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1、2.4.1 反函数的概念及求法 教学目的 使学生了解反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数. 重点难点 反函数的定义和求法 . 教学设想 1. 教法：讲授法；2. 学法：启发学生观察、思考、分析和讨论；3. 课时： 1 课时. 教学过程 一、复习引入复习 ：函数的定义（近代定义和传统定义） ；求下列函数的定义域和值域：y=x2+1; y=2x-3; y=5/(3x-1); y=x +2; y=(x+2)/(2x-1). 答案：xR,y1; xR,yR;x1/3,y 0; x0,y 2; x1/2,y1/2. 引入 ： 我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间 t 的函数，即 s=vt,
2、其中速度 v 是常量 , 定义域 t 0,值域 s0；反过来，也可以由位移s 和速度 v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t=s/v ，这时，位移 s 是自变量，时间 t 是位移 s 的函数, 定义域 s0, 值域 t 0. 又如，在函数 y=2x+6中，x 是自变量， y 是 x 的函数，定义域 xR，值域 yR. 我们从函数 y=2x+6 中解出 x，就可以得到式子 x=y/2-3. 这样，对于 y 在 R中任何一个值，通过式子x=y/2-3 ，x 在 R 中都有唯一的值和它对应 . 因此，它也确定了一个函数： y 为自变量， x 为 y 的函数，定义域是yR ，值域是 xR. 综合
3、上述，我们由函数s=vt 得出了函数 t=s/v ；由函数 y=2x+6 得出了函数x=y/2-3 ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：它们的对应法则是互逆的；它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数. 今天我们就来学习这种函数 .二、学习、讲解新课 反函数的定义一般地，设函数 y=f(x)(xA)的值域是 C ，根据这个函数中 x,y 的关系，用y 把 x 表示出，得到 x=(y). 若对于 y 在 C中的任何一个值，通过x=(y) ，x在 A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y) 就表
4、示 y 是自变量， x 是自变量 y的函数，这样的函数x=(y)(y C)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数 ，记作x=f-1(y). 反函数 y=f-1(x) 的定义域、值域分别是函数y=f(x) 的值域、定义域 . 说明：在函数 x=f-1(y) 中，y 是自变量， x 是函数，但习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y) 中的字母 x,y ，把它改写成 y=f-1(x) ，今后凡无特别说明，函数y=f(x) 的反函数都采用这种经过改写的形式 . 反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数 y=f(x) 来说，
5、不一定有反函数，若函数y=f(x) 有反函数 y=f-1(x) ，那么函数 y=f-1(x) 的反函数就是 y=f(x) ，这就是说，函数y=f(x) 与 y=f-1(x) 互为反函数. 从映射的定义可知， 函数 y=f(x) 是定义域 A到值域 C的映射，而它的反函数 y=f-1(x) 是集合 C到集合 A的映射，因此，函数y=f(x) 的定义域正好是它的反函数 y=f-1(x) 的值域；函数 y=f(x) 的值域正好是它的反函数y=f-1(x) 的定义域（如下表） ：函数 y=f(x) 反函数 y=f-1(x) 定义域A C 值 域C A 上述定义用“逆”映射概念可叙述为：若确定函数 y=
6、f(x) 的映射 f 是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由 f 的“逆”映射 f-1所确定的函数 x=f-1(x) 就叫做函数 y=f(x) 的反函数 . 反函数 x=f-1(x) 的定义域、值域分别是函数y=f(x) 的值域、定义域 . 开始的两个例子： s=vt 记为 f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f-1(t)=t/v，同样 y=2x+6 记为 f(x)=2x+6 ，则它的反函数为： f-1(x)=x/2-3. 反函数的求法由前边的例子和反函数的定义不难看出，欲求函数 y=f(x) 的反函数， 可按下列步骤进行：确定函数 y=f(x) 的定义域和值域；视 y=f(x)
7、为关于 x 的方程，解方程得x=f-1(y); 互换 x,y 得反函数的解析式y=f-1(x) ；写出反函数的定义域（原函数的值域）. 例 1 (P66例 1) 求下列函数的反函数： y=3x-1(x R); y=x3+1(xR); y=x +1(x0); y=(2x+3)/(x-1)(xR,且 x1). 解： xR， yR. 由 y=3x-1 解得 x=(y+1)/3, 函数 y=3x-1(xR)的反函数是 y=(x+1)/3 ，所求反函数的定义域是xR;（若给出 f(x)=3x-1，则得 f-1(x)=(x+1)/3(xR)） xR ， yR. 由 y=x3+1解得 x=31y, 函数 y
8、=x3+1(xR)的反函数是 y=f-1(x)=31x (x R); x0，y1. 由 y=x +1解得 x=(y-1)2, 函数 y=x +1(x0) 的反函数是 y=f-1(x)=(x-1)2 (x 1); xx R|x1 ， yy R|y 2. 由y=(2x+3)/(x-1)解得x=(y+3)/(y-2), 函 数y=(2x+3)/(x-1)(x R, 且x 1) 的 反 函 数 是y=f-1(x)=(x+3)/(x-2) (xR,且 x2). 说明：求函数 y=f(x) 的反函数的一般步骤就是上述的四步，书写时两步可并作一步，以后熟悉了, 具体的步骤可省略不写 . 反函数的定义域不是看
9、反函数的解析式得到的，而是求原来函数的值域而得反函数的定义域，这一点绝不能混淆. 例 2( 补充) 求函数 y= )0(1)0(12xxxx的反函数 .解：当 x0 时，y1，由 y=x2+1得 x=1y ( y1) ；当 x0 时，y1，由y=x+1 得 x=y-1(y1). 将 x,y 对换得 y=f-1(x) = )1(1)1(1xxxx. 说明：求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. 目标检测课本 P68练习： 14. 答案：y=-x/2+3/2(xR); y=-2/x (xR,且 x0); y=x(x 0); y=5x/(1-3x) (xR,且 x1/3)三、小 结反函
10、数的定义由反函数的定义可以看出：对于y 取 C 中任一值都可以得到唯一的x 值(xA)，由此可知，只有确定函数y=f(x) 的映射是一一映射才能有反函数; 由函数图象看，应当是单调的 . y=f(x) 的反函数是y=f-1(x) ，反之， y=f-1(x) 的反函数是y=f(x) ，它们互为反函数，它们的定义域、值域相反，对应法则互逆. 求函数 y=f(x) 的反函数的一般步骤是：确定函数 y=f(x) 的定义域和值域；视 y=f(x) 为关于 x 的方程，解方程得x=f-1(y); 互换 x,y 得反函数的解析式y=f-1(x) ；写出反函数的定义域（原函数的值域）. 求分段函数的反函数，应
11、分别求出各段的反函数，再合成.四、布置作业(一)复习：课本内容，熟悉巩固有关概念和方法. (二)书面：课本 P68习题 2.4 ：1- . 答案：y=-x/4+3/4(xR); y=34x(x R); y=-x (x 0); y=(3x-1)/(1-x)(x1); y=-(x+3)/(5x-2)(x2/5); y=(3x+1)/(5x-4)(x4/5); y=2(x-1)3+1(xR); y=x2/2+2(x 0). (三)思考题：设函数 y=f(x) 的反函数为 y=g(x) ，求 y=f(-x)的反函数 . 解：在函数y=f(-x)中，x 为自变量， y 为函数，且由题意知 -x=f-1(y), x=-f-1(y) ，y=f(-x)的反函数为 y=-f-1(x) ，又 g(x)= f-1(x), y=f(-x)的反函数为 y=-g(x). (四)预习：
