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1、本科毕业论文本科毕业论文介值定理及其应用摘 要介值定理是闭区间上连续函数的重要性质之一，在数学分析教材中，一般应用有关实数完备性定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明本课题通过构造辅助函数，应用区间套定理、致密性定理、柯西收敛准则、确界原理对介值定理进行证明介值定理应用非常广泛，应用介值定理能很巧妙的解决一些问题如利用介值定理可证明根的存在性、证明不等式、证明一些等式以及解决实际问题等此外本文还对介值定理进行了推广，并且列举了一些具体的例题来展示推广的介值定理的应用关键词：关键词：介值定理 连续函数 根的存在定理 应用Intermediate value theorem
2、 and its applicationYao Mei Drected by Professor Wang Shuyun ABSTRACTIntermediate value theorem is a continuous function on a closed interval in an important properties. In“ mathematical analysis“ textbook, general application about real number completeness theorem of supremum principle, the monoton
3、e bounded theorem, nested interval theorem, finite covering theorem to prove. This topic through the construction of auxiliary function, application of nested interval theorem, compact theorem, Cauchy convergence criterion, principle of supremum and infimum proves that intermediate value theorem. In
4、termediate value theorem is widely used and this theorem can be very cleverly to solve some problems. Such as the use of intermediate value theorem can be proof of the existence of the root, the proof of inequality, that some equation and solving practical problems. In addition to the intermediate v
5、alue theorem is generalized and lists some specific examples to demonstrate the wide application of intermediate value theorem. KEY WORDS：Intermediate value theorem Continuous function The existence theorem of root Application 目目 录录摘 要.I外文页.II前 言.11 介值定理及其证明方法.21.1 介值定理的内容 .21.2 介值定理的四种证明方法 .21.2.1
6、应用确界原理.21.2.2 应用区间套定理.31.2.3 应用致密性定理证明.41.2.4 应用柯西收敛准则证明.52 介值定理的应用.72.1 利用介值定理判断方程根的存在性 .72.2 介值定理在解不等式中的应用 .82.3 介值定理在证明等式中的应用 .102.4 介值定理在实际问题中的应用 .123 介值定理的推广.143.1 一元函数介值定理的推广 .143.1.1 推广介值定理的内容.143.1.2 推广的介值定理的一个应用.153.2 二元函数的介值定理.183.2.1 二元函数介值性定理的内容.183.2.2 二元函数介值定理的应用.19参考文献.21致 谢.22前前 言言介值
7、定理是闭区间上连续函数的一个重要性质这一定理虽然简单，但应用却异常广泛，微积分理论中有不少定理的证明要用到该定理介值定理（Intermediate value theorem）首先由伯纳德波尔查诺提出和证明对波尔查诺来说有点不幸的是：他的数学著作多半被他的同时代的人所忽视，他的许多成果等到后来才被重新发现，但此时功劳已被别人抢占或只能与别人分享了 .华东师范大学版的数学分析对介值定理的描述是：设函数在闭区间上连fba,续，且.设为介于与之间的任何实数（或)()(bfaf)(af)(bf)()(bfaf）,则至少存在一点,使得介值定理是闭区间上连续)()(bfaf0x),(ba)(0xf函数的重
8、要性质之一，在数学分析教材中一般应用有关实数完备性的 6 个基本定理中的确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理来证明在这里我们通过巧妙地构造辅助函数，应用区间套定理，致密性定理，柯西收敛准则以及确界原理来证明介值定理在连续函数中具有广泛的应用性比如判断方程根的存在性、求解不等式、证明一些等式、解决实际问题等当然还有其它许多关于介值定理的研究，他们多数都是针对介值定理的某一方面而进行的，例如叶国柄发表在陕西工学院学报的一篇文章介值定理的推广及其应用 ，一方面他把闭区间推广为任意区间，另一方面从常数和入手，和也可以)(af)(bf)(af)(bf为或利用推广的介值定理，得到了求一类方程绝
9、对误差为的近似)(1 . 0Nmm解的一种好方法此外二元函数介值定理的介绍，拓宽了研究范围，加深了学习难度使我们能够更加努力地学习1 介值定理及其证明方法1.1 介值定理的内容定理1 设函数在闭区间上连续，且.设为介于与之f,ba)()(bfaf)(af)(bf间的任何实数（或）,则至少存在一点,使得)()(bfaf)()(bfaf),(0bax )(0xf这个定理表明，若在上连续，又不妨设，则在上必能取得f,ba)()(bfaff,ba区间上的一切值，即有)(),(bfaf),()(),(bafbfaf推论（根的存在定理） 若函数在闭区间上连续，且与异号（即f,ba)(af)(bf） ，则至
10、少存在一点，使得0)()(bfaf),(0bax 0)(0xf即方程在内至少有一个根根的存在定理也就是零点定理在下面一0)(xf),(ba些问题的证明中，我们会多次应用根的存在定理也即零点定理来解决一些问题，并且借用根的存在定理证明介值定理1.2 介值定理的四种证明方法1.2.1 应用确界原理1不妨设令，则也是上的连续函数，且)()(bfuafuxfxg)()(g,ba于是定理的结论转化为：存在使得这个简单的0)(, 0)(bgag),(0bax 0)(0xg情形即为根的存在性定理记显然为非空有界集故由确界原理，. , 0)(baxxgxEE),(EbbaE且有下确界，记.因由连续函数的局部保
11、号性，存在使得在EExinf0, 0内),aa在由此易见即, 0)(xg, 0)(g,(xbb内,0ax ,0bx ),(0bax 下证倘若不妨设则又由局部保号性，存在0)(0xg, 0)(0xg, 0)(0xg);(0xU使在其内特别有但这与相矛盾，),(ba, 0)(xgExxg20)2(00Exinf0故必有0)(0xg1.2.2 应用区间套定理1我们可以把问题转换为证明根的存在定理，即若函数在上连续，g,ba0)(ag，则存在使得 0)(bg),(0bax 0)(0xg将等分为两个子区间与若，则 即为所求；若，则,ba,ca,bc0)(cgc0)(cg当时记，当时记于是有，0)(cg,
12、11ba,ca0)(cg,11ba,bc0)(, 0)(11bgag且，,11ba,ba11ab )(21ab 再从区间出发，重复上述过程，得到：或者在的中点上有，,11ba,11ba1c0)(1cg或者有闭区间，满足，且，,22ba0)(, 0)(22bgag,22ba,11ba22221 ab)(ab 将上述过程不断地进行下去，可能出现两种情形：在某一区间的中点上有，即即为所求；) 1 (ic0)(icgic在任一区间的中点上均有，则得到闭区间列，满足)2(ic0)(icg,nnba，且0)(, 0)(nnbgag，,11nnnnbaba., 2 , 1),(21nababnnn由区间套定理，存在点下证倘若不妨设., 2 , 1,0nbaxnn. 0)(0xg, 0)(0xg则由局部保号性，存在使在其内有而由区间套定理的推论，, 0)(0xg),;(0xU. 0)(xg当充分大时有因而有但这与选取时应满足的n),;(,0xUba
