2坐标平面作直线 l1: 2 x1+ 2 x2= 1 0 l2: - x1+ x2= 8 其等值线为：4 x1+ 8 x2= k 此时无可行解. （6 ）在 x1o x2坐标平面作直线 l1: 2 x1+ 2 x2= 1 0 l2: - x1+ x2= 8 其等
10、值线为：- 4 x1- 3 x2= k 此时 =24* 2* 1 xx为最优解, Z*= 2 2 . 4 （1 ）引入松弛变量 x3, x4，将问题化为标准形式： m a x Z = 3 x1+ 2 x2; s . t . =+=+0,62624321421321xxxxxxxxxx则约束方程组的系数矩阵为： A = 1 , 0 , 2 , 1 0 , 1 , 1 , 2= ( p1, p2, p3, p4) p1, p2线性无关，取 B0= ( p1, p2) = 2 , 1 1 , 2为一个基 则 x1, x2为基变量， x3, x4为非基变量， 令 x3= x4= 0 ， 代入约束方程解
11、得: x1= 2 , 6 x2= 2 所以 X)0(= ( 2 , 2 , 0 , 0 )T为对应基 B0的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因而也是基可行解，此时 Z = 1 0 . p1, p3线性无关，取 B1= ( p1, p3) = 0 , 1 1 , 2为一个基 则 x1, x3为基变量， x2, x4为非基变量， 令 x2= x4= 0 ， 代入约束方程解得: x1= 6 , x3= - 6 所以 X)1(= ( 6 , 0 , - 6 , 0 )T为对应基 B1的一个基本解，由于它的基变量 x30，因而不是基可行解. p1, p4线性无关，取 B2= ( p1, p4) =
12、1 , 1 0 , 2为一个基 则 x1, x4为基变量， x2, x3为非基变量， 令 x2= x3= 0 ， 代入约束方程解得: x1= 3 , x4= 3 所以 X)2(= ( 3 , 0 , 0 , 3 )T为对应基 B2的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因而也是基可行解，此时 Z = 9 . P2, p3线性无关，取 B3= ( p2, p3) = 0 , 2 1 , 1为一个基 则 x2, x3为基变量， x1, x4为非基变量， 令 x1= x4= 0 ， 代入约束方程解得: x2= 3 , x3= 3 所以 X)3(= ( 0 , 3 , 3 , 0 )T为对应基 B3的一
13、个基本解，由于它的基变量取值非负，因而也是基可行解，此时 Z = 6 . p2, p4线性无关，取 B4= ( p2, p4) = 1 , 2 0 , 1为一个基 则 x2, x4为基变量， x1, x3为非基变量， 令 x1= x3= 0 ， 代入约束方程解得: x2= 6 , x4= - 6 所以 X4= ( 0 , 6 , 0 , - 6 )T为对应基 B4的一个基本解，由于它的基变量 x40，因而7 不是基可行解. p3, p4线性无关，取 B5= ( p3, p4) = 1 , 0 0 , 1为一个基 则 x3, x4为基变量， x1, x2为非基变量， 令 x1= x2= 0 ， 代入约束方程解得: x3= 6 , x4= 6 所以 X)5(= ( 0 , 0 , 6 , 6 )T为对应基 B5的一个基本解，由于它的基变量取值非负，因而也是基可行解，此时 Z = 0 . 综上所述，最优解为：X*= （2 ，2 ，0 ，0 ）T，Z*= 1 0 .
