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1、习题四 4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动： (1)拍皮球时球的运动； (2)如题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短) 题4-1图 解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一 ，描述系统的各种参量，如 质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统 是在 自己的稳定平衡位置 附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用 或者说，若一个系 统的运动微分方程能用 0dd2 22 =+ t描述时，其所作的运动就是谐振动 (1)拍皮球时球的运动不是谐振动第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平
2、衡位 置； 第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都 不是线 性回复力 (2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动显然，小球在运动过 程中 ，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为sinmg，如题4-1图(b)所示题 中所述，SR，故RS=0，所以回复力为mg.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性 的若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律， 在凹槽切线方向上有 mg
3、tmR=22dd令Rg=2，则有 0dd2 22 =+ t4-2 劲度系数为1k和2k的两根弹簧，与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期 题4-2图 解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21FFF=，设串联弹簧的等效倔强系数为串K等效位移为x，则有 111xkFxkF=串222xkF= 又有 21xxx+= 2211 kF kF kFx+=串所以串联弹簧的等效倔强系数为 2121 kkkkk+=串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121kkkkk+=的弹簧振子系统，故小球作谐振动其振动周期为 21
4、21)(222 kkkkm kmT+=串(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21FFF=，即21xxx=，设并联弹簧的倔强系数为并k，则有 2211xkxkxk+=并故 21kkk+=并同上理，其振动周期为 212kkmT+= 4-3 如题4-3图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为，弹 簧的倔强系数为k，滑轮的转动惯量为I，半径为R先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期 题4-3图 解：分别以物体m和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位 置为坐标原点，沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原
5、点的坐标为x时，有 221ddsintxmTmg= IRTRT=21 Rtx=22dd)(02xxkT+= 式中kmgx/sin0=，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有 kxRtx RImR=+22dd)( 令 ImRkR +=22 2 则有 0dd2 22 =+xtx 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 )/2(22222KRIm kRImRT+=+=4-4 质量为kg10103的小球与轻弹簧组成的系统， 按)SI()328cos(1 . 0+=x的规律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置
6、上动能与势能相等? (3)s52=t与s 11=t两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0+=tAx，则知： 3/2, s412,8,m1 . 00=TA 又 8 . 0=Avm1sm 51. 2=1sm 2 .632=Aam2sm (2) N63. 0=mmaF J1016. 32122=mmvE J1058. 1212=EEEkp 当pkEE =时，有pEE2=， 即 )21(21 2122kAkx= m202 22=Ax (3) 32) 15(8)(12=tt 4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数 表示如果0=t时质点的状
7、态分别是： (1)Ax=0； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过2Ax =处向负向运动； (4)过2Ax=处向正向运动 试求出相应的初位相，并写出振动方程 解：因为 =0000 sincos AvAx将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相故有 )2cos(1+=tTAx )232cos(232+=tTAx )32cos(33+=tTAx )452cos(454+=tTAx 4-6 一质量为kg10103的物体作谐振动，振幅为cm24，周期为s0 . 4，当0=t时位移为cm24+求： (1)s5 . 0=t时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位
8、置运动到cm12=x处所需的最短时间； (3)在cm12=x处物体的总能量 解：由题已知 s0 . 4,m10242=TA 1srad5 . 02=T又，0=t时，0,00=+=Ax 故振动方程为 m)5 . 0cos(10242tx= (1)将s5 . 0=t代入得 0.17mm)5 . 0cos(10242 5 . 0=tx N102 . 417. 0)2(10103232=xmmaF方向指向坐标原点，即沿x轴负向 (2)由题知，0=t时，00=， tt =时 3, 0,20=TAvx又 即 1srad2=T故 m)23cos(1 . 0+=txa 由题4-8图(b)0=t时，35, 0,
9、2000=vAx 01=t时，22, 0, 0111+=vx 又 25 3511=+= 65= 故 mtxb)35 65cos(1 . 0+= 4-9 一轻弹簧的倔强系数为k，其下端悬有一质量为M的盘子现有一质量为m的物体 从离盘底h高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动 (1)此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同? (2)此时的振动振幅多大? (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并 写出物体与盘子的振动方程 解：(1)空盘的振动周期为kM2，落下重物后振动周期为kmM +2，即增大 (2)按(3)所设坐标原点及计时起点，0=
10、t时，则kmgx=0碰撞时，以Mm,为一系统动量守恒，即 0)(2vMmghm+= 则有 Mmghmv+=20于是 gMmkh kmgMmghm kmgvxA)(21)(2()()(22 2202 0+=+=+=（3）gmMkh xv )(2tan00 0+= (第三象限)，所以振动方程为 +=gmMkhtMmk gMmkh kmgx)(2arctancos)(21 4-10 有一单摆，摆长m0 . 1=l，摆球质量kg10103=m，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14smkg100 . 1=tF，取打击时刻为计时起点)0( =t，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程
11、解：由动量定理，有 0=mvtF 1 - 34 sm01. 0100 . 1100 . 1=mtFv 按题设计时起点，并设向右为x轴正向，则知0=t时，1 00sm01. 0, 0=vx 0 2/30= 又 1srad13. 30 . 1 8 . 9=lg m102 . 313. 301. 0)(30202 0=+=vvxA 故其角振幅 rad102 . 33=lA小球的振动方程为 rad)2313. 3cos(102 . 33+=t 4-11 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m20. 0，位相与第一振动的位相差为6，已知第一振动的振幅为m173. 0，求第二个振动的振幅以及
12、第一、第二两振动的位相差 题4-11图 解：由题意可做出旋转矢量图如下 由图知 01. 02/32 . 0173. 02)2 . 0()173. 0(30cos222122 12 2=+=+=AAAAA m1 . 02=A 设角为OAA1，则 cos2212 22 12AAAAA+= 即 01 . 0173. 02 )02. 0() 1 . 0()173. 0( 2cos2222122 22 1=+=+=AAAAA即2=，这说明，1A与2A间夹角为2，即二振动的位相差为2. 4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： (1) +=+=cm)373cos(5cm)33c
13、os(521 txtx(2) +=+=cm)343cos(5cm)33cos(521 txtx解： (1) ,233712= 合振幅 cm1021=+=AAA (2) ,334= 合振幅 0=A 4-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 =+=m)652cos(3 . 0m)62cos(4 . 021txtx试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解： =)65(6 m1 . 021=AAA合 3365cos3 . 06cos4 . 065sin3 . 06sin4 . 0coscossinsintan22122211= + =+=AAAA 6= 其振动方程为 m)62cos(1 . 0+=tx (作图法略) *4-1
