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1、 2016 年高考年高考上海数学试卷（文史类）上海数学试卷（文史类） 考生注意： 1本试卷共 4 页，23 道试题，满分 150 分.考试时间 120 分钟. 2本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分. 1设xR，则不等式31x的解集为_. 2设32i
2、iz，其中i为虚数单位，则z的虚部等于_. 3已知平行直线1210lxy ：，2210lxy ：，则1l与2l的距离是_. 4某次体检，5 位同学的身高（单位：米）分别为 1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是_（米）. 5若函数( )4sincosf xxax的最大值为 5，则常数a _. 6已知点（3,9）在函数( )1xf xa 的图像上，则( )f x的反函数1( )fx=_. 7若, x y满足0,0,1,xyyx 则2xy的最大值为_. 8方程3sin1 cos2xx 在区间0,2上的解为_. 9在32()nxx的二项展开式中，所有项的二项式系数之和
3、为 256，则常数项等于_. 10已知ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_. 11某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_. 12.如图，已知点 O(0,0),A(1.0),B(0,1),P 是曲线21yx=-上一个动点， 则OP BAuu u r uur的取值范围是 . 13.设 a0,b0. 若关于 x,y 的方程组1, 1axy xby+=+= 无解，则ab+的取值范围是 . 14.无穷数列an由 k 个不同的数组成， Sn为an的前 n 项和.若对任意的*n N，23nS ，则k 的最大值为 . 二、选择题
4、（本大题共 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15.设a R,则“a1”是“a21”的（ ） (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 16.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分别为 BC、BB1的中点，则下列直线中与直线 EF 相交的是（ ） (A)直线 AA1 (B)直线 A1B1 (C)直线 A1D1 (D)直线 B1C1 17.设a R，0,2b.若对任意实数 x 都有sin(3)=sin()3xaxb-+，则满足条件的有
5、序实数对(a,b)的对数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 18.设 f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数.对于命题：若 f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是增函数，则 f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；若 f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以 T 为周期的函数，则 f(x)、g(x)、h(x) 均是以 T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ） (A)和均为真命题 (B) 和均为假命题 (C)为真命题，为假命题 (D)为假命题，为真命题 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必
6、须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O （及其内部） 绕 OO1旋转一周形成圆柱， 如图，AC 长为5 6，11AB长为3，其中 B1与 C 在平面 AA1O1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积； （2）求异面直线 O1B1与 OC 所成的角的大小. 20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 有一块正方形菜地 EFGH，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到 F 点或河边运走
7、.于是，菜地分为两个区域 S1和 S2，其中 S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到 F 点较近， 而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点 O 为 EF 的中点，点 F 的坐标为（1，0） ，如图 （1）求菜地内的分界线 C 的方程； （2）菜农从蔬菜运量估计出 S1面积是 S2面积的两倍，由此得到 S1面积的“经验值”为8 3.设 M 是 C 上纵坐标为 1 的点，请计算以 EH 为一边、另有一边过点 M 的矩形的面积，及五边形 EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于 S1面积的“经验值”. 21.（本题满分 14 分）本题共有 2
8、个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分. 双曲线2 2 21(0)yxbb的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B两点. （1）若 l 的倾斜角为2，1F AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3,b 若 l 的斜率存在，且|AB|=4，求 l 的斜率. 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 对于无穷数列na与nb，记 A=x|x=a，*Nn，B=x|x=nb，*Nn，若同时满足条件： na， nb均单调递增； AB且*NAB ， 则称n
9、a与nb是无穷互补数列. （1）若na=21n，nb=42n，判断na与nb是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若na=2n且na与nb是无穷互补数列，求数列nb的前 16 项的和； （3）若na与nb是无穷互补数列，na为等差数列且16a=36，求na与nb得通项公式. 23. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分 已知aR，函数( )f x=21log ()ax. （1）当 1a 时，解不等式( )f x1； （2）若关于x的方程( )f x+2 2log ()x=0 的解集中恰有一个元素，求a的值； （
10、3）设a0，若对任意t1 ,12，函数( )f x在区间 ,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围. 参考答案参考答案 1. )4 , 2( 2. 3 3. 5524. 76. 1 5. 3 6. ) 1(log2x 7. 2 8. 65,69. 112 10. 33711.1 612.1, 213.2, 14.4 15.A 16.D 17.B 18.D 19.解： （1）由题意可知，圆柱的母线长1l ，底面半径1r 圆柱的体积22V11r l ， 圆柱的侧面积221 12Srl （2）设过点1的母线与下底面交于点，则11/ ， 所以C 或其补角为11 与C所成的角 由11
11、 长为3，可知1113 ， 由C长为5 6，可知5C6，CC2 ， 所以异面直线11 与C所成的角的大小为2 20.解： （1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以 为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为24yx（02y） （2）依题意，点的坐标为1,14 所求的矩形面积为5 2，而所求的五边形面积为114 矩形面积与“经验值”之差的绝对值为581 236，而五边形面积与“经验值”之差 的绝对值为1181 4312，所以五边形面积更接近于1S面积的“经验值” 21.解： （1）设,xy 由题意，2F,0c，21cb，22241ybcb， 因为1F 是等边三角形，所
12、以23cy， 即244 13bb，解得22b 故双曲线的渐近线方程为2yx （2）由已知，2F 2,0 设11,x y，22,xy，直线: l2yk x 由 2 213 2yxyk x ，得222234430kxk xk 因为l与双曲线交于两点，所以230k ，且236 10k 由21224 3kxxk，212243 3kx xk，得2 2 12223613kxx k ， 故2 222 121212261143kxxyykxxk ， 解得23 5k ，故l的斜率为15 5 22.解： （1）因为4，4，所以4， 从而 na与 nb不是无穷互补数列 （2）因为416a ，所以1616420b 数
13、列 nb的前16项的和为2341 2202222 51 2020221802 （3）设 na的公差为d，d，则1611536aad 由136 151ad，得1d 或2 若1d ，则121a ，20nan，与“ na与 nb是无穷互补数列”矛盾； 若2d ，则16a ，24nan，,5 25,5nn nbnn 综上，24nan，,5 25,5nn nbnn 23.解： （1）由21log11x，得112x ， 解得0,1x （2）2 221loglog0axx有且仅有一解， 等价于211a xx有且仅有一解，等价于210axx 有且仅有一解 当0a 时，1x ，符合题意； 当0a 时，1 40a ，1 4a 综上，0a 或1 4 （3）当120xx时，1211aaxx，22 1211loglogaaxx， 所以 f x在0,上单调递减 函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值分别为 f t，1f t 22111loglog11f tf taatt即2110atat ，对任意 1,12t成立 因为0a ，所以函数211yatat在区间1,12 上单调递增，1 2t 时，y 有最小值31 42a，由31042a，得2 3a 故a的取值范围为2,3
