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1、+ .1盛呀2 0 07年第“期解瓜月开究例析空间向量在立体几何中的应用43 022 3武汉市华中师大一附中高二(1 2) 班t蔚空间向量是研究立体几何 的重要工具之一,掌握空间向量 在立体几何中的应 用将有助于解决立体几何中的一些关键 问题.由于它所涉及的立体几何问题较广泛,同学们常常对空 间向量的应用方 法掌握得不够全面,导致解题时出现困难.本文拟对空间向量在立体几何 中有关平行、垂直以及角的 问题的应用进行归纳和说明,以帮助同学们对 这类问题的理解,墓底的选取及空间直 角坐标系的建立用空间 向量解决立体几何问题时,选取合适 的基底或建立合理 的空间 直角坐标 系往 往是第一 步也是至关重
2、要 的一步,做好 这一步可以帮助我们清楚分析问题以及简化计算,保证解题的准确性.在选择基底时,应尽量选择模 长已知或 向量间夹角已知的向量.例如,在研究空间四边形ABo c时,若已知AB=。,D c=b,乙A Bc二B,那么选用丽,元,而三个 向量作为基底便于分 析.通常,当所给 的立体图形中存在三条直线两 两垂直且交于一点时,应当选择 这三条直线做为x、y、:轴并以交点 为坐标原点 建立空间直 角坐标 系以便分析.例如,在研 究 如图l岌2 o直线a与直线6平行骨o cs二土l且a,b不重合.(2)线面平行o l若Ac忆平面a,D cc平面a,且丽=入而,人ER,则AB/ /平面. a2“若
3、AB优平面a,C D,E Fc平面a,C D门EF尹口,且存在唯一实数对 (人,AZ)满足庙一人,而十2示,那么AB/ /平面.a( 3 )面面平行1“若直线a,bc平面a,直线。,dc平面 月,且an6并必,。nd尹必,当a=入:e,b=人Zd,2ER时,平面a/ /月.2 o若直线a,乙c平面a,直线。,dc平面口,且anb笋必,end尹必,当存在唯一解 (入,2,入,人4)满足a二*.。+ZJ,。二3e+;d时,平面。/ /平面尽例1已知 平面a,平面凡an月=l,直 线m/ /a,m/ /口.求证:m/ /L证明如图2,取点口EI,在平面a尹 内分别作O A一l,B o上.l设A o,
4、o B,l,m的 方 向向量分别为a,b,l,m,显然a,b,l不共面.图2四面体ABC D时,口为召 刀中点,注 刀二沌 刀二万,BBD=A C二乙刀=乙刀二2,那么易证得AO1BD,A口二元. . . . . : : .- i? = . . . .族图1上o C,口C上D B,故可以D B,oC,O A分别为x,y,:轴建立空间直角坐标系口一华后研究.2关于平行问题()l 线线平行l“直线a与直线b平行粼=人b,AoR且a,b不重合(a,b分别是直线a,b的方向向量,下同)设m=x a+声+z l,其中x,y,:ER且唯一m/ /a,m与a共面得m=xa+21,y=0.同理m与刀共面得m二
5、户+“,x=0,m=21,m门l二口,m/ /L评析本题综合应 用了空间向量基 本定理、共面向量基本定理及共线向量基本 定理以解决线线平行 的问题.例2如图3,在平行六面体A BC D一A:B.C,幼中,o是B:D,的中点.求证:B.C/ /平面oDC二解题月开究+-,欲啥(o o 2 7年第“期证明设或=a,C,D一二b,C:C=c.BBCC:为平行四边形,索=一 。图3又C:O=全(a+”,OD,二C一D一C,O=b-全(二”卜合卜,图4 丫丽二帝,命=c ,故藤斌+丽=奋一。+”卜.c那么平面a上平面 尽例3如图4,在四面体ABC D中,AB一平面BC D,召C=C刀,乙B CD二9 0
6、“,乙A D B=3 0”,E、F分别 为AC、AD中点.求证:平 面BE F一平面A BC.证明建 立 如 图空间直角 坐 标 系,令A(0,0,a),由乙ADB二30”可得若存在实数x,y使 索二二赫+,可(:,。R )成立.。一合(一a+,卜。卜,(一争则一李引Z二一合(一,)。+合一,”+x ca,b,。不共线,解得:二y二l,。(。,、,。),c(争,争,。),。(。,。,。),:(务,争,合),;(。,争,合),:. “二(一争,争,0),丽=(o,o,。),索=赫+斌,故衬. 而,减是共面向量.索不在赫、可听确定的平面D oc:内,B,C/ /平面D oC:.评析本题也可以采用传
7、统 方法证明,但 需要添加辅助线,思维过程较复杂,用空 间向量证明可以简化问题,虽然书写较长,计 算略微麻烦,但思路简单清晰,可 以减少思考 的时间.3关于垂直() l线线垂直A B与D c垂直.庙而=o。o c,二.0(2)线面垂直1“若AB优平面a,C D,E FC平面。,D c门E F二,沮庙南二庙 砂=0,那么A B上平面.a20若。土平 面a,且庙=。,入。R,那么A 召上平面.a(3)面面垂直:若AB c平面a,AB亿平面 召,CD,E Fc平面刀,且D c门E F护,庙而=庙兹二o,-卜-争 EF丑魂一-卡- -) 百F上丑4“(争,争,。)E FBC二0,示土丽.E尸- JA
8、B,EF一B CE F- J平面ABC,平面BE F土平面ABC评析由平面与平面垂直 的证明不难看出,运.扁p 用空间向量解决立体几何 问题是建立在传统做法的基础之上的,因此掌握传统做法也十分重要.运用空间向量解决 问题时,建立空间直角坐标 系可 以简化计算.4关于求角( ) l 异 面直线所 成的角:若AB、C D为两条异面直线,庙、动分别为 它们的方 向 向量,那么AB、C D_._._, 二,IA BC刀 所成的角的大小为a c rc os书 共 散兀书竺一.AB 1In(2) 直线与平面所成的角:若A B优平面a,n为平面a的法向量,那么AB与平面a所 成 的角 的大小为粤一. 一争
9、ABnl 一a c ro c“而茹面.+-1教,(o o 2 7年第6期解班研究( 3 )二面角的大小:若n,为平面a的法 向量,nZ为平面口的法向量,a门月二l,那么当二面角a一l(l)戒二(3,o,一3),而二(3,3,o).设A P与C D所成的角为O,那么In l凡l!n l11叭!;当二面角l或. 动l一口为锐角时,其大 小为ac ro cs二a c rco s而不万正而二60.0a一卜月为钝角时,其大小为二一a c ro c”!n l乓ln.日犯2(2 )设平面召刀E的法向量为n,二(x,y,:),则一一净 ,一3,0),DE=-净二n:DE二0.一I,3,l)例4如图5,已知四棱
10、锥尸一ABC D中,P B上底面A BC D,C D- JP D,底面ABC D为 直 角 梯形,A 。/ /召C,AB上BC,AB二P B二注D=3,E在A P上,且P E=ZA E,求:( ) lA P与o c所成的角;(2)A P与平面召召刀所筋二( 3n二刀刀3x一3,二0,一x+3y+:=.0令x二了=l,么 二一2n,二(l,l,一2),!J、. .dnJ爪男设l性与 平面刀刀百所成 的角为口.,那么下仃=二下 Z- - ) 尸4nac re o s一一=6 00.图5尸4 !n.1成的角;(3 )二面角A一B E一D的大小.(勺设平 面AB E的法 向以为n:,与 (2 )同理
11、得n:=( ( ).1,0 )由于二面角A一BE一D为锐角,故设如图5建立空间直角坐标系B一x y z,那么,B(0,0,0),D(3,一3,0),P(0,0,3),其大小 为仇,有 氏二a ( r,( .,s!”二 气lA(3,0,0)E(2,0,l)!nl月2二a c rCO s睿二(3,一3,设c(o,o),则灵二(一3,+3,o),筋一3).尸D土C刀,一9一3(y+3)C(0,一6,0).一-卜-卜 尸DDC=0二O,y二一6评析通过空间向量来求线线夹角时,可以省去传统作法中的平移 问题,而求二面角时 也可以轻而易举地化解传统作法中找 点到平面的垂线的难题.(收稿日期:20 0703
12、10 )封面人物简介哪素芬中学数学特级教师,江西省抚州市拔尖人才,全国优秀教师,全国十杰教师。1%3年出生 于抚州市,19 82年毕业 于抚州师专数学系,19 87年江西师大函授本科毕业,20 03年研究生毕业。1985年加入中国共产党。现为江西省抚州市第一中学党委书记兼副校长,中国共 产 党抚州市第二次代表大会代表、抚州市教育学会 中小学数学教育专业委员会副主任、江西省省普通高中新课程方案数学学科研究组成员、省高中数学课程标准研究组成员。19 85年起从事江西省省“八五”教育科研项目超常教育实验,先后培养了o r多名少年大学生。主持并参与了 国家级科研课题“中学数学实验教材”、“信息技术课分层自主自能探究式教学模式试验”,“高中数学教学校本教研的理论与实验研究”。省级课题“中学数学课程与学法改革试验”、“全省高中新课程方案试验”等课题实验。主持或参编了新课标新课程导学、高中数 学总复习指导等论 著、论文近2 0部 (篇)。19 96年、19 99年受聘参加 省高中毕业会考命题工作,2X ( )0年初执教的旋转体体积教学电教示范课,被制作成录像,收入20 ( 刃年国家教育部主编 的新课程改革优秀课例选中。制作的旋转体的体积、抛物线方程等多媒体CA I课件获国家级奖。其先进事迹 多次被人民教 育、江西教 育、嗒中国教育报、江西日报、抚州日报等多家报刊报道。
