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1、2 0 1 1 年 第 1 O 期 物 理通报 解 题 思路 与技 巧 圆形有界磁场 问题 的分类及解析 周 平 原 ( 临海 市 回浦 中 学 浙 江 台卅I 3 1 7 0 0 0 ) ( 收 稿 日期 ： 2 0 1 1一O 52 3 ) I 对心 飞入 问题 【 例 1 I ( 2 0 0 2年 高考天津卷)电视 机的显像管 中 ， 电子 束 的偏转 是 用磁偏 转 技术 实现 的 电子束 经 过 电压 为 U的加 速 电场后 ， 进 入一 圆形 匀强 磁场 区 ， 如 图 1 所 示 磁场 方 向垂直 于 圆面 磁场 区的 中心为 ( ) ， 半径为 r 当不加磁场时 ， 电子束将通
2、过 0点而打 到屏幕的中心 M 点 为 了让电子束射到屏幕边缘， 需要加磁场 ， 使电子束偏转一 已知角度 ， 此时磁场 的磁感应 强 度 B应为 多少 ? 图 1 解 析 ： 如 图 2所 示 ， ，- 、 电子 在 磁 场 中 沿 圆 弧 运 动 ， 圆心 为 C， 半 径 为 R 可证 三角 形 C a O 兰 AC b O， 则 C b 09 0 。 ， 电子离 开 磁 场 时 速 度 的 反 向延 长线 经过 0点 由 ， ， 、 _-， 图 2 几 何 关 系 可 知 t a n 导 一 专 又 有 u 一 专 B 一 优 三 式 联 立 解 得 B 一 ta n 导 点评 ： 粒
3、 子沿 半径 方 向飞入 圆形 匀强磁 场 ， 必沿 半 径 方 向飞 出磁场 2 圆 心 出发 问题 【 例 2 】 ( 2 0 0 4年高考甘肃卷)一匀强磁场 ， 磁场 方向垂直于 平面 ， 在 平面上 ， 磁场分布在 以 0点为 中心 的一个 圆形 区域 内 一个 质量 为 、 申 荷量 为 q的带 电粒 子 ， 由原 点 0开始运 动 ， 初速 度为 ，方向沿 轴正方向 后来粒子经过 Y轴上的P点 ， 此时速度方向与 Y轴的夹角为 3 O 。 ， P到0的距离为 L， 如 图 3 所示 不计 重力 的影 响 求 磁 场 的磁感 应强 度 B 的大 小和 x y平面 上磁 场 区域 的半
4、径 R 3 0 l P T l l 0 3 O 。 1 l P T。 、 、 一 笏一0 、 ， 图 3 图 4 解 析 ： 如 图 4所 示 ， 粒 子在 磁场 中轨迹 的圆心 C 必 在 轴 上 ， 且 P点在磁 场 区之外 粒 子从 A点 离开 磁 场 区 ， 设 轨迹 半径 为 r 则 又 可 求得 L r+ s i n3 0 = = = 3 S1 n r 磁 场 区域 的半径 q v B 一 r D 3 一 R=2 r c 。 s 3 o 。 一 r = T L 点 评 ： 画轨迹 时 可先 画一个 完整 的 圆 ， 然后 分 析 粒子从圆周上哪一点离开 ， 速度 方向才会与题意相
5、符 ， 只要 找 到 了离 场点 ， 问题 就 能解 决 了 3 最 长 时 间【 最大 偏角 ) 问题 【 例 3 】如 图 5 所示 ， 在 真空 中半 径 r =3 0 1 0 1 T I 的 圆形 区域 内 ， 有磁 感应 强度 B 一 0 2 T， 方 向垂 直纸面向里的匀强磁场 ， 一束带 正电的粒子以初速 度 一1 01 0 m s ， 从 磁场 边 界直径 的n端 沿 4 3 2 O 1 1 年 第 1 0期 物 理通 报 解题 思路 与技 巧 各 个方 向射 入 磁场 ， 且 初速 方 向都垂 直 于磁 场方 向 若 该 束粒 子 的 比荷旦 一101 0 s C k g ，
6、 不计 粒子 重 力 求 粒子 在磁 场 中运 动 的最长 时 间 ， ， 一 只 、 x xJ 图5 嘲 6 解 析 ： 如 图 6所 示 ， 由 。 B= = = “ U o - ， 得 R _ - 5 0 1 0 m r 要使粒子在磁场中运动的时间最长， 应使粒子 在磁 场 中运 动 的圆弧 最 长 ， 即所 对应 的弦 最长 则 以 磁 场 圆直径 为 弦 时 ， 粒 子运 动 的时 间最 长 设该 弦对 应 的 圆心角 为 2 a ， 而 T一 ， 则 r D 最 长运 动时 间 一 T- 又s in a 一 亩 一 百3 ， 故 一 6 5 1 0 s 点评 ： 粒 子 穿 过 圆
7、 形 磁 场 时 ， 以磁 场 圆直 径 为 弦时 ， 粒子 运 动时 间最 长 ， 偏 转 角最 大 4 最 小 半径 问题 【 例 4 1 ( 1 9 9 4年 高考 全 国卷 )如 图 7所示 ， 一 带 电 质点 ， 质 量为 1 “1 2 ， 电荷 量 为 q ， 以平 行 于 z轴 的速 度 从 Y轴上 的 “点射 入 图 中第 一 象 限所 示 的 区域 为 了使该 质点 能 从 轴 上 的 b点 以垂 直于 z轴 的速 度 射 出 ， 可 在适 当 的地 方 加一 个 垂 直 于 x y平 面 、 磁 感应 强度 为 B 的匀 强磁 场 若 此 磁场 仅 分 布 在 一 个 圆
8、形 区域 内 ， 试求 这 圆形 磁场 区域 的最 小 半径 重 力 忽略 不计 解析 ： 质点 在磁场 区 中的轨迹 弧MN 是 圆 周由 Bm 得 轨迹 半径 R= = = 在通 过 M ， N 两 点 的 不 同的 圆周 中 ， 最 小 的一 个是 以MN 连线 为 直径 的 圆周 故 所 求 的 圆形 磁 场 区 域 的 最 小 半 径 为 ，一 一 专 j 一 R 一 ， 所 求 44 磁场 区域 如 图 8中实线 圆所 示 图 7 图 8 点 评 ： 粒 子 穿过 圆形 磁 场 时 ， 若 轨 迹是 确 定 的 ， 则 以轨 迹 圆弧对 应 的弦 为直 径时 ， 磁 场 圆最小 5
9、 会聚 一点 问题 【 例 5 】 ( 2 0 0 9年 高考 浙 江卷 )如 图 9所 示 ， tf轴 正 方 向水平 向右 ， 轴 正方 向竖 直 向上 在 x O y平 面 内有与 y轴平行的匀强电场 ， 在半径为 R 的圆内还 有 与 -z O y平 面垂直 的匀 强磁 场 在 圆的左 边放 置一 带 电微 粒发 射装 置 ， 它 沿 轴 正 方 向发 射 出一 束具 有 相 同质量 ， 电荷 量 q ( q 0 )和初速 度 的带 电 微 粒 发射 时 ， 这束 带 电微粒 分 布 在 0 O )的 区域 离 开 磁场并做匀速直线运动 靠近上端发射出来的带 电 微粒在穿出磁场后会射
10、向 z轴正方 向的无穷远处 ， 靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿 出磁 场 所 以 ， 这束 带 电微粒 与 ,7C 轴相 交 的区域 范 围 是 3 2 0 点评 ： 一 束 带 电粒 子 以平 行 的初 速 度 t J 垂 直射 入 圆形 匀 强磁 场 ， 若 带 电粒 子 的轨 道 半 径 与磁 场 圆 半 径相 同 ， 则 这 些带 电粒 子 将 会 聚 于初 速 度方 向与 磁 场 圆的切 点 6 平行 离开 问题 【 例 6 】电子质量为 m， 电荷量为 e ， 从坐标原点 。处沿 zO y平面射入第一象限， 射人时速度方向不 同 ， 速度 大小 均 为 7d 。 ，
11、如 图 1 1 所 示 现在 某 一 区域 加 方 向 向外 且垂 直 于 x O y平 面 的匀 强磁场 ， 磁 感应 强 度为 B， 若 这些 电子 穿过 磁场 后都 能垂直射到荧 光屏 MN 上 ， 荧 光屏 与 y轴平行 ， 求荧光屏上光斑 的长度 肘 I ， D c-Y ) Q 0 N 图1 1 图 1 2 解析 i 这 些 电子只 有从 0点 进入 圆形 匀 强磁场 ， 偏 转 后才 能成 平行 线 离 开磁 场 ， 如 图 1 2所 示 初速 度 沿 轴正 方 向 的电子 ， 沿弧 O B 运 动 到 P； 初 速 度 沿 y轴 正方 向的 电子 ， 沿 弧 0 C运 动 到 Q
12、 设 电子 轨 迹 半径 为 R， 则 e v o B= 即 R 一 荧光 屏上 光 斑 的长度 一R 一 点评 i 速 度 大 小 相等 的一 束带 电粒 子 从 圆周 上 同一点 沿不 同方 向垂 直 射入 圆形 匀 强 磁 场 ， 若 粒 子 的轨道 半径 与磁 场 圆半 径相 同 ， 那 么 所 有粒 子 成 平 行 线离 开磁 场 ， 而且 与 磁 场 圆在 入 射 点 的 切线 方 向 平 行 7 最小 面 积 问题 【 例 7 1 ( 2 o o 9年 高 考 海南 卷)如 图 1 3所 示 ， A BC D 是边 长为 a的正 方形 质 量 为 m， 电荷 量 为 e 的电子
13、以大小 为 。 的初速 度沿 纸面垂 直 于 B C边 射 入正方形区域 在正方形内适当区域中有匀强磁场 电子从 B C 边 上 的任 意 点 入 射 ， 都 只 能从 A 点 射 出 磁场 不计重力， 求 ： ( 1 ) 此 匀 强磁 场 区域 中磁 感 应 强 度 的方 向和 大 小 ； ( 2 ) 此 匀强 磁场 区域 的最 小 面积 D 图 1 3 图 1 4 解析 i ( 1 ) 让平行粒子束射入 圆形匀 强磁场 ， 若 轨道半径与磁场圆半径 。相同， 则这些带电粒子将 会 聚 于初 速度 方 向与磁 场 圆的切 点 A 由 e v 。 B 得 所加 匀强 磁场 的磁 感应 强度 大
14、小 B一mV o ， 方 向垂直 于纸 面 向外 ( 2 ) 如图1 4 所示， 以D为圆心、 n 为半径的 圆 周与电子最上边轨迹C E A 圆弧所围的区域， 就是所 求 的最 小磁 场 区域 其面 积为 s 一 2 ( 兀 n 2 一 号 n ) 一 ( 詈 一 ) a 2 点 评 ： 此题 也属会 聚 一点 问题 ， 圆形 磁 场 内刚好 能覆盖粒子轨迹范围的部分 ， 就是所要求 的磁场最 小 面积 8 先散 后聚 问题 【 例 8 1某平 面 内有 M ， N 两 点 ， 距 离 为 L， 从 M 点 向此 平面 内各个 方 向发 射 速 率均 为 的 电子 ， 请 设计一种匀强磁场分
15、布， 使得由 M 点发出的电子都 能汇聚到 N 点 要求画 出匀强磁场分布图 ， 并加 以 必要 的说明， 电子质量为 ? 7 ， 电荷量为 e 解 析 i 加 上 四个磁 感应 强 度 B 大小 相 等 的圆形 匀强磁场 ， 磁场方 向如图 1 5所示 ， 磁场圆半径 R要 和轨迹圆半径相等， 故要满足 R B m y _v的条件 ， 而 e 且 2 R L ( 矩 形 M N N M。 区域 外 的磁 场 可 向外 围区域 扩展 ) 一45 2 0 1 1 年 第 l O 期 物 理通 报 解题 思路 与技 巧 一 一 一 一一 一 一 一 一 ， I X 、 ， x x X t X 、 ： ： X I X ： X I x ， 一 一 ，I 、 ： ： ： ： ； ： ： ： ： i 、 0 乏 罔 】 5 点评 ： 此题是平行离开和会聚一点问题的综合 ， 需 要 较好 的 空间想 象 能力 9 回 归起点 问题 【 例 9 】 如 图 1
