非可积方程理论

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1、非可积方程理论非可积方程理论 物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述。对于非可积方程，反散射理论不 再适用，孤立子摄动理论一般也不怎么有效。在此，我们讨论非可积方程的数学理论。 非可积方程的研究在最近 20 年来有了长足的发展。人们发现，在非可积方程中孤立波可以不 稳定。稳定的孤立波可以有 internal modes。这些 modes 引起孤立波形状的长时间的振动。孤 立波的碰撞可以非常复杂（远非弹性碰撞） 。孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内 （embedded solitons） 。在 2+1 位情形，孤立波可以在横向（transverse direction）出现不稳定 性，

2、并且可以出现 critical collapse 现象。最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可 积方程刻画，并且其解（如孤立波稳定性等）也出现了很多新的有趣的现象。 下面我们用模型方程 2()0(1)zxxiuuF uu+= 来发展非可积方程理论（这里(0)0F=） 。此方程描述光孤立波在非 Kerr 介质里的传播行为。在一般情形下，此方程不可积。它有三个守恒量：质量 P，动量 M，和 Hamiltonian H： 2*22(2)()()(4xxxPu dxMiu uu u dxHuG udx (3)这里。 ( )( )G yF y=1 孤立波的解析表达式孤立波的解析表达式 对于一个非线

3、性波动方程，我们常常从它的孤立波入手。对于方程(1)，它的静止的孤立 波形式为 ( , )( ; )(5)i zu x zxe= 这里( ; )x为一实函数，0 as x ，为传播常数。 注意方程(1)具有 Galilean（伽利略）不变形，即从它的静止的孤立波通过 Galilean 变换我们可以得到运动的孤立波： 211vv24( , )(v ;)(6)i xiz i zmovingux zxze+= 在一些具体情形下，解( ; )x有显式的解析表达式。比如，考虑函数 22()(7F uuu=+) 在此情形下，当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次，我们得到 1 2222(1)2(8)

4、21d dx+= +这里积分常数已由条件0x xd dx= =消掉。方程(8)可以由变量代换y=求解。其解为： 1( ;)(9)coshAxBDx=+这里(2)BA +=，D=，1 222(2)sgn( ) 1(1)B +=+，而为自由参数。 当1=，0=和2=时，解(9)退化为一般代数孤立波（algebraic solitons） ： 122222(2)(1)/( )(11)(1)(2)/aluxx +=+此孤立波在x = 处以 power law 衰减：2 ( )aluxx。 2 孤立波的线性稳定性和孤立波的线性稳定性和 internal modes。 在可积方程里，孤立子一般是稳定的。实

5、际上，它们不光稳定，连碰撞后也保持形状不 变。但在非可积方程中，孤立波不见得稳定，更不用提弹性碰撞了。即使非可积方程中的孤 立波是稳定的， 其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值 （即所谓的 internal modes） 。 而这些 internal modes，在可积方程是没有的。Internal modes 的存在对孤立波在扰动下的发展 及孤立波的碰撞都有重大影响。这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及 internal modes 的产生机制。 为讨论孤立波的线性稳定性，我们对孤立波(5)做微小扰动， *( , )( ;)v( )w( )v ( )w ( )(12)i zi

6、zi zu x zxxx exx ee= + 这里v(。当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化，我们得到特征值问题 ), w( )1xx?(13)LYY= 这里 012 2 022 222 12v(14)w0(15)0()(16)()2()(17)YLLLdLFdx dLFFdx= += + 算子 L 的特征值具有一个简单对称性：如果为一特征值，则*,*也都为特征值。因此 L 的特征值总是成对或者成四出现的。另外，0=总是 L 的离散特征值，并且此 零特征值的几何重数为 2，代数重数为 4。其对应的两个特征函数为： 210, 0ddYYx=(18) 两个广义特征函数为： 1201,(19)10

7、2aaxYY=并且 1122,(20)adadLYYLYY= 这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置，相位，振幅和速度的任意性有必然的关系。 算子 L 的连续谱很容易从x 的极限下得到。其连续谱为,? L 的离散谱一般包括如下三类特征值 ? 为非零实数（internal modes） ? 为纯虚数（指数不稳定性） ? 为复数（实部与虚部均非零） （振动不稳定性） 但对于方程(1)来说，我们实际上可以证明只能为实数或纯虚数。为证明这一点，我们 首先将其线性化方程(13)写为如下形式： 2 01vv(2L L=1) 注意到算子有如下分解 0L0(22)LL L+= ( )(23)( )dxLd

8、xx= +因此特征值问题(21)可以用变量代换vL v+=?表述为 2 1vv(2L L L+=?4) 显然L与L+互为 Hermitian，即。因此()LL+=1L L L+为 Hermitian 算子，从而其特征值2必须为实数，也就是说必须为纯实数或纯虚数。 下面我们先考虑为纯实数（internal modes）的情形。容易知道，可积的 NLS 方程中孤 立子的线性化算子是没有 internal modes 的。那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有 internal modes 呢？如果会，这些 modes 是从哪里来的呢？ 为回答这些问题，我们考虑扰动的 NLS 方程并令 222()(

9、)(18F uuf u=+) 这里1?为一小参数。扰动后的孤立波为： 2 01( ;)( ;)( ;)()(19)xxxo= + + 其中0( ;)2sech(20)xx=，为 NLS 孤立子。 校正项1( ; )x有以下方程得到： 22 1101003()xxf + = (21) 特征值问题(13)至( )O可展开为： (0)(1)()(22)LLYY+= 这里(0)L为 NLS 孤立子的线性化算子，(1)L为一阶矫正项， (0)(1) (0)(1)00 (0)(1) 1100,(00LLLLLL=23) 2 (0)2 0022 (0)2 102(1)2 0001(1)222 100001(

10、24)3()2(26)()2()6(27)dLdx dLdx LfLff= += + = = 25) 当0=时，特征值问题(22)为 NLS 孤立子线性化算子(0)L的谱问题，因此是完全可以求解的。其谱结构为： 离散特征值：0= 离散特征函数： 12000, 0ddYYx=(28) 广义离散特征函数： 120 001,(29)102aaxYY=本征关系： 121122(0)(0)(0)(0)0(30),(ddadadL YL YL YYL YY=31)连续特征值： 2(),kk= + 0=时，=， ( ;0)( ),( ;0)(0)(0)0(45)nnkkk+= 若0?1，从方程(39)可以看

11、出 1 222( ,0)( ; ),( ; )( ),( )( ),( )( )(46)nnKkkkOOOkh + + + 注意方程(43)中积分的第一项在ki h= 处有简单奇点。利用复积分方法，我们发现在 0的极限下，方程(43)变为 1( )(0)( ,0)(47)4akaKkh += 为了使此公式自相容，参数 h 必须为 (1) 111sgn( )(0,0)sgn( )( ;0),( ,0)(48)44hKYxL Yx+= = 并且。以上公式表明，internal modes 产生的条件是公式(48)的右端量为正数。在此 条件下，internal modes 特征值由公式(44)及(4

12、8)给出。 0h 0ii0=0时 internal modes 的产生 internal modes 碰撞产 生的指数不稳定性 时 L 的谱结构 下面我们考虑一个例子，即三阶与五阶非线性的情形。这时 24()f uu=。 经过简单计算，我们得到： 3 2 13cosh(2)2 2( ;)(50)3cosh ()xxx= 而 21 2sech ()( ,0)(51)1xYx+= 因而公式(48)给出 h 为 3 28sgn( )(52)9h= 这说明当0时，internal modes 存在，其公式为 223641()81O =+(53) 附图 1. Internal modes 数值与解析公式的比较。 （待做） Internal-modes 的存在与否对摄动解演化的影响的存在与否对摄动解演化的影响： (a)0.2,1:=internal modes 存在 (b) 0.1,1:= =internal modes 不存在 初始扰动： ( ,0)1.2( ;)u xx=, i.e., 20% 扰动