2011中考数学解题方法大起底

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1、 中中考考数学解题方法大起底数学解题方法大起底 前前 言言 如果你最近数学成绩明显下降如果你最近数学成绩明显下降，或者你虽然很学得很认或者你虽然很学得很认真真，却自己明显感到数学学得很吃力了却自己明显感到数学学得很吃力了。 。 。 。 如果你正在准备中考如果你正在准备中考，准备靠题海战术来战胜自我准备靠题海战术来战胜自我，战战胜对手胜对手。 。 。 。 。 你应该先花点时间来研读本书文你应该先花点时间来研读本书文，磨刀不误砍柴工磨刀不误砍柴工，这这原本是一篇本科学生的毕业论文原本是一篇本科学生的毕业论文，但对中考的数学的复习很但对中考的数学的复习很有事半功倍的作用有事半功倍的作用！ 只有掌握了

2、正确的方法只有掌握了正确的方法，才能保证你的复习效率大大提才能保证你的复习效率大大提高高，在同样的升学压力下在同样的升学压力下，脱颖而出脱颖而出 ！ ！ ！ ！ ！ 序序 在与北京地区十余位高中毕业班学生的接触后， 发现当我们解题时遇到一个 新问题，总想用熟悉的题型去“套” ，这只是满足于解出来，只有对数学方法融 会贯通时，才能提出新看法、巧解法。 中考试题十分重视对于数学解题方法的考查，特别是突出考查能力的试题， 其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。 我们要有意识地应用数学解题方法去 分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 数学知识是数学内容，可以用文字和符号

3、来记录和描述，随着时间的推移， 记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会 和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学解题 方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学方法和思 想也还是对你起作用。 数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的 特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方 法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说， “知识”是基础， “方法”是 手段， “思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学方法和数学思 想的认识和运用，数学素质的综合体现就是

4、“能力” 。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本文浅陋介绍中考 中常用的数学基本解题方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数 法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实 验法。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以两种典例的 形式出现。示范性典例进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范，再现性 典例是一组简单的选择填空题进行方法的再现旨在检查学习的效果， 起到巩固的 作用。每个典例中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章 节的数学知识。 1 1、配方法配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“

5、完全平方” ）的技巧，通过 配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并 且合理运用“裂项”与“添项” 、 “配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也 将其称为“凑配法” 。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于： 已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求 解，或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)2a22abb2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a2b2(ab)22ab(ab)22ab； a2abb2(ab)2ab(ab)23ab

6、(ab 2)2（3 2b）2； a2b2c2abbcca1 2(ab)2(bc)2(ca)2 a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(abbcca) 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1sin212sincos（sincos）2； x212x(x1 x)22(x1 x)22 ； 等等。 1.11.1、示范性示范性典例典例： 例例 1.1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方 体的一条对角线长为_。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则211 4

7、24() ()xyyzxz xyz ,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12条棱的长度之和为 24”而得：211 424() ()xyyzxz xyz 。 长方体所求对角线长为：xyz222()()xyzxyyzxz2261125 所以选 B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式， 观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了 已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例例 2. 2. 设方程 x2kx2=0 的两实

8、根为 p、q，若(p q)2+(q p)27 成立，求实数 k 的取值范围。 【解】方程 x2kx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 , (p q)2+(q p)2pq pq442 ()() ()pqp q pq2222222() ()pqpqp q pq2222222()k2248 47， 解得 k10或 k10 。 又 p、 q 为方程 x2kx2=0 的两实根， k280 即 k22或k22 综合起来，k 的取值范围是：10k2 2 或者 2 2k10。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“” ；已知 方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由

9、韦达定理得到 pq、pq 后，观 察已知不等式， 从其结构特征联想到先通分后配方， 表示成 pq 与 pq 的组合式。 假如本题不对 “” 讨论， 结果将出错， 即使有些题目可能结果相同， 去掉对 “” 的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 例例 3.3. 设非零复数 a、b 满足 a2abb2=0，求(a ab)1998(b ab)1998 。 【分析】 对已知式可以联想：变形为(a b)2(a b)10，则a b （为 1 的立方虚根） ；或配方为(ab)2ab 。则代入所求式即得。 【解】由 a2abb2=0 变形得：(a b)2(a b)10 ， 设a b，则

10、210，可知为 1 的立方虚根，所以：1 b a，331。 又由 a2abb2=0 变形得：(ab)2ab ， 所以 (a ab)1998(b ab)1998(a ab2 )999(b ab2 )999(a b)999(b a)9999999992 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用的 性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们 善于联想和展开。 【另解】 由 a2abb20 变形得： (a b)2(a b)10 ， 解出b a 13 2i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a b)999(b a)999后，完成后面的运算

11、。此方法用于只是未 13 2i联想到时进行解题。 假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由 a2abb20 解出：a 13 2ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 1 12 2、再现性再现性典例典例： 1. 在正项等比数列an中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，则 a3a5_。 2. 方程 x2y24kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。 A. 1 41 C. kR D. k1 4或 k1 3. 已知 sin4cos41，则 sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 0 4. 函数 ylog1 2(2x2

12、5x3)的单调递增区间是_。 A. （, 5 4 B. 5 4,+) C. (1 2,5 4 D. 5 4,3) 5. 已知方程 x2+(a-2)x+a-1=0 的两根 x1、 x2， 则点 P(x1,x2)在圆 x2+y2=4上，则实数 a_。 【简解】 1 小题：利用等比数列性质 am pam pam2，将已知等式左边后配方（a3a5）2易求。答案是：5。 2 小题：配方成圆的标准方程形式(xa)2(yb)2r2，解 r20 即可，选B。 3 小题：已知等式经配方成(sin2cos2)22sin2cos21，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。 4 小题：配方后得

13、到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求 解。选 D。 5 小题：答案 311。 2 2、换元法换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题 得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是 等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而 使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条 件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉 的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有

14、理式、化超越式为代数 式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有： 局部换元、 三角换元、 均值换元等。 局部换元又称整体换元， 是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为设 2xt（t0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 yx1 x的值域时，易发现 x0,1，设 xsin2 ，0, 2，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此

15、设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x2y2r2（r0）时，则可作三角代换 xrcos、yrsin化为三角问题。 均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 xS 2t，yS 2t 等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注 重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和0, 2。 2.1、示范性典例： 例 1. 实数 x、 y 满足 4x25xy4y25 （ 式） ， 设 Sx2y2， 求1 Smax1 Smin的值。 （全国高中数学联赛题） 【分析】 由 Sx2y2联想到 cos2s