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1、2 线线性相关与线线性无关 向量 向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的定理 小 结 思 考若干个同维数的列向量(或同维数的行向量 )所组成的集合叫做向量组例如一、向量、向量组与矩阵n维列向量组 可以排成一个mn分块矩阵向量组 , , , 称为矩阵A的行向量组n维行向量组 可以排列成一个mn分块矩阵 反之,由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.注意定义则称向量组 是线性相关的,否则称它线性无关二、线性相关性的概念6 当 是行向量组时,它们线性相关就是指有非 零的1s矩阵(k1,k2,ks)使 7当 为列向量时,它们线性相关就是指有非零的s1矩阵使例 1 判断向量组的线性相关性。解
2、 假设存在一组常数k1,k2,kn 使得所以 即 k1=k2=kn=0 因此 线性无关 。解:O设系数行列式为方程组有非零解,即有非零的数O故证也可用矩阵形式表示:这个线性组合的组合系数若所给向量均为行向量,则有若所给向量均为列向量,则有向量 能 由向量组 线性表示三、相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理证:0O例如,向量组 是线性相关的,因为 对于只有两个向量a,b的向量组,由定理可得,a, b线性相关的充分必要条件是a, b的对应分量成比例。证:00O所以表示式惟一。下证唯一向量组的等价向量组的等价向量组的等价定义:设有两个 n 维向量组若向量组(I )中每个向量都可由向量组(II)线性 表示,则称向量组(I )可由向量组(II)线性表示; 若向量组(I )与向量组(II)可以互相线性表示, 则称向量组(I )与向量组(II)等价。从而定理命题1命题2向量组间的等价,具有下列性质:向量组的等价关系具有自反性、对称性、传递性。. 向量、向量组与矩阵之间的联系,线性方 程组的向量表示;线性组合与线性表示的概念;. 线性相关与线性无关的概念;线性相关性 在线性方程组中的应用;(重点). 线性相关与线性无关的判定方法:定义, 两个定理(难点)四、小结思考题证明 ()、()略 ()充分性必要性思考题解答