数学美驱动数学发现

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1、6 福建中学数学 2 0 1 7 年第 2 期 C ( 2 )若 A A B C为钝角三角形时，如图 2 ，设垂 心为 ， ， ， D， F四点共圆， H B为外接 圆直径 ，即为 A B DF外接圆直径 ， 由正弦定理知 _ HB S1 n ， JbP 即 D F=H Bs i n B 同理可得 =H As i n A，D E= HCs i n C DE +DF +EF =HCs i nC +l i Bs i nB+HA s i nA H【 二 AB HB AC HA B 2 2 2 E A B ( H F + F C ) + A C ( H E + E B ) + B C ( H D -

2、A D ) ( + ) + ( c + ) + ( c ) 2S A 8 2S R O oOD E十 D F+E F 3 4 3 r 3 2 s 等 由 ( 1 )、 ( 2 )可知定理 3成立 数学美驱动数学发现 张兵源 林运来 1 福建省漳州市普教室 ( 3 6 3 0 0 0 ) 2 福建漳州市厦门大学附属实验中学 ( 3 6 3 1 2 3 ) l问题提出 数学教 育家波利亚说过 ：“ 没有一道题可以解决 得 十全十美 ，总剩下一些工作要做 ，经过充分 的探 讨与研究，总会有点滴的发现，总能改进这个解答， 而且在任何情况下 ，我们都能提高对这个解答 的理 解水平 ” 他打比方说， “

3、在你找到第一个蘑菇 ( 即作 出第一个发现 )后 ，要环顾 四周 ，因为它们总是成 堆 生长的” 一般地，正是源于对数学美的追求，在数学学 习和研究中就会得出“ 重大” 的发现， 这一发现过程使 我们饱尝到数学创造美的甘甜现呈现笔者对一道 质检题结论的联想和推广过程，供参考 2案例呈现 题 目 ( 2 0 1 5年福州质检 理 1 9 )如图 1 ，已知 2 ， 2 1 椭圆r ： + Y= l ( a b 0 ) 的离心率P = 去， 点F ， A a D 分别为椭 圆I 1 的左焦点和右顶点，且 l A F l=3 (I)求椭圆 I 1 的方程 ； ( )过点 F作一条直线 ， 交椭 圆

4、r于 P ， Q两 点 ，点 Q关于 X轴的对称点为 Q 若 P F HA Q ，求 1 证：l l= l A Q I y ， 由第 ( )问的条件 A Q 及结论l P F l= l Q l 可知 ，延长直线 Q 尸与直线 A F交于点 ，则 2 为 A A R Q 的中位线 ，计算得 ( 一 ， 0 ) ，不难发 C 现点 尺恰好是椭圆左准线与 X轴的交点 由于这一结 论 的优美 ，不禁引发笔者产生联想 ，这难道是巧合 吗?是否还有更一般的规律有待我们去发现?这些 问题促使我们去思考、联想 经过探究 ，得到如下 结论 2 ，2 结论 1椭圆I 1 ： + = l ( a b 0 ) 的左焦

5、点、 a D 左准线分别为 F ， ， ， 直线 ， 与 X 轴的交点为 ， 过点 F 的直线 m ( m与 X 不重合)交椭 圆r于 P ， Q两点 ， 点 Q关于 X 轴 的对称点为 Q ，则 R ， P ， Q 三点共线 证 明 设直 线 方程为 X=m y c ( m0 )，且 尸 ( 却 ) ， Q( x ， Y ) ，由于点 Q与 Q 关于 X轴对称，则 2 0 1 7 年第 2 期 福建中学数学 7 Q ( ， 一 J ， ) ，因为椭 圆关于 X 轴对称 ， 易得点 Q 在椭 f =m yc ， 圆 r 上 联 立 1 + ： ，消 去 整理得 ( a + 6 m ) 一 2

6、b m c y b =0， 所以 + = ， 7 2 -一 因为 ( 一 ， 0 ) ， 所以 ：( + ， ) ，R Q ； ( + 一a z ， 一 ) 由于 ( 。 + ) 2 + ( + a L ) ：( 1 一 c + ) 2 +( 2 一 c + ) l ：2 ， l 2+bZ ( 1 + Y 2 ) +等 =0， 所以 ，即R ， P ， Q 三点共线 证明 了上述结论之后 ，在这整齐简单美 的驱使 下，我们进一步思考，问题的结论反过来成立吗? 经过探究得出： 结论 2椭圆F ： + y = l ( a b 0 ) 的左焦点、 a D 左准线分别为 F ， ， ， 与X 轴的交点

7、为R，过点 F的 直线 m ( m与x 轴不重合)交椭圆I 1 于 P ， Q两点， 直线 与 曲线 r的另一交点为 Q ，则点 Q ， Q 关于 轴对称 证明 因为 ( 一 ， O ) ，显然直线 P R与坐标轴不 垂直 ， 设 的方程为 ： 一 0 ) ， 且 P ( 却 ) ， Q ( x 2 ， Y ： ) ，因为点 Q与 Q 关于 X 轴对称 ，则 Q ( X 2 ， - y ： ) ，因为椭圆关于 X 轴对称 ，所以点 Q也在椭 圆I 1 上，只需证明 P ， F ， Q三点共线 联立 a 2 c 消去 ， + _ l ，一 + ， 整理得 ( a z + 6 2 m2 ) z 一

8、 2 m a 2 b 2 +旦 孚： 0 ，C C。 所以 Y + Y 2 = 2 ma 2 b 2 C a o m， 。 = l + J 因为 F( 一 C ， 0 ) ， a 2 b c ( +6 m )。 所以 一F P=( + c ， ) ， = ( 2 + c ， 一 Y 2 ) 因为 ( X 1 + c ) 2 + ( X 2 + c ) 1 ：( 一 旦 二 + c ) + ( 一 旦 二 + c ) C C ：=2 mY l Y 2-b 2 ( Y l +Y 2 ) C =2 m 口 b b 2 ma b c ( + b 2 m )C c ( a + 6 m ) ：0 ， 所以

9、F P ， 即 P ， F， Q三点共线 ， 所以点 Q与 点 Q 关于 X 轴对称 众所周知，双曲线与椭圆都是有心圆锥曲线， 既然椭圆有这样优美的结论，那么，双曲线是否有 这样美好的结论呢?经过试探 ，得到下面的推论 2 1 ， 2 结论 3双曲线r ： 一 ： l ( a 0 ， b 0 ) 的左焦 口 D 点、左准线分别为 F， ， ，直线 ， 与 轴的交点为 ， 过点 F的直线 m ( m与 x不重合) 交双 曲线 r于 P ， Q 两点，点 Q关于 轴 的对称点为 9 ，则 尼尸 ， Q 三点 共线 2 ，2 结论 4双曲线r ： 一 告 = l ( a 0 ， b 0 ) 的 左焦

10、 a D 点、 左准线分别为 F， ， ， ， 与 x 轴 的交点为 ， 过点 F 的直线 m ( m与 轴不重合 )交双曲线 r于 P ， Q两 点 ， 直线 与 曲线 r的另一交点为 Q ， 则点 Q ， Q 关 于 x 轴对称 结论 3 、4可以类比结论 1 、2进行证明，不再 赘述 椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线，一个自 然的想法是，对比椭圆、双曲线，上述的结论对抛 物线还成立吗?经过进一步的探究，得到： 结论 5抛物线Y = 2 p x ( p 0 ) 的焦点和准线分 别为 F ， ， ， 直线 ， 与 轴的交点为 ， 过点 F的直线 m ( m与 x不重合 )交抛物线 r于 P

11、， Q两点 ，点 Q关 于 x 轴 的对称点为 Q ，则 ， P ， Q 三点共线 结论 6抛物线 Y = 2 p x ( p 0 ) 的焦点和准线分 别为 F， ， ， ， 与 轴的交点为 ， 过点 F的直线 m ( m 8 福建中学数学 2 0 1 7 年第 2 期 与X 轴不重合)交抛物线r 于 尸 I Q两点，直线 与 曲线 I 1 的另一交点为 Q ，则点 Q ， Q 关于 X 轴对称 结论 5 、6正是我们所希望的结果 ，上述六个结 论可以统一为两个定理 定理 1圆锥曲线I 1 的焦点和对应准线分别为F ， ， 直线 ， 与曲线 I 1 的对称轴 a的交点为 ，过点 且与直线 a不

12、重合 的直线与曲线 r交于 P ， Q两点 ， 点 Q关于 a的对称点为 Q ，则 ， P 9 三点共线 定理 2圆锥曲线 r的焦点和对应准线分别为 ， ， ， ， 直线 ， 与曲线 r的对称轴 a的交点为 R， 过点 F且 与直线 a不重合的直线与曲线 r交于 Q两点 ， 直线 与 曲线 r的另一交点为 Q ，则点 Q与 Q 关于直 线 a 对称 3教学思考 正是源于对数学对称美和统一美的追求，才发 现 了上述两个定理 这一发现过程使我们认识到 ， 高考、模考中的很多题 目往往具有很强的科学性、 典型性和示范性 ，具有较高 的开发价值 在教学中， 教师引导学生多一点“ 数学探究” ，少一点“

13、 简单灌 输” ；多一点“ 数学智慧” ，少一点“ 机械重复” ，就能 更大范 围地激发学生的数学潜能和学 习兴趣 ，就能 挖掘出这些题 目的潜在功能 ，使其真正展现其活力 与价值 拿到一个数学问题后 ，首先要进行有效的联想， 在前人经验的基础上，自己再尝试去做一做 ( 解答 或证明)、变一变( 变式训练等)、拓一拓 ( 对问 题进行 改进、加强、推广等 )、研一研 ( 深入挖掘 问题的本质)，这样下来，每一个数学问题才会显 得丰满和立体 J 通过对这道质检题结论的联想及推 广这一研究过程 ，使我们认识到 ，简单整齐 的数学 美 ，驱使数学家去试验、观察 ，从而提 出猜想 ，然 后再去证明 数

14、学 中许多定理、规律都是这样得到 的 通过数学教学 的再发现过程 ，可以有效地培养 我们的数学审美能力 参考文献 1 陈汉波 ，杨春波一道不等式问题的探源、证明与推广 J 数学通讯 ( 上半月)，2 0 1 4( 1 0 )：4 0 4 1 2 徐本顺 ， 殷启正 数学中的美学方法 M 大连 ： 大连理工大学出版社 ， 2 0 0 8 ( 本文是 2 0 1 6 年度福建省基础教育课程教学研究课题 全国卷背景下数 学高考高效复习方式的探索与研究 ( 编号 MJ YK T 2 0 1 6 1 9 4 )的阶段性 研究成果) 创造性思维作业的设计 叶耀星 福建省福安市城北中学 ( 3 5 5 0

15、0 0 ) 创造性思维是一种有创见 的思维，它是人类 的 高级思维活动 创造性思维的结果 ，往往会发现新 的规 律 ，新 的方法 或新的科学 ，随着科学技术 的迅 猛发展和人才培养 的需要 ，现代数学教育越来越重 视对 学生创造性 思维能力的培养 只有从作为基础 教 育的中小学就开始抓创造性思维能力 的培养 ，将 来才能从他们中涌现 出大批创新型人才 创造性思 维能力可通 过各种不 同方式来实施 ，其 中创造性思 维作业是一种简便可行的方法，教师可依据有关创 造性思维教 学的策 略，设计各种创造性思维的作业， 供学生训练，这样有助于学生提高其学业成绩及创 造性思维能力 所谓“ 创造性思维作业” ， 就广义来说是指教师针 对课程需要 ，根据学生程度 ，指定学生在课 内外从 事具有创造性