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1、严谨 求实 勤奋 创新随机事件,概率定义11写出下列随机试验的样本空间S （1）同时掷两枚骰子，记录两枚骰子的点数 之和； （2） 某篮球运动员投篮时， 连续 5 次都命中， 观察其投篮次数； （3）观察某医院一天内前来就诊的人数；（4）在长为l的线段上任取一点，该点将线 段分成两段，观察两线段的长度； （5） 观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于1T，最高气温不高于2T） 。(1)12,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2=S；(2)10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5?，=S；(3), 3 , 2 , 1 , 0?=S；(4),
2、0, 0),( lyxyxyxS=+=；(5),( 21TyxTyxS = axaxeCxfx求：（1）系数C解：由1)(=+dxxf得1=+axdxeC1=+ axeC，aeC=（2）11+XP，试确定常数ba,并计算.21 41 XP，得85)(121=+dxbax即85 238=+ba，亦即543=+ba由，解得211=ba，。=00031 )(3xxexfx31131311=edxeXPx ，132 3323132= 其它,01000,1000 )(2xxxf现有一大批这种电子管（设各电子管损坏与 否相互独立） ，从中任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？解：32
3、10001500 15002=+dxxXP至少有2只寿命大于1500小时的概率是411 5501 5)31()32()31()32(1CCp=243232 310 31155=15设随机变量X的概率密度为XP，3XP；212=XPXP232 23 2321=XP6977. 0)5 . 2()5 . 0(1=5 . 03=XP(3)确定常数c，使得cXPcXP=由cXPcXP=得1cXPcXP=21= cXP3=c18设随机变量), 2(2NX并且 3 . 042=y时，)(22yYPyFY=lnlnyXPyXPyePX=00021 )(2ln22 yyeyyfyY(3)当0y时，0)( 3=y
4、FY0y时，)(33yYPyFY=2yXyPyXP=)()(yFyFXX=求导，得yyfyyfyfXXY21)(21)()( 3+=于是有 =00021 )(22 yyeyyfyY严谨 求实 勤奋 创新随机变量的函数分布13严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量141在一箱子中装有12只开关，其中2只是 次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑 两种试验： （1）放回抽样， （2）不放回抽样。 现定义随机变量YX,如下：=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品 , 1, 0X=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品, 1, 0Y试分别就（1） 、 （2）两种情况，写出X和Y 的联合分布律（用表格
5、来表示） （1）（2）2设随机变量),(YX的分布函数为+=其它。, 00, 0,2221),(yxyxFyxyx求53 , 21+= 1, 01, )1 (),(222222yxyxyxAyxf求(1)系数A；解：由 += -1),(dxdyyxf得=20101)1 (dAd1)31 21(2=A解得3=A(2),(YX落在4122+yx内的概率。+=4122),(),(yxdxdyyxfGYXP=20210)1 (3dd21)241 81(23= 5已知随机变量X和Y的联合概率密度为() =+其它）,000, 2 ,2(yxe yxfyx（1）求分布函数()y, xF； （2）XYP。解：
6、=yxdyyxfdxyxF),(),(=其他00, 0)1)(1 (2yxeeyx（2）XYP =xydxdyyxf),(+= 00)2(2xyxdyedx+= 02)1 (2dxeexx 31 321=6二维随机变量),(YX的分布律为XY12310.010.020.0720.030.060.2130.060.120.42（1）求X与Y的边缘分布律；（2）X与Y是否相互独立。 由 ,jijiyYPxXPyYxXP= 3 , 2 , 13 , 2 , 1=ji；知，X与Y是相互独立的。7如果二维随机变量),(YX的分布律为31 181 91 61) 3 , 2() 2 , 2() 1 , 2
7、() 3 , 1 () 2 , 1 () 1 , 1 (),(ijpYX问,取什么值时，YX,才能相互独立？由独立性有91)91(31=+，得92=181)181(31=+，得91=严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量168设二维随机变量),(YX的概率密度为=., 0,0 , 10),2(8 . 4),(其它xyxxyyxf求边缘概率密度。 +=dyyxfxfX),()(=其他010)2(8 . 4 0xdyxyx= 其他010)2(4 . 22xxx+=dxyxfyfY),()(=其他010)2(8 . 41ydxxy y+= 其他010)34(4 . 22yyyy9设二维随机变量),(YX
8、的概率密度为+= 222222 2, 0,1),( RyxRyxRyxf试求边缘概率密度。 +=dyyxfxfX),()( = =+RxRxRxRRxRxdyRxRxR020122222222+=dxyxfyfY),()( = =+RyRyRyRRyRydxRyRyR02012222222210 设随机变量),(YX在三角形区域G上服从均匀分布，这里G由x轴、y轴及直线 12=+ yx所围成。试求：（1）),(YX的联合概率密度；= 其他0),(4),(Gyxyxf（2）),(YX的边缘概率密度；+=dyyxfxfX),()(=其他02104210xdyx=其他0210)21 (4xx+=dx
9、yxfyfY),()(=其他0104210ydxy= 其他010)1 (2xy（3）X与Y是否相互独立？=其他010 ,210)1)(21 (8)()(yxyxyfxfYX由于)()(),(yfxfyxfYX所以X与Y不是否相互独立的严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量1711设X和Y是两个相互独立的随机变量， X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为=. 0, 0, 0,21 )(2yyeyfyY（1）求X和Y的联合概率密度；解： = 其他0) 1 , 0(1)(xxfX=其他00),1 , 0(21)()(),(2yxeyfxfyxfyYX（2）设含有a的二次方程为022=+YXaa，求
10、a有实根的概率。04422YXPYXP=1002221xy dyedx=10022dxexy=102)1 (2 dxex =1022 1dxex=10222121dxex)0() 1 (21=)5 . 08413. 0(21=)21 (3413. 0=12随机变量),(YX的概率密度函数为= 其他, 00 , 40,4),(xyxxyA yxf求(1)系数A；解：由 += -1),(dxdyyxf得=40014xxydyAdx，=40124dxxxA138=A，解得83=A=其他00 , 40323 ),(xyxxyyxf(2),(YX的边缘概率密度；X与Y是否相 互独立？ +=dyyxfxf
11、X),()(=其他其他04063304032320xxxxydyx+=dxyxfyfY),()(=其他02032342yxydx y=其它020)28(3234 yyyX与Y不是否相互独立的。（3）求1XP。 =1)() 1 (1dxxfFXPXX641 643102=dxx严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量的函数分布181设二维随机变量),(YX的分布律为XY0123400.100.050.010.020.0110.040.060.020.030.0420.130.080.010.050.0330.080.110.050.060.02 试求(1)YXZ+=的分布律；(2)YXW= 2的分布律
12、；(3),maxYXM =的分布律；(4),minYXN =的分布律；2设随机变量),(YX的概率密度为=0002 0)(zzdxez xz=0002 0 zzdxeez xz=000) 1(2zzeez z=., 00,)(2其它zeezfzz3设随机变量YX,相互独立，且具有相同的分布，它们的概率密度为=., 01,)(1其它xexfx求YXZ+=概率密度。解：+=dxxzfxfzfYXZ)()()(=20211)(11zzdxeezxzx=202112zzdxezz=其它02)2(2zzez严谨 求实 勤奋 创新二维随机变量的函数分布194设X和Y是两个相互独立的随机变量， 其概率密度分
13、别为=., 0, 10, 1)(其它xxfX=., 0, 0,)(其它yeyfyY求随机变量YXZ+= 2的概率密度。 解： 2)(zYXPzZPzFZ+= +=zyxdxdyyxf2),(= +zyxYXdxdyyfxf2)()(=.t,t,e.)t (ft.0001010今检验了5个装置，其观测值为,21TT,5T?与T同分布且相互独立。试求：（1）()20521T ,T ,TmaxP?；=()20,max1521TTTP?20,20,201521=TTTP?51201=TP5201 . 01 . 01=dtet52001 . 01 . 01=dtet52)1 (1=e（2）()5521=nnnnfPA解得250n 2设随机变量X服从参数为的泊松分布， 试用切比雪夫不等式证明：120 =ii iiXPXP)()(1920)()( 1 161161161161161 = =iiiiiiiiiiXDXEXDXEX P2119. 07881. 01)8 . 0(1=4设总体),12(2NX，随机抽取一容量为25的样本，求样本均值X大于12.5的概 率。 （1）已知2=；解：)252,12(2 NX5 .1215 .12=XPXP)25. 1 (1 52125 .1252121=XP
