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1、1投资收益和风险的优化模型0 0 引言引言在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。而且，大的收益总是伴随着高的风险。在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。1 1 问题的提出问题的提出
2、某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资iS产进行评估，估算出在这一段时期内购买的期望收益率（）、交易费率(iSir)、风险损失率()以及同期银行存款利率（=3%）在投资的这一时期内ipiq0r0r为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受,影响，不iripiq受其他因素干扰 。现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.表1投资项目iS期望收益率(%)ir风险损失率(%)iq交易费率(%)ip存银行0S3001S272.412S221.623S255.24.54S23
3、2.26.525S211.52其中0,1,2,3,4,5.i 2 2 问题假设及符号说明问题假设及符号说明2.1 问题假设(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的的期望收益率为实际的平iSir均收益率； (3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情 况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种 类的选择使风险有所分散； (4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。 2.2 符号说明：购买第 种资产的资金数额占资金总额的百分比； ixi：购买第 种资产的资金数额； ：存银行的金
4、额； iMxi0Mx：交易费用； ：净收益； ( )if xR：总体风险； ：第 种投资的净收益率。 Qii3 3 模型的分析与建立模型的分析与建立令交易费用 ,0( )(0,1,5)0,0iii i iMx pxf xix则净收益为50(1)ii iRMr xM总体风险为 05maxiiiQMx q 约束条件为5500( )ii iif xMxM可以简化约束条件为350(1)1ii ip x同时将代入，得50(1)ii iMMp x555000(1)(1)()iiiiiii iiiRMr xMp xMrp x略去M,原问题化为双目标决策问题:50max ()iii iRx rp05min m
5、axiiiQx q （3.1） 50(1)1s. t .00,1,5ii iip xxi 以下设，否则不对该资产投资。0iirp4 4 模型的求解模型的求解4.1 固定使最小的模型RQ固定使最小，将模型（3.1）化为RQ， 05min maxiiiQq x （4.1）5050(),(1)s. t . (1)1,(2)00,1,5iii iii iirp xRp xxi 此模型又可改写为min y4 0001115550011551111 s. t . 0,00,1,5iiirpxrpxrpxRpxpxpxx qyxyi 令，表示第 种投资的净收益率，则必大于,否() (1)iiiirppiii
6、0则, 若, 则不对投资, 因为对该项目投资纯收益率不如存银行, 而风10iS险损失率又大于存银行。将从小到大排序,设最大, 则易见对模型（4.1）ik的可行解必有.kR03. 0当时, 所有资金都存银行,; 当时, 所有资金用于购03. 0R0QkR买 , ；当时,有如下结论7。iS 1kkqQpkR03. 0结论：若0.03 R=0.03 while R Q=0 while (1.1-Q)1 % or Q1c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015
7、 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;16vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.)axis(0 0.1 0 0.5)hold ona=a+0.001;end xlabel(a),ylabel(Q)模型三 Lingo 语句，max(1)Ry500,1,2,3,(1)1,. ., 0,()4,5.ii iiiixpistx qy x max=(1-0.2)* (0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(
8、0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5)-0.8*y);x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1 while r1;C= -0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205*(1-r) -0.165*(1-r) -170.19*(1-r) r;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1;B=
9、 0;0;0;0;0;Aeq= 1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0;Beq= 1;Vlb= 0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(6,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);rQ=x(7)x=x plot(r,Q,r-)axis(0 1 0 0.025)xlabel(权重r)ylabel(风险度Q )title(风险度Q随权重r的变化趋势图)hold onr=r+0.001;grid onendr=0.8;C= -0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205
10、*(1-r) -0.165*(1-r) -0.19*(1-r) r;A= 0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1;B= 0;0;0;0;0;Aeq= 1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0;Beq= 1;18Vlb= 0;0;0;0;0;0;% or Vlb= zeros(6,1);Vub= ;x,fval= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇
11、螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄
12、袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄
13、芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁
14、节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿
15、膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁
