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1、课外园地 数学通讯 一 2 0 1 0年第 1期 ( 下半月) 5 3 利用三角代换法解竞赛题 傅平修 ( 山东师大附中， 2 5 0 0 1 4 ) 在解决有关的竞赛问题时， 常借助于题目显现 的某些结构特征， 引入三角代换， 将所给问题转化为 含有角的问题， 然后运用三角 函数的变换 和性质进 行求解 三角代换法是一种实用有效的解题方法， 同 时具有技巧性强的特征 例 1 ( 2 0 0 8 年湖北省预赛试题) 设数列 口 1 1 满 足a l = 寺， a n + I = ( 1 ) ， 则 a 2 0 o 8 = 讲 解由 口 + 。 = 联 系 tan ( 号 + 们 = 1+t a
2、 n0 1一t a n0 可作代换 切 n ， 则 t a n + 1 =ta n ( 4 + 0 ) ， t a n + 4=t a n ， 即 口 + 4=a ， 所 以数 列 t a 是以4为周期的周期数列 从而 a 2 0 0 8 。n 0 ( 可 让 口 - = ) ， 则 口 z o o s =一 1 题 2 8 设定义在 z l ， 2 】 上的函数 Y= f ( x) 的图象为 c， C的端点为A、 B， M 是 C上任意一 点 ， 向量 =( l ， Y 1 ) ， =( z 2 ， Y 2 ) ， =( ， ) ， 若 z= l +( 1 一 ) 2 ， 记向量 = +(
3、1 一 ) 现定义“ 函数 Y= 厂 ( z ) 在 l ， 2 _ k - -I 在 标准 k 下线性近似” 是指l I 志恒成立， 其中 k 是一个确定的正数 ( 1 ) 试给出对于函数 y=2 在区间 0 ， 1 上的 k的最小值 ； ( 2 ) 试给出对于函数 Y =lo g 2 x在区间 1 ， 2 上 的 k的最小值 解由 ： +( 1 一 ) 得到贰 = 荫 ， 所以B， N， A三点在一条直线上， 由 = ， + ( 1 一： 【 ) Lz 2 得 N 在线段A B上且与点M 的横坐标相 同， 0 1 ( 1 )对于函数 Y=2 ， A( 0 ， 1 ) ， B( 1 ， 2
4、) ， M ( ， 2 ) ， 其中过 A， B 的直线为 Z A B ： =X+l ， N( ,2 7 ， +1 ) f l ：( z+1 ) 一 2 ， 令g ( x ) =( z十1 ) 一 2 ， g ( z ) = 1 2 ln 2 ， 可知在 0 ， 1 上当 ：l。 南 时， g ( ) = 0 ， 在 0 ， 1o g 2 南 上g ( z ) 为 增函 数， 在 I o 或 ， 2 上g ( z ) 为减函数， 故可取得最大值为 g ( 1 g 2 5 ) = lo g 2 面 1 一 + 1 ， 即 忌 的 最 小 值 为 1 1 啦 面 一面 十I ( 2 )对 于 函数
5、 Y=l o g 2 x， A( 1 ， 0 ) ， B( 2 ， 1 ) ， M( x， lo g 2 x) ， 其中过 A， B的直线为 ： y ：2 7 1 ， N( z， z一1 ) I I ：l o g 2 x一( 一1 ) ， 令g ( ) =l o g 2 一( 一1 ) ， g ( z ) = 一1 。 可知在 1 ， 2 上当 = 时 ，g ( z ) = 0 ，在 1 ， i 1 上 g ( ) 为 增 函 数 ， 在 壶， 2 上g ( z ) 为减函数， 故可取得最大值为 g ( 壶) = l。 g 2 磁 1 一 + 1 ， 即k 的 最 小 值 为 1 1 o g
6、2 砸 一i 十L 考察目标利用导数研究函数的单调性、 最值， 共线向量基本定理， 对信息的处理能力和灵活转化 能力， 数学应用意识 设计思路 以数值近似为出发点， 在小区间范 围内以直线的函数值代替真实值 主要通过对信息 的理解 ， 考察分析问题的能力， 突出了数学的探索意 识 ， 紧扣高考试题改革脉搏 难度系数0 4 5 设计 人 姜 本超 ( 黑龙 江省 大庆 实验 中学 1 6 3 3 1 6 ) 数学通讯 一 2 0 1 0年第1期 ( 下半月) 课外园地 例 2( 2 0 0 3年全 国高中数 学联赛试题 )已知 z， 都在区间( 一2 ， 2 ) 内， 且 x y 一1 ， 则函
7、数 4 + 的最小值为 ( ) ( A ) 詈( B ) 酱 ( c ) ( D ) 1_52 c o s 口 o 。 s 卢 一 吉 ， 于 是 有 【 垡 巨 I ： ， + L s i n a s i n p 3 s i n a s i n p n n 卢 吾 ， 2 + 13 65 = 了1 2 当且仅当 o o 口 c o t 2 ， 且 s i n 口 s i n p 6时 ， 即 或 喜 时等 号成立 说明 引入三角代换后， 简化了 的结构， 突 ( 1 + ) = 2 【 ( 1 一 ) = 6 讲 解 由 、 易 得 士十 3 ： 1 ， 故 可 设 ： z 口， 3= s
8、in 2 ( 0 2，+_ 1=2+2v r 3， t = j+1 3 + 2 v 3( 舍去“ + ” ) l ： 上：垒一 2 f 二 z 一C O S 4 0 丽 ，_一 ， I 9 3 6 6 4 3 【 一s in 4 0 了 其中t ： +1 一 3 + 2 说明通过三角代换， 使解方程时的消元变得 简单， 同时要注意三角运算时的代数代换 例 4 ( 第 3 3届 I MO试题 )如果 z， ， z 1 ， 且 +1 +1 2，证 明： v 厂 + Z 3 2 z 历+ 历 讲解为去掉结论 中的部分根号， 同时兼顾条 件中的 ， 一 1， 一1 ，可设 z = ， Y = 一上c
9、o s 2 y ( 0 ， z ， ， ， ， y 号 ) ， 则条 件简 化 为 s 2 a+s 2 +c o dy=2 ， 即 s i n 2 口+s i n 2 fl+s i n 2 y=1 ， 待证不等式变形为 ( s i n 2 a+s i n 2 卢+s i n 2 y )( + + 刍) l + + 器 由柯 西 不 等 式 得 证 当 且 仅 当 s i n a c o s a= s i n fl c o s fl =s i n y e o s 7即口=卢=7时 ， 亦即 X= = =要时等号成立 说明这里的换元既把要证不等式右边的根号 化掉 ， 又去掉了条件 中的分母 ， 因
10、此 ， 这里 的换元起 到“ 一石二鸟” 的功效， 本题亦可设 z=， Y= si n-口 1 1 s i n Z fl s i n 2 7 例 5 ( 第 2 O 届伊朗数学奥林匹克) 设 a ， b ， c 是正实数， 且 a +6 +c +a b c =4 ， 证明： a +b + 3 讲解在AA B C中有恒等式 c o s t A+c o s 2 B+ c o s 2 C+2 c o s Ac o s Bc o s C=1 ， 由 n +b +c +a b c = 4 可利用三角代换 在锐角A B c中， 由余弦定理得 f =a +b 课外园地 数学通讯 一 2 0 1 0年第 1期
11、 ( 下半月) 5 5 2 ab c o s C ， 即 s i n 2 C=s i n 2 A+s i n 2 B一2 s i n As i n Bc o s C 1 一c 0 s 2 C：1 一c o dA +1一o 。 s 2 B一2 ( c o s t +c o s Ac o s B) c o s C， c 。 A + B +o 。 C + 2 e o s Ac o s Be o s C = 1， ( 2 c o s A) +( 2 c o s B) 十( 2 o s C) +( 2 c o s A) ( 2 e o s B) ( 2 c o s C) =4 ， 故可令 a=2 c o
12、 s A， b =2 c o s B， c =2 c o s C， 贝 U 口 +b +c 0 ； Y s e c z的二阶导数 ：L 0 ， 。 2 ( t a n A+s e c A) 6 ， ， A +B +C A +B + C t a n 一 十s e e 一 ) =6 2ff ( x + y ) ( y + z ) ( + z ) ( 历+ 历+ ) ， ) 1 舒 I 1 sec A2 ( t a n A +s e c A) 铮 2 ( 础础s C+2co s Ac o s B) 铺 s in ( B+C) +2 c o s Ac o s B =( c o s A) ， 。 o o
13、sA 3 oo s = 学， ( c o s A) 2 7，原不等式得证 c o t B ， c o t C ， 0 0 ， 且 a+b+c =a ， 求证 + + 南 6 求所有的实数 口 ， 6 ， ， d， 一 2 ， 2 ， 使得 f a+b+C +d+e =0， 口 3+b 3 + c 3 +d3+P 3 =0 ， 【 口 5 十b s +c 5 +d s +e 5 =1 0 7 已知数列 I n I 满足 口 1 = ， a + l =口 l 厂 葡， 数列 满 足6 l ： 1 ， + ： 5 6 数学通讯 一 2 0 1 0年第 1期 ( 下半月) 课外园地t ，求证 ： 2
14、n + - l a n 0 ， 且 x y +y z +艇 =1 ， 求证： 5 ( +Y+z ) + 3 x y z 8 ( x y 厩+ y z +z x 册) 解答 提示 1 令 X= c o s 0 ， Y=s i n 0 ， 0 0 ， 2 ) ， 则 暑 = 舞 = n ( 0Y 1 c o s 0 s in O 1 十 号 ) + 1 z 十一 十 一 。 4 。 一f 2 +l ( ) 卜 =譬令 = tanO,lJ xn ta n ( 詈 + 6 ” ) ， X n + 6 = Z n , 2善OO8 z = z - 十 z z + X 3 + 4 =0 选( A) 3 令a ；c c o s 0 ， b =c s in O ， ( 0 ， 詈) n3+ b3十 c 3 一 s i n 3 0 +o D s 3 +1 一 Y 一 一 ( i 望 皇 ) ( 二曼 塾 旦 旦 ) s i n O c o s O 。 令 s in 0 + c o s O = ( 1
