《对2014年山东高考压轴题的推广》由会员分享，可在线阅读，更多相关《对2014年山东高考压轴题的推广（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4 6 数学通讯 一 2 0 1 4年第 8期 ( 下半月) 专论荟萃 对 2 0 1 4年山东高考压轴题的推广 陈新伟 ( 山东省宁阳第一中学， 2 7 1 4 0 0 ) 学生普遍反映， 2 0 1 4年山东省高考数学理第 2 1 题非常困难， 未知元素较多， 难于运算， 笔者经过思 考， 感觉本题有很多的性质可以得以推广， 就试题做 法而言， 亦可借用推广过程， 避繁就简， 能较为轻松 地解答本题 1 真题呈现 ( 2 0 1 4年山东理 2 1 )已知抛物线 C： Y =2 p x ( P0 ) 的焦点为 D， A 为 C上 异于原点的任意一 点， 过点 A的直线l 交C于另一点B，
2、交 X轴的正 半轴于点D， 且有 l F A l =l F D J 当点 A 的横坐标 为 3时， AAD F为正三角形 ( 工 ) 求 C的方程； ( ) 若直线 l 1 l ， 且 l 1 和 C有且只有一个公 共点 E， ( i ) 证明直线 A E过定点， 并求出定点坐标； ( ii ) X A B E 的面积是否存在最小值?若存 在， 请求出最小值； 若不存在， 请说明理由 2 两个引理 引理 1 已知抛物线 C： Y =2 p x( PO ) 的焦 点为 F， 过 F的直线与抛物线交于A、 B两点， 则 z = 4 ， ) ) r B = 一P 引理2 过抛物线 C： =2 p x
3、( P0 ) 上任意 一点 M( x M， Y M ) 的切线方程为 Y lv tY =P ( +z M ) 3 推广结论 结合求解这道高考题的过程可以知道， 试题的 第( ) 问可以推广到更一般的情况， 笔者经过探究， 得到了一系列 的一般性结论 ， 介绍如下 结论 1 已知抛物线 C： Y =2 p x ( P0 ) 的焦点为 F， A ( X A ， Y A ) 为 c上异于原点的任 意一点， 过点 A 的直线交C于另 一点 B， 交 z轴的正半轴于点 D， 且有 I F A I =I F D I ， 则 k A B = 一 P 。 y c D 图 1 证明 如 图 1 过 点 A 向抛
4、 物线 的准线作 垂 线 ， 垂足为 M ， 连 接 MF， 所 以 I AM I =I F A I ， 因为 l F A l =I F D l ， 故I A M l =I F D l 且 A MF D， 所以 四边形 A M-F D为平行四边形， k F M：h a rt 又M( 一 鲁， ) ， F ( 鲁， 0 ) ， 所以愚 u B = k F M = 一 P 结论 2 已知抛物线 C： Y =2 p x ( P0 ) 的焦 点为 F， A为C上异于原点的任意一点， 过点 A 的 直线交C于另一点B， 交 X轴的正半轴于点D， 且有 l F A l =l F D l ， 则直线 A B
5、与抛物线C在点A处的 切线 l 垂直 证明设 A( ， 如 ) ， 由引理 2可知抛物线 C 在点A处的切线为z ： Y A Y =P ( X+X A ) ， 故 k ： 又由结论 1 知 忌 A B=一 Y A， 所 以 k f 忌 A B =一1 ， 故直线 A B与抛物线C在点A处的切线z 垂直 结论 3 已知抛物线 C： Y =2 p x ( P0 ) 的焦 点为 F， A( x A ， Y A ) 为 C上异于原点的任意一点， 过 点 A 的直线交 C于另一点B， 交 x轴 的正半轴于点 D， 且有l F A l =l F D 1 若直线 l A B， 且与 C相切 于 E， 则直线
6、 AE过焦点 F 证明设 E( x E ， Y E ) ， 由引理 2知直线 ： Y F _ Y= p ( x十X E ) ， 故 k 1 = _ _p 由结论 1知 尼 A B= 一Y_ _ pAA，又因为 Z A Z， 故 =一 ，所 以 Y E 一 YA ，XE 豸 ， 所 以 E( ， 一 ) ， -r a A )A 设 直 线 A E z ： + b ， 由 “ + 得 Y 2 L Y wp x 一2 p ra y一2 p b =0 ， 因为 Y A、 如 为该方程的两根 ， 所 以 Y A Y E =一2 p b ， 又 由引理 1知 Y A Y E=一P ， 故 b = 鲁， 所
7、以 直 线A E ： z = m y + 告， 故 直 线A E 过 焦 点 专论荟萃 数学通讯 一 2 0 1 4年第 8期 ( 下半月) 4 7 结论 4 已知抛物线 C： Y =2 p x ( P0 ) 的焦 点为 F， 直线 AE过焦点 ， 则抛物线 C在 A、 E两点 处的切线相互垂直， 且两切线的交点在抛物线的准 线上 证明设 A( X A， Y A ) ， E( x E， Y E ) 由结论 3可知直线 AE过焦点 ， 故 由引理 1知 A XE= 4 ， = 一 抛物线 C在A点处的切线方程为： Y A Y =P ( X +X A ) ， 斜率为 k l = ； 抛物线 C在
8、E点处 的切线方程 为： Y F _ ：Y=P( X 十姐 ) ， 斜率为 k 2 = ； 所以 k l “ k 2 = 一1 ， 故抛物线 C在A、 E 两点处的切线相互垂直 设 两 切 线 的 交 点 为Q，联 立 方 程 组 y A y = p (， x + X A 、) 两 式 相 减 ， 整 理 得 【 Y E Y P( X+z E ) ， ，： ! 塑 二 塑 2 ： 遵： Y A YE Y A Y E 2 代人 Y A Y =p ( x+X A ) ， 结合 Y A Y E =一P ， = 2 p x A ， 可 求 得z = 一 粤， 所以Q ( 一 鲁， ) ， 故 抛物线
9、C在A、 E两点处的切线的交点在抛物线的 准线上 结论 5 已知抛物线 C： y = 2 p z( P 0 ) 的焦 点为 F， A 为 C上异于原 点的任意一点 ， 过点 A 的 直线z 交C于另一点B， 交 轴的正半轴于点D， 且 有 l l =l F D l ， 若直线 l 1 1 ， 且与 C相切于E， 直线 z 与抛物线 C的准线交于 Q， 则直线 Q A 即 为抛物线C在点A处的切线 证明设 A( X A ， Y A ) ， E( x E ， ) 由 结 论4 知 点Q ( 一 鲁， ) ， 抛 物 线C 在 A处的切线亦必过点Q， 故只需证明 忌 0 A = ， 即可 说明直线
10、Q A为抛物线C的切线 Y A+ Y E 酗 Y A -Y qQ 专 YA - YE ， 结合引理 1得 一 一 是 O A 一 P( 2 +P ) Y A ( 2 X A+P) 一Y A ( 2 X A+P ) = 因此， 直线 Q A 即为抛物线 C在点A处的切 线 结论 6 已知抛物线 C： Y =2 p x ( p0 ) 的焦 点为 F， A 为 C上异 于原点的任意一点 ， 过点 A 的 直线交C于另一点B， 交 X轴的正半轴于点D， 且有 I F A I =I F D I ， 延长 A F交抛物线 C于点E， 则 ( S A B E ) 试 =4 p 证 明如 图 2， 议 A(
11、z A， Y A ) ， E( 观 ， Y E ) 由结论 1 知 忌 1 =一 ， 设直线 A B： =一 +6 ， 由l 一 ， 由 l 一 ， 图 2 得 Y A 2 + 一6=0 ， 所以 +如 =一 ， 故 如 一 一 ， 故 ：一 Y A- Y B ：掣 又 衄 ： 4， 故 点 E 到直线 AB 的距离 = IA E I sin = ( 张 十 若+ in ，从 而 s A B E = 丢 J A B I =l yA+ y A I ( X A 十 _( I l +l Y A I ) ( z A+ 2 p 2 p：4 p 当且仅当I I =l Y A I ， 同时成立时取 得 等
12、号 ， 即 = ， = 号 ， 即 当 A F 与 z 轴 垂 直 时， S B E 取得最小值 4 p 结论 7 已知抛物线 C： Y = 2 p x( P0 ) 的焦 点为 F， A为C上异于原点的任意一点， 过点 A的 4 8 数学通讯 一 2 0 1 4年第8期 ( 下半月) 复习参考 有I J ：J F D l ， 若直线 z ， ， 且与 C相切于E， 直线 z 与抛物线 C的准 线交于 Q， 贝 0 S A B e =4 S * , A O 证 明 由结论 5 ， 直 线 Q A、 Q E 分别 为 抛 物 线 C 的两条切线 如图 3 ， 设 A( X A ， Y A) ， A
13、 f ： -_ 图 3 E( X E， ) 过 Q作 轴的平行线 Q_P， 与 AE交于 P 由 结 论 4 ， Q ( 号 ， 专 丝 ) ， 故 P 为 A E 的 中 点， 过 A、 E向准线做垂线， 垂足分别为 M、 N， 则 I Q P I = ， 又因为 =一p 2= 1 42 _，ff J r I Y Ay E I =I Y A+ i ， 故 s A E Q = 1 l Q P l I YA一 I =( X A+ 4 x A I Y A十 又由结论 6的证 明过程知 ， s 艘 1 1 2 _ 十 y A I ( X A 十 + 故 S A B E =4 S A E Q 注对于
14、2 0 1 4年 山东理 2 1题的第 ( 1 1) 问， 类 似结论 3 、 结论 6的证明过程可轻松解答 ( 收稿F 3 期： 2 0 1 40 6 1 2 ) 高三数学应用题复习策略探究 黄险峰 ( 江苏省扬州大学附属中学， 2 2 5 0 0 2 ) 普通高中数学课程标准( 试验) 对培养学生的 数学应用意识和创新能力提出了新的要求， 对此， 近 几年全国各地的高考在命题中进行了积极的探索， 用源于社会、 源于生活的问题考查学生， 充分发挥了 高考的选拔功能和积极的导向作用 由于应用题与 生产实际相联系， 具有多样性的特点， 需要学生将情 境推理和数学推理恰当结合、 各种认知成分的充分
15、 参与才能成功解答 ， 因此， 不少教师和学生有畏难情 绪， 给复习备考带来一定困难 为了有利于学生对整个高中阶段的应用问题有 全面的了解和整体的把握， 我们认为： 可以在高三三 轮复习的各个阶段安排如下专题复习： 通过回归课本， 让学生熟悉数学在生产、 生活 中的具体应用， 并通过小结和变式训练加以巩固； 通过综合性较强的应用题， 让学生充分感受 和经历审题 、 建模和解模的思考探索过程来消除畏 难情绪 ， 提升解题 能力 ； 通过研究和点评创新型应用题的设计思路和 方法 ， 来增进学生思维的灵活性 本文拟在高三教学实践和相关理论梳理的基础 上， 给出以上三个专题复习的实用策略， 供大家参 考 一 、在 回归课本中夯实基础 ， 提升模型识别能力 高考应用题， 反映了数学与生产实际的联系， 它 以考查学生解决实际问题的能力为目的， 力求情境 新颖， 远离复习资料，
