§7.5离散系统的稳定性与稳态误差)

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1、7.5 离散系统的稳定性与稳态误差7.5.1 s z 映射 7.5 离散系统的稳定性与稳态误差稳定系统的特征方程的根全部位于s平面的左半部。这 一概念也适用于线性采样系统。线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零 而得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定。为了在z平面上讨论线性采样系统的稳定性，必须知道s 平面和z平面的对应关系。由由z z变换定义：变换定义：令：令：则：则：结论：S平面的稳定区域在Z平面上的 影象是单位圆内部区域图参见P3487.5.2 离散系统稳定的充要条件是 F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内 证明： 充分性 必要性推广的劳斯稳定判据：在线性采样系统中，

2、对z 的有理多项式，经 的双线性变换，得到 w 的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了。为了区别 s 平面下的劳斯判据，称 w 平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据。7.5.3 离散系统的稳定判据 （1）w 变换及 w 域的劳斯稳定判裾 因劳斯判据不能直接套用，须引入另一线性变换： w 变换设w 虚轴z 单位圆对应w平面z平面单位圆内 外的点双线性变换例 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。系统不稳定直接根据离散系统的闭环特征方程 D(z)=0 的系数，判别其根 是否位于z平面上的单位园内，从而判断离散系统是否稳定。(2) Z 域中的朱利 (Jurry) 稳定判据朱利阵列见P353。朱利稳定判

3、据见P353。例2 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。系统不稳定例3 已知离散系统特征方程 ，判定系统稳定性。系统稳定例4 离散系统结构图如图所示， T=1s,求使系统稳定的K值范围。解法I w域中的Routh判据解法II z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据例4 系统结构图如图所示, T=0.25, 求使系统稳定的K值范围。 K与T对离散系统稳定性的影响：T一定，K增大，离散系统的稳定性变差，甚至使系统变 得不稳定。K一定， T增大，则丢失的信息越多，离散系统的稳定性 变差，甚至使系统变得不稳定。7.5.4 计算稳态误差的一般方法若 e(z)的极点全部位于Z平面的单位园内，即离散系统

4、是 稳定的，则可用Z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差。线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构参 数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且还与采样周期T 有关。1. Z变换中值定理法例.已知离散系统结构图,K=10, T=0.2,求 r(t)=1(t), t, t2/2 时系 统的e()。解系统稳定Jury :T=0.2, K=102. 静态误差系数法 r(t) 作用时e()的计算规律( 适用于系统稳定, r(t)作用,对误差采样的线性离散系统 )设静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数解例2 稳定离散系统的结构图如图所示，已 知r(t)=2t, 试讨论有或没有ZOH

5、 时的e()。无ZOH时有ZOH时 与 T 有关 与 T 无关例3 已知系统结构图 (T=0.25), r(t)=21(t)+t, 使e()0.5, 求K范围。 解判定稳定性Jury:综上：1.通过闭环脉冲传递函数（或直接），求出系统在典型输入 信号（通常假定为单位阶跃函数）作用下的输出响应C(z)，并展成幂级数； 2.通过 z 反变换，求出输出信号的的脉冲序列c*(t)； 3.离散系统的时域指标的定义与连续系统相同。7.6 离散系统动态性能分析一.离散系统的时间响应通过闭环脉冲传递函数，求出系统在典型输入信号作用下 的输出响应，可以分析系统的动态性能。根据系统在z平面上 的零、极点分布，也可

6、以估计系统的动态性能。例4 系统结构图如图所示,T=K=1, 求系统动态指标( %, ts )。解用长除法求系统单位阶跃响应序列 h(k)采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，但影响开 环脉冲传递函数的零点，则影响闭环脉冲传递函数的极点； 从而影响闭环离散系统的动态性能。二. 采样器和保持器对动态性能的影响1.采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小，但超调量增大。采样造成的信息丢失会降低系统的稳定程度；但在大延 迟的系统中，误差采样反而会提高系统的稳定程度。2.零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间加大，超调量和振荡次数增加。零阶保持器的相角滞后降低了系统的稳定程度。结论：例4 系统结

7、构图如图所示,T=K=1, 求系统动态指标( %, ts )。解例4续图 连续与离散系统的时间响应曲线离散系统闭环脉冲传递函数的极点在 z 平面上单位园内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。三. 闭环极点与动态响应的关系1.闭环实数极点位于右半 z 平面，则输出动态响应形式为单向正脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且实极点越 接近原点，收敛越快。2.闭环实数极点位于左半 z 平面，则输出动态响应形式为双向交替脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛；且实极点 越接近原点，收敛越快。1. 正实轴上的闭环单极点（见下页图）结论 ：因衰减脉冲交替变号，故动态工程质量很差。综上：在离散系统设计

8、时，应把闭环极点安置在 z 平面的右半单位园内，且尽量靠近原点。2. z 平面上的闭环共轭复数极点（见P364页图）结论 ：动态响应为振荡脉冲序列。园外发散，圆上等幅，园内收敛 ；且复极点越接近原点，收敛越快。对于单位园内的共轭复数极点，左半单位园内所对应的振荡 频率高于右半单位园内的情况。左半单位园内输出衰减高频 振荡脉冲，故动态性能欠佳。课程小结7.5.1 s z w 映射 7.5 离散系统的稳定性分析7.5.2 离散系统稳定的充要条件 F(z)的全部极点均位于z平面的单位圆内 7.5.3 离散系统的稳定判据 (1) w域中的劳斯(Routh)稳定判据(2) z域中的朱利 (Jurry) 稳定判据(3) z域中的根轨迹法 7.5.4 离散系统的稳态误差 7.6 离散系统的动态性能分析静态误差系数法一般方法求F(z) 长除法求h(k) 按定义确定s, ts 。