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1、- 1 - 直角座標系- 函數及其圖形（創新教學活動設計類） 盧俊雄 臺北市立松山工農數學科專任教師 摘要 一、介紹二次函數的定義。 二、利用圖形模擬軟體瞭解如何利用描點法得到二次函數的圖形，並針對圖形特徵訂出定義，如：頂點、開口向上或下等等。 三、利用圖形模擬軟體自行操作如何得知二次函數特徵為拋物線。 四、討論代數式與幾何圖形的相關性 五、藉由實例探討代數式與幾何圖形的相關性，再利用圖形模擬軟體自行操作如何求得其相關性。 關鍵字：直角座標系及其圖形、二次函數的圖形、松山工農數學教室 一、適用年級 高工一年級。 二、使用情境 （一）教師於上課時間配合教學單元，一併使用網上同步解釋。 （二）學生
2、於自暇時間在家中或其他可上網地區自行練習加深印象。 三、使用方法 鍵入 http:/www.ele.saihs.edu.tw/mou/math/index.html 點選直角座標系及其圖形 。 - 2 - 四、使用情境 （一）教師於上課時間配合教學單元，一併使用網上同步解釋。 （二）學生於自暇時間在家中或其他可上網地區自行練習加深印象鍵入網頁http:/www.ele.saihs.edu.tw/mou/math/index.html 。 四、使用步驟 點選“直角座標係及其圖形“ - 3 - 進入後，先呈現本課程“學習目標“，可使學生瞭解學習重點。 點選“預備知識“瞭解學習本課程的相關預備知識。
3、 - 4 - 點選“課程內容“，進入本課重點 首先依照函數的定義，說明何謂二次函數，利用顏色（變數用紅色，用綠色）的差異、對比性，讓學習者瞭解此處未知數、代表相同的變數，予以二次函數詳細的定義。 - 5 - 避免上頁所作的二次函數定義過於繁複不易瞭解，簡短總結何謂：“的二次函數“。 - 6 - 此處利用f (x)= x2及g(x) = x2兩個較簡單的例子，學習如何用描點法描繪二次函數圖形。藉由“模擬軟體“可加快瞭解如何繪圖且可表現一較標準的圖形 - 7 - 藉由“模擬軟體“比較兩個例子的差別，進而予以各圖形及其特性定出何謂“開口向上“及“開口向下“、“頂點“及“最低點“、“最高點“的關係，和
4、“頂點“及“最大值“、“最小值“的關係。 - 8 - 提供思考的方向，二次函數是否圖形特徵為拋物線，只有開口向上或向下的差異！？ 利用“模擬軟體“親手操作，藉以獲得“所有二次函數圖形皆為拋物線圖形，僅有開口向上或向下的差別“的結論 此模擬軟體可利用一般式y = f (x) = ax2+ bx + c，a 0討論二次函數是否真為拋物線圖形（僅有開口向上及向下差別） ，另藉原本的例子g(x) = x2及h(x) = x2兩個較簡單的例子（變數，值皆為）提供比較。 - 9 - 無論如何改變、值，可得圖形皆為為拋物線圖形（僅有開口向上及向下差別）！ 且開口向上，開口向下。 可推論當初假設的結論：二次函
5、數圖形特徵為拋物線，只有開口向上或向下的差異。 此模擬軟體若有老師在旁教導，可比較三個二次函數圖形二次項係數 若，開口向上時，其值越大，開口越小 若，開口向下時，其值越大，開口越小 針對上述疑問，再提出如何找出由代數式y = f (x) = ax2+ bx + c，a 0，與幾何圖形（二次函數圖形）特徵（頂點，最大、最小值，及開口向上或下）的關連性。 - 10 - 利用f (x)= x22x+ 3的例子，思考如何獲得由y = f (x) = ax2+ bx + c，a 0，與二次函數圖形 特 徵 （ 頂 點 ， 最 大 、 最 小 值 ， 及 開 口 向 上 或 下 ） 的 關 連 性 。-
6、11 - 此時主要須思考為何時，（），點（，）為此拋物線頂點，用配方法如何找出（，）為頂點？ - 12 - 學習者利用模擬堧體自行操作來判斷上述提出的疑問是否正確！ - 13 - 1.利用配方法將一般式y = f (x) = ax2+ bx + c，a 0 改為 y = f (x) = a(x h)2+ k，此時討論（，）是否為二次函數圖形的頂點，利用模擬軟體操作、值，學習者可單獨改變，可發現圖形平行移動且恰為圖形頂點的座標，或可單獨改變，發現圖形可垂直移動且恰為圖形頂點的座標。 2.此處可一併將g(x) = x2=1(x 0)2+ 0及h(x)= x2= (x 0)2+ 0表示成配方法，讓學
7、習者可3.利用單純移動值，不改變、值，可得值只能單純改變二次函數圖形開口向上（）或向下（）及開口的大小差異（愈大，開口愈小） 。 4.利用一次改變一個、或值，移動值圖形便上下及開口大小改變，移動圖形則左右平移，移動值圖形則上下垂直移動，可清楚地明白、在二次函數圖形所代表的含義。 - 14 - 總結二次函數的圖形確為拋物線（開口向上或下）與係數（、）間的關係，及極值（最大、最小值）的存在與否的關係。 - 15 - 五、使用成效 （一）教師可避免浪費過多的時間於繪畫函數的圖形，有效率表現二次函數圖形。 （二）提供學生與教師面對面，互相、即時的教學交流。 （三）給予學生非一般性聽講方式，藉此提高學生學習興趣。 （四）學生可利用操作確實了解實際二次函數圖形的特徵及表現。 （五）提供學生在學校之外時間，提供自行練習的方式。 六、省思 （一）教材內容可由二次函數延伸至二次曲線，可比較之間的差異性。 （二）尚未能提供線上的即時回饋，僅有師生面對面交流或利用電子信箱聯繫。
