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1、高等数学 （专科升本科）复习资料一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材高等数学（一）第3 版 本书编写组高等教育出版社二、复习内容及方法：第一部分函数、极限、连续复习内容函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。数列的极限与函数的极限概念。收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。常见的求极限的方法。连续函数的概念及基本初等函数的连续性。函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。复习要求会求函数的定义域与判断函
2、数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。重要结论1.两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数；2.单调有界数列必有极限；3.若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛；4.若一个
3、函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；5.无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能6.初等函数在其定义域内都是连续函数；7.闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。重要公式1.若,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx则ABxgxfxgxf xxxxxx)(lim)(lim)()(lim 000；BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000。)0(B2.两个重要极限公式1）1sinlim 0xx；2）exxx11lim，exx x101lim。3.在求极限的运算中注意使用
4、等价无穷小量的代换，常见的等价无穷小量代换有：当0x时，xexxxxxxxxx1,2c o s1 ,t a n,si n,)1l n (2。第二部分一元函数微积分复习内容导数的概念及其几何、物理意义、基本求导公式与各种求导法则，微分的概念及计算，罗尔定理、拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数增减性的判定，函数的极值与极值点、最大值与最小值，函数的凹凸性及拐点，曲线的渐近线。复习要求理解导数的定义，同时掌握几种等价定义，即000000 0)()(2)()()()()(xxxfxfxxxfxxfxxfxxfxyxf； 掌握导数的几何意义，了解导数的物理意义；掌握连续与可导的关系，即连续不一定可导，而
5、可导一定连续；熟练掌握基本初等函数的导数公式与导数的四则运算法则、反函数与复合函数、隐函数、由参数方程确定的函数的求导法则，掌握对数求导法与高阶导数的求法；理解微分的定义，明确一个函数可微与可导的关系，即可微一定可导，反之一样；熟练掌握微分的四则运算和复合函数的微分；理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理，了解其几何意义；能熟练运用洛必达法则求极限，必须记住使用洛必达法则的条件，同时应注意以下几个问题：1.如果使用洛必达法则后，问题仍然是未定型极限，且仍满足洛必达法则的条件，则可再次使用洛必达法则，2.如果在“ 0/0”型或“/”型极限中含有非零因子，该非零因子可以单独求极限，不必参与洛必达法则运
6、算，以达到简化运算的目的， 3.如果能进行等价无穷小量代换或恒等变形配合使用洛必达法则，也可以达到简化运算的目的；会利用导数的几何意义求已知曲线的切线方程与法线方程，会利用导数的符号判断函数的增减性，熟练掌握函数的极值与最值的求法即需掌握以下步骤：1.求出函数)(xfy的定义域， 2.求出)(xf，并在函数的定义域内求出导数等于零与导数不存在的点（驻点）3.判定驻点两侧导数的符号，4.如果驻点处函数的二阶导数易求，可再次求导通过在该点的符号来判断极值，5.求最值时，只需求出所有的极值点与端点的值，最大（小）者即为最大（小）值；掌握判断曲线)(xfy的拐点、凹凸性的一般方法：1.求出该函数的二阶
7、导数，并求出其二阶导数等于零的点， 2.同时求出二阶导数不存在的点，3.判定上述各点两侧，该函数的二阶导数是否异号，如果)(xf在0x的两侧异号，则（)(,00xfx）为曲线)(xfy的拐点， 4.在0)(xf的x的取值范围内，曲线是弧是下凹的，在0)(xf的x的取值范围内，曲线弧是上凸的.；了解渐近线的定义，并会求水平渐近线与铅直渐近线，即Cxf x)(lim，则Cy为曲线)(xfy的水平渐近线，若)(lim0xfxx，则称0xx为曲线)(xfy的铅直渐近线；重要结论1.如果函数)(xfy在点0x的导数)(0xf存在，则在几何上表明曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处存在切线，且切线的斜
8、率为)(0xf，且切线方程为)()(000xxxfxfy，当0)(0xf时，法线方程为)()(1)(0 00xxxfxfy，2.若函数在点0x处可导，那么函数)(xf在点0x处必定连续，反之不一定；3.函数)(xfy在点x可微的充分必要条件是)(xfy在点x处可导，且有dxydxxfdy)(；4.罗尔定理：若函数)(xfy满足以下条件：1）在闭区间,ba上连续， 2）在开区间),(ba内可导， 3）)()(bfaf，则在开区间),(ba内至少存在一点，使得0)(f；5.拉格郎日中值定理：若函数)(xfy满足以下条件：1）在闭区间,ba上连续， 2）在开区间),(ba内可导，则在开区间),(ba
9、内至少存在一点，使得)()()(abfafbf。重要公式1.设)(xuu与)(xvv在点x可导，则vuvuuv)(，)0(2vvvuvuvu2.设复合函数)(xgfy，若)(xgu点x处可导，)(ufy在相应的点可导，则复合函数)(xgfy在点x处可导，且有链式法则)()(xgufdxdududydxdy3.设)(xfy是由)()(tytx所确定，其中)(),(tt都为可导函数，且0)(t，则)()(ttdtdxdtdydxdy，4.在求导数时，有时要注意对数求导法的应用5.洛必达公式：当)(),(xFxf满足一定条件时，有)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx， )()(l
10、im)()(limxFxfxFxfxx同时应注意可转化为“0/0”型或“/”型的极限第三部分一元函数积分学复习内容不定积分的概念与性质，不定积分的基本公式，积分第一换元法与第二换元法，分部积分公式与应用分部积分公式时应注意的一般原则，定积分的基本概念与基本性质，牛顿-莱布尼茨公式，定积分的换元积分法与分部积分法，无穷区间上的广义积分，求平面图形的面积，求旋转体体积。复习要求理解原函数与不定积分定义，了解不定积分的几何意义与隐函数存在定理；熟练掌握不定积分的性质与不定积分的基本公式，理解积分第一换元法，即设)(uf具有原函数)(),(xuuF存在连续导函数，则有换元公式.)()()()()()(
11、CxFCuFduufdxxxfxu了解积分第二换元法；掌握分部积分公式，同时应注意在使用时应遵循的一般原则；理解定积分的定义与定积分的几何意义； 熟练掌握定积分的性质与牛顿-莱布尼茨公式； 熟练运用定积分的换元积分法与分部积分法；了解无穷区间上的广义积分的求法；会用定积分的性质求平面图形的面积与旋转体的体积。重要结论1.若)(xF为)(xf在某区间上的一个原函数，则CxF)(为)(xf的所有原函数，称为)(xf的不定积分，记为dxxf)(；2.定 积 分 表 示 一 个 数 值 ， 它 只 取 决 于 函 数)(xf与 积 分 区 间 ， 与 积 分 变 量 无 关 ， 即dttfdxxfba
12、ba)()(；3.如果函数)(xf在区间,ba上连续，则定积分dxxfba)(必定存在；4.以bxaxxfy,),(及OX轴所围成的曲边梯形的面积等于dxxfba)(；5.如果)(xf在区间,ba上连续，则在,ba上至少存在一点，使得)()(abfdxxfba；6.如果)(xf在区间,ba上连续，则积分上限函数dttfxxa)()(在区间),(ba内可导，且)()()(xfdttfxxa；7.若)(xf是区间,aa上的连续函数)0(a，则为偶函数，为奇函数)()(2)(,0 )(0xfdxxfxf dxxfaaa。重要公式1.先积分后求导，作用抵消，即),()(xfdxxf先求导后积分，相差一
13、个常数，即Cxfdxxf)()(2.分部积分公式：vdxuuvdxvu3.牛顿 -莱布尼茨公式： 1）如果)(xf在区间,ba上连续， 2）)(xF为)(xf在),(ba内的一个原函数，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba。4.定积分的换元公式：设)(xf在区间,ba上连续，函数)(tx满足以下条件：1）;)(,)(ba2）)(t在,上为单值、有连续导数的函数，则有dtttfdxxfba)()()(。第四部分空间解析几何复习内容平面方程的基本概念、直线方程的基本概念，简单的二次曲面。复习要求了解平面的点法式方程与一般式方程、了解特殊的平面方程、两个平面之间的关系：垂直、平行、重合，会
14、通过已知条件建立平面方程，掌握直线的标准式方程与一般方程，了解直线之间的关系以及直线与平面之间的关系，会根据已知条件建立直线方程，了解常见的二次曲面，即柱面方程、球面方程、椭球面方程、锥面方程、旋转抛物面方程. 重要结论1.设有平面,0:11111DzCyBxA,0:22222DzCyBxA平面1与2相互垂直的充分必要条件是0212121CCBBAA，平面1与2平行的充分必要条件是212121/CCBBAA，平面1与2重合的充分必要条件是2112121/DDCCBBAA，2.建立平面方程常用平面点法式：1） 过 点),(0000zyxM作 平 行 于0:11111DzCyBxA的 平 面 方
15、程 ， 取),(111CBAn及),(0000zyxM即可，2） 过点),(0000zyxM作垂直于向量),(CBA的平面方程，只需取平面法线向量),(CBAn及点),(0000zyxM即可，3） 过点),(1111zyxM，),(2222zyxM，),(3333zyxM作平面方程，利用平面的一般式方程，设所求的平面为0DCzByAx，将已给的三点的坐标代入平面方程，可以得到一个以DCBA,为未知量的方程组，求出DCBA,即可，3.设有直线111111 1:pzznyymxxl222222 2:pzznyymxxl直线1l与2l平行的充分必要条件为212121 ppnnmm，直线1l与2l垂直
16、的充分必要条件为0212121ppnnmm，4.设直线l与平面的方程为pzznyymxxl000:0:DCzByAx1） 直线l与平面垂直的充分必要条件是CpnBmA/2） 直线l与平面平行的充分必要条件是0CpBnAm3） 直线l落在平面上的充分必要条件是00000DCzByAxCpBnAm5.建立直线方程，常用直线的标准式方程，只需确定直线上的一点),(0000zyxM及直线的方向向量,pnms，即1） 作过点),(0000zyxM，且垂直与平面0:DCzByAx的直线方程，取),(0000zyxM及方向向量),CBAs即可，2） 作过点),(1111zyxM，),(2222zyxM的直线方程，取),(0000zyxM= ),(1111zyxM及方向向量,121212zzyyxxs即可第五部分多元函数微积分学复习内容二元函数的概念及几何意义，多元函数的概念，二元函数的极限与连续性以及连续性的基本性质，偏导数的定义，全
