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1、（一）平面图形的面积（三）平面曲线的弧长（二）空间立体的体积第四节 定积分的应用三、小结一、定积分的微元法 二、定积分在几何学中的应用Date11.问题的提出ab xyo一、 定积分的微元法Date2 第一步 分割（化整为零） 第二步 近似代替(以直代曲）第三步 求和（积零为整，给出“整”的近似值）第四步 取极限Date3xyoDate42.将量U表示成定积分表示式的条件Date53.将量U表示成定积分表示式的步骤：求相应部分量的近似值记(1)选取积分变量：根据问题的具体情况，适当选取坐标系， 确定积分变量及其变化区间；例如 选x为积分变量，并确定它的变化区间a,b;(2)确定被积表达式；，在
2、区间a,b上任取小区间(3) 求定积分称为整体量U的微元或元素称上述方法为定积分的元素法; 元素法的实质：化整为零取元素，无限累加作积分。 Date61. 直角坐标系情形（被积函数上-下）（一） 平面图形的面积二 、定积分在几何上的应用Date7思考：由曲线 、 与直线、 所围成的平面图形的面积（被积函数右-左）Date8解 两曲线的交点，面积元素选 为积分变量解方程组能否选y为积分变量?Date9先求两曲线的交点选y为积分变量,解法二面积元素Date10解两曲线的交点选 为积分变量注 被积函数为“右-左” 右为直线，左为抛物线Date11解两曲线的交点例2 选x为积分变量,Date12能否选
3、y为积分变量?选y为积分变量比较好！ Date131.选择积分变量时： (1)尽量少分块(2)积分容易。2.准确的作图.注意：Date14如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积oxyDate15解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积Date16练习：写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1） （2） 轴轴（3） Date17练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4） （5） Date18这样，平面上任意一点 M 的位置就可以用 OM 的长度 r和从 Ox 到OM 的角度 来刻画，记作 (r, )，叫做 M 点在这个极坐标系中的极坐标。2、极坐标
4、的情形在平面上取一点 O，从 O 出发引一条射线 Ox，并 取定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针 方向），就构成了一个平面极坐标系。极坐标的概念 极点 极轴 极角 极径 M(r, ) O r x Date19极坐标和直角坐标的关系 设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴为 x 轴，直线 = / 2 为 y 轴，就得到一个直角坐标系。于是平面任意一点 M 的直角坐标 (x, y) 和极坐标 (r, ) 之间有下列关系： y M(r, ) O r x y x 或Date20面积元素曲边扇形的面积极坐标系下平面图形的面积Date21解由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积Date22解利
5、用对称性知Date231.平行截面面积为已知的立体的体积 过x=a, x=b的两个平行平面截曲面得到一个几何体 ，任取x, x+dx,过x和x+dx作垂直与x轴的平面， 截的部分几何体的体积可近似的看作柱体体积。立体体积(二) 空间立体的体积Date24解建立坐标系，底圆方程为截面面积立体体积Date25定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面 内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫 做旋转轴圆柱圆锥圆台2. 旋转体的体积Date26旋转体的体积的求法xf(x)abDate27xyo旋转体的体积为Date28即：Date29例6 求由椭圆 绕 轴旋转而成的椭球体的体积.解 将椭圆方程化为因此所求的
6、体积为b-ba-aOxy体积元素Date30例7 求由曲线 与直线 、 围成的图形解 由公式得出所求的体积为绕 轴旋转而成的旋转体体积.Date31解Date32Date33结论：光滑曲线弧是可求长的。光滑曲线：（三）平面曲线的弧长Date341、平面曲线弧长的概念Date35弧长元素为弧长(1) 直角坐标情形在x,x+dx的一段弧长用点 （x,f(x)处切线上相应的 小直线段长度来近似代替Date36例1 求星形线的周长解：故所求星形线的周长为：Date37设曲线弧为弧长(2) 参数方程情形Date38由对称性,有例2Date39解的全长所以Date40曲线弧为弧长(3) 极坐标情形Date41故所求心形线的周长为：解： 函数图像关于极轴对称，故其周长 等于上半支心形线周长的两倍， 由于Date42解Date432、求在直角坐标系下、参数方程形式下、 极坐标系下平面图形的面积.三、 小结3、旋转体的体积直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下4、弧长的公式绕 轴旋转一周绕 轴旋转一周1、定积分的微元法Date44
