数学项目活动_平面图形镶嵌_的设计与实施

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1、数学项目活动 ?平面图形镶嵌 ?的设计与实施200062? 上海华东师范大学课程与教学系? 袁柳芳1? 数学项目活动简介数学项目活动, 是教师指导学生对真实世界中有意义的、 有价值的、 有挑战性的主题进行深入探究的课程活动, 学习者围绕具体的数学项目活动主题, 以达成一种或多种学习目标, 充分选择和利用最优化的学习资源, 在探索、 体验、 操作、 制作等实践活动中, 获得较为完整而具体的知识, 形成专门的技能并促进各项能力的发展. 这与我国新基础教育改革的目标 ?形成积极主动的学习态度 ?、 ?倡导学生主动参与、 乐于探究、 勤于思考 ?、?培养学生收集和处理信息的能力、 获取新知识的能力、分

2、析和解决问题的能力以及交流合作的能力 ?是一致的, 也与国内提倡的 ?数学探究、 数学建模 ?的学习方式相对应. 20世纪以来, 这种与课程标准和教科书知识体系结合的项目活动受到各国教育者的关注, 成为美国、德国、 澳大利亚等国家中小学教学广泛采用的一种教学模式.项目活动包括了设计、 实施、 评价与反馈等一系列环节, 而在开展数学项目活动之前, 如何根据学习论和教学论原理, 针对数学学科知识和项目学习的特点, 系统地设计项目学习的各个环节是首要而关键的一步, 是为学习者创设最优环境的准备过程.2? 数学项目活动的设计2. 1? 设计理念?平面图形镶嵌 ?是七年级下册的知识, 是学生在学习了简单

3、的平面图形和立体图形知识后设计的拓展学习活动. 镶嵌是由形状相同的图形经过合同变换 (平移、旋转和反射 )得到的, 而合同变换 (或运动 )是义务教育数学课程标准中新增的一个重要内容, 许多版本的教材都将其作为一个必学内容, 近年来很多地方也将其列入中考的范围, 同时在我们日常生活中也可经常发现镶嵌图案. 通过平面图形镶嵌这一活动主题, 利用现实丰富的生活经验, 为学生提供充分的从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解并掌握基本的数学知识与技能、 数学思想和方法, 获得广泛的数学活动经验. 该主题有着丰富的教育教学价值.2. 2? 设计案例活动 1? 寻找生活中的密铺图

4、案认真观察我们周围的事物, 就能发现许多用各种材料铺砌而成的美丽的图案, 同时自然界中也蕴藏着丰富多彩的镶嵌图案. 请用心观察并回答下面问题:(1)你记得平面镶嵌的定义是什么吗? 要在什么条件下才能进行平面镶嵌?(2)在我们数学的世界里, 你能找到哪些镶嵌图形?请至少找出 5种;(3)寻找生活中或自然界中的密铺图案, 并说明为什么是镶嵌图形.所需数学知识或技能? ? 平面镶嵌的定义、 特点及分类,对数学的审美能力和观察能力活动形式? ? 收集、 整理生活中的图形图案,并谈谈你对平面镶嵌的理解成果建议? ? 以照片或图片的形式展示并给出其数学原理? ?设计意图 ? 让学生回顾平面镶嵌的概念及构成

5、条件, 再从数学中和生活中寻找镶嵌图案, 加深对平面镶嵌的理解, 感受数学与生活的密切联系, 体会数学的美学价值.活动 2? 探索平面镶嵌(1)用单一的图形可以进行平面镶嵌, 同时用多种图形组合起来同样可以拼接出各种丰富的图案. 试借助几何画板或超级画板软件实验操作, 探索用一种或两种或三种正多边形能否进行平面镶嵌. 请画出相关镶嵌图案, 并思考你能得出什么结论.? 仅用一种正多边形镶嵌, 哪几种正多边形能镶嵌成一个平面?图 1? ? ? ? ? ? ? 图 2? ? ? ? ? ? ? ? 图 3图 4(正三边形、 正四边形、 正六边形, 如图 1, 2, 3)? 允许用两种正多边形组合起来

6、镶嵌,由哪两种边长相等的正多边形组合起来能镶嵌成一个平面?7?教材教法? ? ? ? ? ?( 2011年第 2期? 初中版 )正多边形 1正多边形 2 平面镶嵌图案34如图 436?312?48? ? ? ? ? ? ? ?图 5? ? 允许用三种正多 边形 组 合 起 来 镶嵌, 由 哪三种边长相等的正多边形组合起来 能镶 嵌 成 一 个 平面?正多边形 1正多边形 2正多边形 3 平面镶嵌图案346如图 53412?4612? ?(2)从上面这些实验中, 你能从中得出平面镶嵌的基本规律吗? 试通过代数方法探究能够进行平面镶嵌的正多边形种类及其组合方式, 体会数形结合的思想.理论验证 ?

7、? 仅用一种正多边形进行镶嵌, 要嵌成一个平面, 必须要求在公共顶点上所有内角和为 360度. 令正多边形的边数为 n, 个数为 m, 则有(n- 2)180? n? m = 360? , 解得m= 6,n= 3,m = 4,n = 4,m = 3,n= 6,所以可以用同一种正多边形平面镶嵌的图形只有正三角形, 正四边形, 正六边形.? 如果用几种正多边形进行平面镶嵌, 一个必要条件是: 在每一个顶点, 相邻的多边形的内角和是 360? . 设正多边形的边长分别是 n1, n2, ?, nm, 因为正 n边形的一个内角是(n - 2) ? 180? n, 由平面镶嵌的定义知, 要使共点 的 m

8、 个 内 角 和 为 360? , 则 有n1- 2 ? 180? n1+n2- 2 ? 180? n2+ ? +nm- 2 ? 180? nm= 360? , 化简, 得1 n1+1 n2+ ? +1 nm=m- 2 2. 再对 n和 m 讨论, 可以得出组合的 17种情况, 但验证后能够镶嵌的只有 11种情况. 如果仅是用尝试的方法逐一检验, 会有遗漏的情况, 有学生用了方程的思想, 得到了能够镶嵌的各种组合方式. )(3)非正多边形 (凸多边形 )能够进行平面镶嵌吗?是不是任意非正多边形都能够进行平面镶嵌? 说说你的理由.(任意三角形和凸四边形可以进行平面镶嵌, 对于特定的五边形和六边形

9、才能镶嵌 )所需数学知识或技能? ? 镶嵌的认识及分类, 电子软件绘图能力、 推理计算能力活动形式? ? 利用几何画板等电子软件探究并绘制图案, 纸笔验证, 制作海报成果建议? ? 结果以表格形式呈现, 利用海报或小论文解释其中的原理? ? 设计意图 ? 在进行实验 ? 时, 学生在动手操作中就存在一定的盲目性, 但由于问题较为简单, 因而也能较快地得到答案. 但对于实验 ? 、 ? , 如果只是碰运气地乱试一通, 是很难得到较多结论的, 这就迫使学生在动手的同时还要动脑, 思考应当如何恰当地组合几种正多边形, 才能进行平面镶嵌. 在实验获得了一定的经验的基础上, 引导学生找出用一种正多边形进

10、行平面镶嵌的基本规律, 将此问题归结为一个不定方程的正整数解问题, 从而使学生对于用一种正多边形进行平面镶嵌问题的认识由感性上升到理性. 最后再对非正多边形进行讨论, 进一步加深平面镶嵌的认识.活动 3? 制作镶嵌图案生活中你会发现有许多利用一种或几种规则与不规则多边形设计的图案, 如图 6所示.图 6 (1)你能看出图 6同一个图形的镶嵌中, 各个基本图形有什么样的位置关系和大小关系吗? 是否可以将其中一个基本图形通过适当的变换 (平移、 旋转或对称 )图 7而得到另一个图形?(2)给你一个任意的四边形, 你能构造出它的镶嵌图案吗?(3)观察图 7, 你能看出它的基本图形吗? 它是由基本图8

11、?( 2011年第 2期? 初中版 )? ? ? ? ? ? ?教材教法?例谈数学实验问题的设计? ? 以数学活动 ?折纸与证明 ?为例222004? 江苏省连云港市新海实验中学? 姜晓刚? ? 初中数学实验教学是指在初中阶段, 根据国家课程标准、 学生认知水平及教学思想发展的脉络, 创设恰当的问题情境, 利用合理的实验手段, 引导学生从直观现象到发现、 猜想, 然后给出验证及理论证明, 使学生亲历数学建构, 逐步掌握认识事物、 发现真理的方法, 并以此来培养学生的创造能力, 提高学生的数学素养的数学教学形式.如何设计和组织数学实验教学, 让课堂切实达到提高学生学习兴趣、 培养学生能力的目的,

12、 是苏科版教科书教学的一个重点和难点. 首先必须面对的是教学设计, 教科书只给教师提供了必要的基本素材, 留给教师广阔的设计空间. 教师要结合学生的学情, 恰如其分地进行加工、 改造和设计, 让学生在亲历体验的过程中发展能力、 感悟过程与方法.在教学设计中, 数学实验问题的设计显得尤为重要, 为了提升数学实验活动的指向性和有效性, 所设计的实验活动问题须具有 ?三性 ?:其一, 层次性. 要充分考虑到不同层次学生的学习基础, 不要 ?一步到位 ?和 ?一刀切 ?. 对于不同层次学生要有不同的要求, 通过动手实验, 小组交流, 同学间可以得到相互弥补、 借鉴, 相互启发、 拨动, 形成立体、 交

13、互的思维网络, 往往会产生 1+ 1?2的效果, 使不同层次的学生在数学实践活动中都有所收获.像经过什么变换设计出来的?(4)美国中学生罗伯特 ? 加耐特曾经利用简易的变换创造出奇妙的镶嵌图案 ? 跳跃的青蛙 ? (参阅迈克尔.塞拉著 ?发现几何 ? 一种归纳的方法 ?), 请查找相关资料, 了解其创造的过程, 并试着自行设计一个镶嵌图案.(5)充分发挥你的聪明才智, 用几何软件或纸质材料设计一个多姿多彩的密铺图案.所需数学知识或技能? ? 几何变换的性质, 电子软件绘图的能力, 动手操作的能力活动形式? ? 搜集资料, 动手制作镶嵌图案;电子软件绘图成果建议? ? 以手工艺术作品或计算机绘图

14、形式展示, 并撰写设计说明? ? 设计意图 ? 通过分析由基本图形经过变换得到镶嵌的图案, 理解几何变换的过程, 并通过动手操作设计镶嵌图案, 亲身体验镶嵌的过程及其美的感受.? ? 活动的实施这个项目活动需要 5个学时, 分为四个阶段进行:第一阶段 (第 1学时 )全班与教师共同探讨本次项目活动的主题. 自由组合, 形成活动小组. 根据各自的兴趣, 选择活动, 每个小组制定活动计划, 并撰写活动计划书.第二阶段 (第 2- 3学时 )小组成员明确自己在分组活动中的角色, 按照各活动建议的要求, 收集整理相关信息, 合作完成项目.第三阶段 (第 4学时 )向老师和其他组成员汇报目前小组活动的进

15、展和碰到的困难, 听取有效建议, 完善活动项目并策划成果展示的形式.第四阶段 (第 5学时 )展示完成的作品, 准备回答其他同学提出的各种问题.参考文献1? 詹传玲, 中学数学项目活动开发 D. 华东师范大学, 2007,62? 中华人民共和国教育部. 数学课程标准 (实验稿 ) S. 北京: 北京师范大学出版社, 20023? M? 路德维希, 徐斌艳. 项目导向的数学教学设计 J. 中学数学教学参考, 2005, 1- 24? 苏洪雨, 吴周伟. 数学中的项目活动设计探究? ? 澳大利亚的案例简介及启示 J. 数学通报, 2009 , 48(4)5? 胡庆芳, 程可拉. 美国项目研究模式的学习概论 J. 外国教育研究, 2003, 86? 徐斌艳, M atthiasLudw ig . 数学中的项目活动 (高中 ) M . 华东师范大学出版社7?(美 )迈克尔? 塞拉著, 李翼忠, 刘仁苏, 蔡上鹤等译. 发现几何? ? 种归纳的方法 M . 北京: 人民教育出版社, 20008? 张维忠. 平面镶嵌图案 J. 中学数学教学参考, 2004 , 8(收稿日期: 20101103)9?教材教法? ? ? ? ? ?( 2011年第 2期? 初中版 )