《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)圆锥曲线的综合问题（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Go the distance 圆锥曲线的综合问题(文视情况 知识能否忆起 1直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时， 通常是将直线方程与曲线方程联立， 消去变量 y(或x)得关于变量 x(或 y)的方程：ax2bxc0(或 ay2byc0) 若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有： 0直线与圆锥曲线相交； 0直线与圆锥曲线相切； b0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为2 2.直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当AMN 的面积为10 3时，求 k 的值 自主解答 (1)由题意得 a2，c a2 2，a2b2c2
2、，解得 b 2， 所以椭圆 C 的方程为x24y2 21. (2)由 ykx1，x2 4y2 21，得(12k2)x24k2x2k240. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1k(x11)，y2k(x21)，x1x24k2 12k2， x1x22k2412k2， 所以|MN|x2x12y2y12 1k2x1x224x1x2 2 1k246k212k2. 又因为点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d|k| 1k2， 所以AMN 的面积为 S12|MN| d|k| 46k2 12k2. 由|k| 46k212k210 3，解得 k 1. 由题悟法 研究直线与圆
3、锥曲线的位置关系时， 一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解 Go the distance 以题试法 1(2012 信阳模拟)设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A.12，1 2B2,2 C1,1 D4,4 解析：选 C 易知抛物线 y28x 的准线 x2 与 x 轴的交点为 Q(2,0)，于是，可设过点 Q(2,0)的直线 l 的方程为 yk(x2)(由题可知 k 是存在的)， 联立 y28x，ykx2k2x2(4k28)x
4、4k20. 当 k0 时， 易知符合题意； 当 k0 时， 其判别式为 (4k28)216k464k2640， 可解得1k1. 最值与范围问题 典题导入 例 2 (2012 浙江高考)如图，椭圆 C：x2a2y2 b21(ab0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.不过原点 O 的直线 l 与 C相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求ABP 面积取最大值时直线 l 的方程 自主解答 (1)设椭圆左焦点为 F(c,0)，则由题意得 2c21 10，c a1 2，得 c1，a2.所以椭圆方程为x24y2 31. (2)设
5、A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时，直线 AB 的方程为 x0，与不过原点的条件不符，舍去故可设直线 AB 的方程为 ykxm(m0)， 由 ykxm，3x24y212消去 y，整理得 (34k2)x28kmx4m2120， Go the distance 则 64k2m24(34k2)(4m212)0， x1x28km 34k2，x1x24m21234k2.所以线段 AB 的中点为 M 4km 34k2，3m 34k2. 因为 M 在直线 OP：y12x 上，所以3m 34k22km 34k2. 得 m0(舍去)或 k32. 此时方
6、程为 3x23mxm230，则 3(12m2)0， x1x2m，x1x2m233.所以|AB| 1k2 |x1x2|39 6 12m2， 设点 P 到直线 AB 的距离为 d，则 d|82m|32222|m4| 13. 设ABP 的面积为 S，则 S12|AB| d3 6 m4212m2. 其中 m(2 3，0)(0,2 3) 令 u(m)(12m2)(m4)2，m2 3，2 3 ， u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1 7)(m1 7) 所以当且仅当 m1 7时，u(m)取到最大值 故当且仅当 m1 7时，S 取到最大值 综上，所求直线 l 的方程为 3x2y2 720. 由题悟
7、法 1解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法 (1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法 Go the distance 2在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参
8、数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 以题试法 2 (2012 东莞模拟)已知抛物线 y22px(p0)上存在关于直线 xy1 对称的相异两点，则实数 p 的取值范围为( ) A.23，0 B.0，23C.32，0 D.0，32解析：选 B 设抛物线上关于直线 xy1 对称的两点是 M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN 的方程为 yxb.将 yxb 代入抛物线方程，得 x2(2b2p)xb20，则 x1x22p2b，y1y2(x1x2)2b2p，则 MN 的中点 P 的坐标为(pb，p)因为点 P 在直线 xy1 上，所以 2pb1，即 b2p1.又 (2b
9、2p)24b24p28bp0，将 b2p1代入得 4p28p(2p1)0，即 3p22p0，解得 0p23. 定点定值问题 典题导入 例 3 (2012 辽宁高考)如图， 椭圆 C0：x2 a2y2 b21(ab0，a，b 为常数)，动圆 C1：x2y2t21，bb0)，点 P 5 5a，2 2a 在椭圆上 (1)求椭圆的离心率； (2)设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点若点 Q 在椭圆上且满足|AQ|AO|，求直线OQ 的斜率的值 解：(1)因为点 P 5 5a，2 2a 在椭圆上，故a2 5a2a2 2b21，可得b2 a25 8. 于是 e2a2b2a21b2a23 8，所以椭圆的离
10、心率 e6 4. (2)设直线 OQ 的斜率为 k，则其方程为 ykx，设点 Q 的坐标为(x0，y0) 由条件得 y0kx0，x20 a2y20 b21，消去 y0并整理得 x20a2b2 k2a2b2. 由|AQ|AO|，A(a,0)及 y0kx0， 得(x0a)2k2x20a2. 整理得(1k2)x202ax00，而 x00，故 x02a 1k2，代入，整理得(1k2)24k2a2 b24. 由(1)知a2b28 5，故(1k2)232 5k24， 即 5k422k2150，可得 k25. 所以直线 OQ 的斜率 k 5. 20(12 分)(2012 河南模拟)已知椭圆x2a2y2 b2
11、1(ab0)的离心率为2 2，短轴的一个端点为 M(0,1)，直线 l：ykx13与椭圆相交于不同的两点 A，B. (1)若|AB|4 269，求 k 的值； (2)求证：不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 解：(1)由题意知ca2 2，b1. 由 a2b2c2可得 cb1，a 2， 椭圆的方程为x22y21. Go the distance 由 ykx13，x2 2y21得(2k21)x243kx16 90. 169k24(2k21)16916k26490 恒成立， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x24k 32k21，x1x216 92k21. |AB|1
12、k2 |x1x2| 1k2 x1x224x1x24 1k29k2432k214 269， 化简得 23k413k2100，即(k21)(23k210)0， 解得 k 1. (2)MA,(x1，y11)，MB,(x2，y21)， MA,MB,x1x2(y11)(y21)， (1k2)x1x243k(x1x2)16 9161k292k2116k2 92k2116 90. 不论 k 取何值，以 AB 为直径的圆恒过点 M. 21 (2012 广州模拟)设椭圆 M：x2 a2y2 21(a 2)的右焦点为 F1， 直线 l： xa2 a22与x 轴交于点 A，若1OF,21AF,0(其中 O 为坐标原
13、点) (1)求椭圆 M 的方程； (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点，EF 为圆 N：x2(y2)21 的任意一条直径(E，F 为直径的两个端点)，求PE,PF,的最大值 解：(1)由题设知，A a2 a22，0，F1( a22，0)，由1OF,21AF,0，得 a222 a2 a22 a22， 解得 a26. 所以椭圆 M 的方程为x26y2 21. (2)设圆 N：x2(y2)21 的圆心为 N， 则PE,PF,(NE,NP,) (NF,NP,) Go the distance (NF,NP,) (NF,NP,) NP,2NF,2 NP,21. 从而将求PE,PF,的最大值转化为求 N
14、P ,2的最大值 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点，设 P(x0，y0)， 所以x2 0 6y20 21，即 x2 063y2 0. 因为点 N(0,2)，所以NP,2x20(y02)22(y01)212. 因为 y0 2， 2，所以当 y01 时，NP,2取得最大值 12. 所以PE,PF,的最大值为 11. 22 (2012 湖北模拟)如图，曲线 C1是以原点 O 为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分 曲线 C2是以 O 为顶点， F2为焦点的抛物线的一部分， A 是曲线 C1和 C2的交点且AF2F1为钝角，若|AF1|72，|AF2|5 2. (1)求曲线 C1和 C2的方程； (2)设点 C 是 C2上一点，若|CF1| 2|CF2|，求CF1F2的面积 解：(1)设椭圆方程为x2a
