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1、第8章 曲线和曲面提出问题 v由离散点来近似地决定曲线和曲面 v通过测量或实验得到一系列有序点列, 根 据这些点列需构造出一条光滑曲线, 以直 观地反映出实验特性、变化规律和趋势。表示自由曲线曲面的形状v模线样板法 v计算机辅助几何设计CAGD Computer Aided Geometric Design工业产品的几何形状v复杂方式自由变化的曲线曲面用曲面模拟海水8.1.1 曲线/曲面数学描述的发展v弗格森双三次曲面片 v孔斯双三次曲面片 v样条方法 vBezier方法 vB样条方法 v有理Bezier v非均匀有理B样条方法程序演示8.1.2 曲线曲面的表示要求1.唯一性 2.几何不变性
2、3.易于定界 4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观8.1.3 曲线曲面的表示v参数法表示v将区间a,b规范化成0,18.1.4 插值和逼近v采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面 的形状称为样条 v样条曲线:是指由多项式曲线段连接而成 的曲线,在每段的边界处满足特定的连续 条件 v样条曲面:可以用两组正交样条曲线来描 述曲线曲面的拟合、逼近图8-1 曲线的拟合图8-2 曲线的逼近- 将连连接有一定次序控制点的直线线序列称为为 控制多边边形 或特征多边边形 - 求给给定型值值点之间间曲线线上的点称为为曲线线的插值值8.1.5 连续性条件1. 参数连续性 2. 几何连续性假定参数曲线段pi
3、以参数形式进行描述：1. 参数连续性v0阶参数连续性 记作C0连续性 是指曲线的几何位置连接v1阶参数连续性 记作C1连续性 指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处 有相同的一阶导数v2阶参数连续性 记作C2连续性 指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有 相同的一阶和二阶导数 (a)0阶连续性(b)1阶连续性(c)2阶连续性2. 几何连续性v0阶几何连续性 - 记作G0连续性 与0阶参数连续性的定义相同 v1阶几何连续性 - 记作G1连续性 指一阶导数在相邻段的交点处成比例 v2阶几何连续性 - 记作G2连续性 指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数 均成比例8.1.6 样条描述n次样条参数多项式曲
4、线8.2 三次样条v给定n+1个控制点Pk(xk,yk,zk)，可得到通 过每个点的分段三次多项式曲线：0,1 t )()()(232323 +=+=+=zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatxn+1个点共产产生n个曲线线段8.2.1 自然三次样条v具有C2连续性 v要求在所有曲线段的公共连接处均具有位位 置置、一阶一阶和二阶导数二阶导数 的连续性。特点v只适用于型值点分布比较均匀的场合 v不能“局部控制”8.2.2 三次Hermite样条v假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为P(t), t0,1 , 给定矢量Pk、Pk+1、Rk、Rk+1，则满足下列条
5、件的三次参数曲线为三次 Hermite样条曲线：PkPk+1P(t)Hermite矩阵Hermite几何矢量三次Hermite样条曲线的方程v通常将TMh称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）：图图8.4 Hermite基函数特点v可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于 端点约束 v基于Hermite样条的变化形式：Cardinal 样条和Kochanek-Bartels样条 vHermite曲线具有几何不变性8.3 Bezier曲线曲面图图8.6 Bezier曲线线8.3.1 Bezier曲线的定义Bernstein基函数具有如下形式：n+1个控制点对应n阶Bezier曲线1. 一
6、次Bezier曲线 (n=1)v两个控制点P0、P1 v相当于连接控制点起点P0和终点P1的直线 段2. 二次Bezier曲线 (n=2)v三个控制点P0、P1、P2 v抛物线3. 三次Bezier曲线(n=3)v四个控制点P0、P1、P2、P3Bezier曲线线 系数矩阵阵控制点 位置矢量三次Bezier曲线的基函数三次Bezier曲线线 的基函数图图8-7 三次Bezier曲线线的四个Bezier基函数0tB0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)8.3.2 Bezier曲线的性质1.端点 - Bezier曲线总是通过起始点和终点P0P1P2P32.一阶导数v起始点处的切线
7、位于前两个控制点的连线上 v终点处的切线 位于最后个控制点的连线上P0 = P(0)P1P2P3 = P(1)3. 二阶导数v起始点和终止点处的二阶导数分别取决于 最开始和最后的三个控制点P0P1P2P3v对称性 v凸包性 v几何不变性 v差变减少性 v控制顶点变化对曲线形状的影响8.3.3 Bezier曲线的生成1.绘制一段Bezier曲线程序8-1 Bezier曲线的绘制 程序8-2 利用OpenGL中的函数绘制Bezier曲 线2. Bezier曲线的拼接如何获得G0、G1、G2连续性 P2、P3、Q1共线 P2、Q1分布在P3的两侧图图8-9 两段三次 Bezier曲线线的拼接P0P1
8、P2P3Q1Q2Q3(Q0)P1(t)P2(t)8.3.4 Bezier曲面2. Bezier曲面的拼接以Bernstein基函数构造的Bezier曲线的不足 控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的 阶数，且当顶点个数较大时，控制多边形对 曲线的控制将会减弱； 不能作局部修改，任何一个控制点位置的变 化对整条曲线都有影响。8.4 B样条曲线曲面vB样条的基函数是一个分段函数 B样条曲线Bezier曲线Bezier曲线B样条曲线(b) B样样条曲线线和Bezier曲线线的比较较8.5 有理样条曲线曲面vNURBS方法：非均匀有理B样条 Nonuniform Rational B-SplinevB样条不能精确表示除抛物线(面)以外的 二次曲线(面) vNURBS既能描述自由曲线/曲面,又能精确 表示二次曲线/曲面8.5.1 NURBS曲线曲面的定义v如果f(t)和h(t)是多项式，f(t)/ h(t)为 有理多项式 v有理样条: 两个样条参数多项式之比v NURBS surface representing surface of water and particles used to pull the NUBRS control points to create successive images of moving water.
