《一阶常微分方程模型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一阶常微分方程模型（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一阶常微分方程模型 （First-Order Ordinary Differential Equation Model）数学建模（Mathematical Modeling）Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一阶常微分方程模型n内容 一阶常微分方程建模实例与练习 一阶常微分方程模型的解法n要求 能熟练地建立一阶常微分方程模型n重点、难点 一阶常微分方程的建模方法Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学
2、教研组 2009年 制作一阶常微分方程模型n参考文献唐焕文，贺明峰. 数学模型引论（第三版）.北京：高 等教育出版社，2005年3月 姜启源等. 数学模型（第三版）.北京：高等教育出版 社，2003年8月 叶其孝主编. 大学生数学建模竞赛辅导教材.长沙：湖 南教育出版社，2003年5月 刘振航. 数学建模.北京：中国人民大学出版社， 2004年5月Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例n例题1：人口模型n问题描述 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题。早 在18世纪人们就开始进行人口预报工作。几百年来
3、建立了许多有关人口问题的模型。较简单的模型有 Malthus人口模型和Logistic人口模型。下面分别介 绍这两个模型。Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nMalthus 人口模型 第一次出现：1789年，英国人口学家 Malthus(1766-1834)根据100年来人口统计资料 提出。 基本假设： 人口增长率 r 是常数或单位时间内人口增长量与当 时的人口数量成正比。 常用假设：大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研
4、组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nMalthus 人口模型n模型构成 引入符号 N(t)：t 时刻人口数量； N(t+t)：t+t 时刻人口数量；r: 人口增长率（为常数）； 构建平衡关系（等式） 考虑 t 到 t+t 时间内人口的增长量，由 Malthus 理 论，有N(t+t) - N(t) = rN(t) t Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nMalthus 人口模型n模型构成构成微分方程 在等式N(t+t) - N(t) = rN(t) t 中， 令 t0，得到微分方程其中 N
5、0 为 t=t0 时的人口数。Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nMalthus 人口模型n模型检验表1：美国的实际人口与指数增长模型计算人口比较年份实际 人口预测值误差（%） 1790390 1800530 18107207301.4 182096010004.2 1830129013706.2 1840171018709.4 18502320256010.3 18603140350010.8 18703860478023.8t 以10年为单位。Mathematical Modeling西南交通大学峨
6、眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nMalthus 人口模型 成功之处n与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合n适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代n可用于短期人口增长预测 缺陷之处n不符合19世纪后多数地区人口增长规律n不能预测较长期的人口增长过程 产生这些缺陷的主要原因n人口增长率 r 不是常数(逐渐下降) 改进nLogistic 模型Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nLogistic 人口模型n问题分析人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境
7、等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大r 是 N(t) 的减函数Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nLogistic 人口模型 1837年，荷兰生物学家 Verhulst 引入常数 Nmax（ 简记为 Nm），用来表示自然资源和环境条件下所能 容纳许的最大人口数量。Verhulst 将 Malthus 模 型中的假设条件 “人口自然增长率为常数”修正为人 口自然增长率为从而有如下模型（Logistic 模型）Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研
8、组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nLogistic 人口模型n模型求解Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作一、一阶常微分方程的建模实例nLogistic 人口模型n模型曲线dN/dtt0NmNm/2NmtN(t)0N0Nm/2Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作二、一阶常微分方程的建模练习n建模练习1：人的体重变化 某人的摄入热量是每天2500大卡（Calorie，卡路里 ，热量单位），其中1200大卡用于基本的新陈代谢 。在健身训练中，他所消耗的大约是每
9、天每千克体 重为16大卡，设以脂肪形式贮藏的热量100%地有 效，而1千克脂肪含热量10000大卡。求此人的体重 随时间变化的规律。 提示： n每天体重的变化 = 每天净吸收量 - 每天健身训练的消耗Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函 数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找 到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关 系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要 的应用。本节只举几个实例来说明。建模练习建模练习2 2：嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到现场，测
10、得尸体体温为 ，一小时 后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作室温在几小时内始终保持 ，此案最大的嫌疑犯是张某 ，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直 在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开 了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行 需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使 他被排除在嫌疑犯之外 ？Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调 节功能消
11、失，尸体的温度受外界温度的影响。假定 尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度 的变化率正比于尸体温度与室温的差，即Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作Mathematical Modeling西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2009年 制作三、一阶常微分方程的建模步骤n微分方程建模步骤：n翻译或转化 根据实际问题将给出的信息转化为导数问题。一般地，速率、增长、 衰变、边际、改变、变化等都可以转化为导数问题。并且，不少问题 都遵循关系净变化率=输入率 - 输出率n单位统一 在所建立的微分方程模型中每一项都应有相同的物理单位n给定解条件 所研究问题在某一特定时刻的信息。它们独立于微分方程，在 微分方程解出后，利用它们确定有关的常数。n建立模型 在任何时刻都正确的瞬时表达式，即寻找 y(n)，y(n-1)，y， y，t 之间的关系，建立微分方程模型
