《2001数学一》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2001数学一（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2001 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析理工数学一试题详解及评析 一、 填空题一、 填空题 (1)设()12sincosxyecxcx=+（12,c c为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的同解，则该方程为 . 【答】 220yyy+=. 【详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为1,21 i= ，从而特征方程为()()1,i+ ()()21220,i=+=于是所求方程为220yyy+=. 方法二 将已知解代入0ybycy+=，得 ()()()()12121221sin2cos2xxexb cccccexb ccccc+.由于sinxe
2、x与cosxex线性无关，故()()121212212,2b ccccc b ccccc+=+= ，解得2,2bc= = 显然解法 2 较解法 1 麻烦. 方法三、方法三、由通解()12sincosxyecxcx=+，求得 ()()()() 1212 21sincos2sin2cosxxyeccxccxyecxcx=+=+从这三个式子消去1c与2c，得220yyy+= （2）设222,rxyz=+则()()1, 2,2|div gradr = . 【答】 2.3【详解】 根据定义有 ()2222222333322rrrxyzgradrijkijkxyzrrrxyz rxryrzrrrrdiv
3、gradrxyzrrrrr=+=+=+=+=于是 ()()()1, 2,222222 3122|div gradr= + +(3)交换二次积分的积分次序：()0112,ydyf x y dx=. 【答】 ()2110,xdxf x y dy. 【详解】 因为 ()()01021211,yydyf x y dxdyf x y dx= 积分区域为 (),| 10,12 ,Dx yyyx= 又可将D改写为 (),|12,12 ,Dx yxxy= 于是有 ()()()()010220121112110,yyxxdyf x y dxdyf x y dxdxf x y dydxf x y dy= = =(
4、4)设矩阵A满足24AAEO+=,其中E为单位矩阵，则()1AE . 【答】 ()122AE+. 【答】 由题设，24AAEO+=， 有 222AAEE+=， ()()22 ,AEAEE+= 也即 ()()12,2AEAEE+= 故 ()1AE()122AE+ （5）设随机变量X的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计()2P XE X . 【答】 1 2. 【详解】 根据切比雪夫不等式有 ()()21222D XP XE X= 二、选择题二、选择题 （1）设函数( )f x在定义域内可导，( )yf x=的图形如右图所示，则导函数( )yfx=的图形为 【 】 【答】应选（D） 【详解】 从
5、题设图形可见， 在y轴的左侧， 曲线( )yf x=是严格单调增加的， 因此当0x 对应( )yfx=图形必在x轴的上方，由此可排除（A） ， （C） ； 又( )yf x=的图形在y轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数( )yfx=图形在y轴一定有两个零点，进一步可排除（B）. 故正确答案为（D）. （2）设函数(),f x y在点()0,0附近有定义，且()()0,03,0,01xyff=，则 （A）()0,03.|dzdxdy=+ （B）曲面(),zf x y=在点()()0,0,0,0f的法向量为3,1,1 （C）曲线(), 0zf x y y =在点()()0,0,0,0
6、f的切向量为1,0,3 （D）曲线(), 0zf x y y =在点()()0,0,0,0f的切向量为3,0,1 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A） ； 至于（B） ， （C）,(D)则需要通过具体的计算才能进行区分， 令()(), ,F x y zzf x y=，则有 ,1xxyyzFfFfF= = = 因此过点()()0,0,0,0f的法向量为3, 1,1 ，可排除（B） ； 曲线点(), 0zf x yy =可表示为参数形式： ()0,0xx yzf x= = =，其中点()()0,0,0,0f的切向量为()1,0,0,0
7、1,0,3xf= 故正确选项为（C）. （3）设( )00f=，则( )f x在点0x =可导的充要条件为 （A）()201lim1 cosh hfh存在. （B）()01lim1hhfeh存在. （C）()201limsinh hf hh存在. （D）()( ) 01lim2h hff hh存在 【 】 【答】 应选（B）. 【详解】 因为 ()( ) ()001lim11limln 1hhhxf xxfeexhxx=可见， 若( )f x在点0x =可导， 则极限()01lim1hhfeh一定存在； 反过来， 若()01lim1hhfeh存在，则 ( )()()00011lim1limli
8、m1hh h hxhhfefef xhxexheh= = 存在，即( )f x在点0x =可导，因此正确选项为（B）. 至于（A） ， （C）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如，( ),f xx=在0x =处不可导，但 ()()2220002230001 cosh11 cosh1lim1 coshlimlim2 sinh11 sinhlimsinhlimlim0hhhhhhfhhh hf hhhhh=均存在，可排除（A） 、 （C）. 又如( )1,0 0,0xf xx=在0x =处不可导，但 ()( )0011 1lim2hlim0 hhff hhh=存在，进一步可排除（
9、D）. （4）设1 1 1 14000 1 1 1 10000,1 1 1 10000 1 1 1 10000AB = ，则A与B （A）合同且相似 （B）合同但不相似 （C）不合同但相似 （D）不合同且不相似 【 】 【答】 应选(A) 【详解】 因为 A是实对称矩阵，且其特征值为：12344,0,=故存在正交矩阵,Q使得 14000 0000 0000 0000TQ AQQ AQ = 可见，则A与B既合同又相似. (5)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于 （A）-1 （B）0 （C）1 2（D）1 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 设
10、X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则有YnX=，因此X和Y的相关系数为1r = 三、三、求2arctanxxedxe【详解】 ()()()2 22 222arctan1arctan21arctan211arctanarctan2x xx xx xx xxxxxxedxe d eedeeeeeeeeeC= = += +四、四、设函数(),zf x y=在点()1,1处可微，且 ()()()( )()()1,11,11,11,2,3,.|fffxf x f x xxy=求( )31|xdxdx=【详解】 由题设，有 ( )()()()11,1,11,11,fff= ( )( )( )( )(
11、)()()()()()()()32112133,3 123 2351|xxxyxyxdxdxxdxdxxfx f x xfx f x xfx xfx x= =+ = +=五、五、 设( )21arctan ,01,0xx xf xx x += =， 试将( )f x展开成x的幂级数， 并求级数()2 11 14nnn= 的和. 【详解】 因()()2 2 111,1,11nnnxxx= +故 ()()21011arctanarctan,1,121n xnnxx dxxxn += +于是 ( )()()()()()21221122112111121211112121211,1,121nnnnnn
12、nnnnnnn nnf xxxnnxxnnxxn += += += + +因此 ()( )2 111111.1 4242nnfn=六、六、计算()()()22222223 LIyz dxzxdyxydz=+ ?，其中L是平面2xyz+=与柱面1xy+=的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向. 【详解 1】记S为平面2xyz+=上L所围成部分的上侧，D为S在xOy坐标面上的投影.由斯托克斯公式得 ()()()()()24262624233261224.SSDDIyz dydzzx dzdxxy dxdyxyz dSxydxdydxdy=+ + = += += = 【详解 2】转换投影法.用斯托克
13、斯公式，取平面2xyz+=被L所围成的部分为S，按斯托 克 斯 公 式 的 规 定 ， 它 的 方 向 向 上 ，S在xOy平 面 上 的 投 影 域 记 为(),|1 .D Dx yxy=+S为2,1,1,zzzxyxy= = 于是 ()()()()()()()()2222222324262624 , 26 , 22,12423261224LSSSDDIyz dxzxdyxydzyz dydzzx dzdxxy dxdyzzyzzxxydxdyxyxyz dxdyxydxdydxdy=+=+ + = = += += = ?其中()000DDDxy dxdyxdxdyydxdy= =，用得性质
14、：x为x得奇函数，D对称于y轴；y为y的奇函数，D对称于x轴；积分均应为零. 【详解 3】 降维法，取S如解法 1 中定义，代入I中， ()()()()()()()()()()1122222222222223444443288882624LLDIyxydxxyxdyxydxdyyxxyxydxyxxyxydyxydxdy=+=+= ? ?格林公式其中，1L为L在xOy平面上投影，逆时针. 【详解 4】 逐个投影法，由斯托克斯公式 ()()12422,SDIyz dydzyz dydz=+其中(),| 21 ,yzDy zyzy=+分别令0,0,20,20,yyyzyz可得到yzD的 4 条边的方程： 右：2
