第七章非线性系统的分析

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1、自 动 控 制 理 论方 炜安徽工业大学 电气信息学院第七章 非线性系统的分析本章的主要内容12描述函数法3典型非线性特性的描述函数4非线性系统的基本概念二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析非线性系统的谐波平衡法分析57-1 7-1 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念一、非线性系统基本概念一、非线性系统基本概念系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线 性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情 况 （1）系统中存在非线性元件；（2）为了某种控 制目的，人为引进的非线性。非线性系统与线性系统的区别1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于 系统的结构、参

2、数，而和系统的初始状态无关。非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于 系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外 界作用，也可能会发生自持振荡。3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。线性控制系统线性控制系统：由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线

3、性由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性 微分方程描述。微分方程描述。非线性控制系统：非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，由 非线性微分方程描述。非线性微分方程描述。 非本质非线性非本质非线性: :能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。本质非线性本质非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性。用小偏差线性化方法不能解决的非线性。二、典型非线性特性二、典型非线性特性特征特征：当输入信号超出其线性范当输入信号超出其线性范 围后，输出信号不再随输入信号围后，输出信号不再随

4、输入信号 变化而保持恒定。变化而保持恒定。输入输入输出输出放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、 功率限制等等。功率限制等等。1 1、饱和特性、饱和特性饱和特性对系统性能的影响饱和特性对系统性能的影响 （1 1）使系统在大信号作用下开环增益下降，对动态）使系统在大信号作用下开环增益下降，对动态 响应的平稳性有利。响应的平稳性有利。 （2 2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降输入输入输出输出2 2、死区特性、死区特性 （不灵敏区特性）（不灵敏区特性）特征：特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输当

5、输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等 等。等。 死区特性对系统性能的影响：死区特性对系统性能的影响： （1 1）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。）增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。 （2 2）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳）减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳 性，减弱动态响应的振荡倾向性，减弱动态响应的振荡倾向输输出出输入输入3 3、间隙特性、间隙特性 输入输出之间具有

6、多值关系输入输出之间具有多值关系齿轮传动中的齿隙齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙液压传动中的油隙间隙特性对系统性能的影响：间隙特性对系统性能的影响：间隙间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏输输入入输输出出输输出出输输入入输输出出输输入入输输出出输输入入4 4、继电器特性、继电器特性理想继电器理想继电器 具有饱和死区的具有饱和死区的 单值继电器单值继电器具有滞环的继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特包含有死区、饱和、滞环特 性性具有死区和滞环的继电器的数学表达式具有死区和滞环的继电器的数学

7、表达式继电器特性对系统性能的影响继电器特性对系统性能的影响带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其 他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的 综合效果综合效果三、非线性系统的特点三、非线性系统的特点、系统的稳定性、系统的稳定性、系统的自持振荡、系统的自持振荡、频率响应畸变、频率响应畸变、系统共振、系统共振系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与 初始状态有关。初始状态有关。产生某一固定振幅和频率的振荡产生某一固定振幅和频率的振荡输入为正弦函数时

8、，输出为包含一定数量的高次谐波输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波 的非正弦周期函数，还可能出现跳跃振荡、倍频和分频振的非正弦周期函数，还可能出现跳跃振荡、倍频和分频振 荡等。荡等。不会产生线性系统那样的共振现象不会产生线性系统那样的共振现象四、非线性系统的分析方法四、非线性系统的分析方法1、相平面法 时域方法2、描述函数法 频域方法7-2 7-2 相平面分析法相平面分析法相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准相平面法是一种通过图解法求解二阶非线性系统的准 确方法。确方法。相平面法是一种时域分析方法。设非线性系统框图如图所 示，其中N表示非线性环节，G(S)是线性部分的传递函

9、数。用相平面法分析非线性系统，线性部分传递函数G(S) 必须是二阶。描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方 程描述：程描述：以以x x1 1为横轴，以为横轴，以x x2 2为纵轴的二维状态平面称为为纵轴的二维状态平面称为相平面相平面。当当 t t 变化时，变化时，x x1 1( (t t) )对于对于x x2 2( (t t) )在相平面上形成的运动在相平面上形成的运动 轨迹称为相平面轨迹，简称轨迹称为相平面轨迹，简称相轨迹相轨迹。相轨迹的斜率为不定值的点称为相轨迹的斜率为不定值的点称为奇点奇点。奇点也必然是平。奇点也必然是平 衡点。衡点。

10、线性二阶系统的齐次微分方程为：相平面图是在 平面中，绘制 随时间t 变化的轨迹 ，称为相轨迹。相轨迹的起点是 。奇点是指 的点。根据奇点附近相轨迹的特征，奇点有不同名称，据此可判断系统运动的性质。一、线性二阶系统奇点的类型1、无阻尼运动二阶系统的极点分布和相平面图如下无阻尼运动时，二阶系统的相平面图是一族同心椭圆，每个 椭圆代表一个简谐运动。这样的奇点称为中心点。2、欠阻尼运动系统的自由运动是衰减振荡。相轨迹是对数螺旋线，收敛于 原点。奇点称为稳定焦点。3、过阻尼运动系统的自由运动是非周期地趋向于原点。相轨迹是趋于原点 的抛物线，原点是奇点，称为稳定节点。4、系统的自由运动是发散振荡。相轨迹是

11、以原点出发的螺旋线 ，原点处的奇点称为不稳定焦点。5、系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。6、 是对称于原点的实轴系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。二、非线性系统的相平面分析借助Matlab等软件工具可以方便地绘制非线性系统的相平面 图。例1：有死区继电器非线性的系统框图如下系统线性部分的传递函数 ，该二阶系统的无阻尼自然振荡角频率 ，阻尼比 ，根据前面对奇点的分类，可知为稳定焦点。继电器的输入输出关系为在 平面，根据继电器的 非线性特性，可分为三个区域，设初始状态 ， ，绘制

12、相轨迹如图所示，(设r=3)根据系统的相轨迹，可对 系统的性能分析如下：2、相轨迹最后没有到达原点，即 ，说明系统在阶跃信号输入下，存 在稳态误差，引起稳态误差 的原因是死区继电器特性。 系统线性部分的传递函数表 明，系统是型系统，对阶 跃响应的稳态误差应为0，可 见死区继电器非线性对稳态 精度的影响。1、系统的相轨迹收敛于A点 ，是稳定的，奇点为稳定焦 点。e是单调衰减的。例2：非线性系统框图如下其中继电器回环特性的参数M=0.2，a=0.2。系统的线性部分是欠阻尼情况，奇点是稳定焦点。非线性环节 的输入输出关系为y M 或M 或根据上述关系，可将 平面分为二个区域。分别绘制初 始状态分别为

13、 和 的两条相轨迹。从图知，无论从哪一组初始条件出发，相轨迹均收敛于极限 环，这是一个稳定的极限环，意味着系统产生自持振荡。一般不希望系统有自持振荡。当振荡难以消除时，应尽 量将振荡限制在一个较小的、可以接收的范围内。实际上， 对于此系统，通过减少继电器回环的宽度a，可减小振荡。描述函数是非线性特性的一种线性近似表示描述函数是非线性特性的一种线性近似表示 。用描述函数后，非线性系统可近似视为线性系用描述函数后，非线性系统可近似视为线性系 统，用线性系统理论去分析，甚至设计。统，用线性系统理论去分析，甚至设计。7-3 7-3 非线性特性的一种线性近似表示非线性特性的一种线性近似表示描述函数描述函

14、数考虑一非线性环节考虑一非线性环节N N，其输入为，其输入为x x( (t t) )，输出为，输出为n n( (t t) )。描述函数法：。描述函数法：找出一个线性函数找出一个线性函数 y y( (t t) )去逼去逼 近近n n( (t t) )，并且要求按照均方误差最小的准则衡量，并且要求按照均方误差最小的准则衡量 ，这种逼近是最佳的。，这种逼近是最佳的。一、描述函数的基本概念针对一任意非线性系统，设输入针对一任意非线性系统，设输入 x x = =X Xsinsint t ，输出为，输出为n n( (t t) ) ，则可以将，则可以将n n( (t t) )表示为傅立叶级数形式：表示为傅立

15、叶级数形式：如果非线性环节如果非线性环节N N 的特性是对称的，则的特性是对称的，则A A0 0= =0 0。非线性特性的线性化表示方法：非线性特性的线性化表示方法：以输出以输出n n( (t t) )的基波分的基波分 量近似地代替整个输出。量近似地代替整个输出。亦即略去输出的高次谐波，将输亦即略去输出的高次谐波，将输 出表示为出表示为一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近 似处理提供了可靠的物理基础。似处理提供了可靠的物理基础。描述函数：描述函数：输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量 的复数比。的复数比。输入：输入： x x( (t t) ) = =X Xsinsintt输出的基波分量：输出的基波分量：描述函数：描述函数： 描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与X在幅值和相位上的关系。二、典型非线性特性的描述函数1、死区非线性的描述函数2、理想继电器非线性的描述函数系统开环部分可分离为：非线性环节非线性环节N N( (A A) ) 线性部分线性部分G G( (s s) )非线性特性的非线性特性的描述函数描述函数表示了正弦输入信号作用表示了正弦输入信号