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1、5 勾股定理的应用勾股定理的应用勾股定理的应用勾股定理的应用 1 1复习复习 1.求出下列直角三角形的未知边.2.在直角三角形 ABC 中，=90C.（1）已知:1:2,5a bc，求a.（2）已知6,30bA，求, a c.3.如图，长方形 ABCD 中，长 AB 是 4cm，宽 BC 是 3cm，求 AC 的长.勾股定理的应用（勾股定理的应用（1 1） 例例 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3m，宽 2.2m 的薄木板能否从门框内通过，为什么？ 思考： （1）木板横着能否通过？ （2）木板竖着能否通过？ （3）结合问题引入的第 3 题，在长方形 ABCD 中 AB、AC、BC 哪一条线最长
2、？实际问题数学问题（勾股定理）例例 小明拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖着来拿，结果竹竿比城门 高 1 米，当他把竹竿斜着时，竹竿的两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？例例 如图，小东在平坦的场地上，从 A 点向东走了 3m，再向北走了 2m，再向西走了 1m，又向北走了 1m，最后向东走了 4m，到达 B 点，求 A、B 之间的距离.应用举例应用举例 1.有一根 70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是 50cm，40cm，30cm 的木箱中，能否放进去？2.如下图， 将一个长 24cm 的筷子， 置于底面直径为 5cm， 高为 12cm 的圆柱形杯中，
3、设筷子露在杯 子 外面的长度是hcm，则h的取值范围是_.3.如图，图中三个正方形围成一个直角三角三角形，三个正方形的面积分别是123,S SS，则123,S SS之间的关系_.勾股定理的应用（勾股定理的应用（2 2） 探究探究 1.我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？在数轴上画出表示5的点.2.如图，一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要 爬 行_cm.实际问题数学问题（勾股定理）勾股定理在实际生活中的应用勾股定理在实际生活中的应用 例例如图： 一根旗杆在离地面 12 米处折断， 旗杆的顶端
4、落在离旗杆底部 16 米处的地面上， 折断处 还 连接在一起，求旗杆在折断之前的高度是多少？变式变式 小明想知道学校的旗杆的高度， 他发现了旗杆的绳子垂到地面还多 1 米， 当他把绳子的下端 拉 开 5 米后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他求出旗杆的高度吗？例例 如图，小亮在操场上距离旗杆 AB 的 C 处，用仪器测得30ADE，已知 BC 等于 9 米，测角仪器的高度 CD 为 1.2 米，那么旗杆 AB 的高度为多少米？变式变式 场地上有两棵树相距 12 米，一棵树高 13 米，另一个棵树高 8 米，一只小鸟从一颗树顶端飞到 另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？变式变式 在一棵树的 10
5、 米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘 A 处，另一只 猴子爬到树顶后直接跃向池塘 A 处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树的高度是多少？例例 有一个边长为 30cm 的正方形洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，圆形的直径至少是多少？变式变式 如图，一个圆柱形铁桶的底面半径是 12cm，高为 10cm，若在其中隐藏一细铁棒，问铁棒的长 度最长不能超过多少厘米?例例 木工做了一个长方形的桌面，量得桌面的长为 60cm，宽为 32cm，对角线长为 68cm，这个桌面合 格吗？勾股定理的应用勾股定理的应用 2 2 知识点一知识点一 勾股定理解决实际问题勾股定理解决实
6、际问题 例例 一架云梯长 25 米，如图（1）所示，斜靠在一面墙上，梯子的底部离墙 7m. （1）这个梯子的顶端距离地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑 4 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动 4 米吗？为什么？变式变式 如图，甲楼在乙楼的南面，它们的设计是若干层，每层楼的高度均为 3 米，冬天太阳光与水平面的夹角为30.（1）若要求甲楼与乙楼的设计高度均为 6 层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼 之间的距离 BD 至少为多少？（保留根号） （2）由于受空间限制，甲楼到乙楼的距离 BD=21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落到乙楼上，那么 设计甲楼的时候，最高应建几层？知识点二
7、知识点二 勾股定理在几何中的应用勾股定理在几何中的应用 知识点归纳知识点归纳 利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度. 说明说明（1）直角三角形的面积是两条直角边的乘积的一半. （2）利用好直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和. （3）图形折叠后，与原图形应该是全等的. （4）在不规则的图形中，利用辅助线构造出直角三角形.例例 已知：如图，等边ABC的边长是 4cm. （1）求等边ABC的高.（2）求ABCS.变式变式 如图，在Rt ABC中，90 ,60 ,4ACBBa，求, b c,ABC的面积以及斜边 AB 上的高.例例 如图，已知Rt ABC的周长为42 3，斜边 AB
8、的长为2 3，则Rt ABC的面积是多少？变式变式 如图，有一片直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使 它落在斜边 AB 上且与 AE 重合，试求 CD.知识点三知识点三 勾股定理演变的结论勾股定理演变的结论例例 如图，以直角三角形的三条边向外作等边三角形，探究123,S SS和之间的关系.变式变式 如图，以直角三角形的三条边向外作等腰直角三角形，探究123,S SS和之间的关系.变式变式 如图，以直角三角形的三条边为直径向外作半圆，探究123,S SS和之间的关系.勾股定理的应用勾股定理的应用 3 3 知识点一知识点一 勾股定理在实际问
9、题中的应用勾股定理在实际问题中的应用 知识点归纳知识点归纳 运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题. 说明说明（1）首先判断出问题的数学模型是否是直角三角形. （2）利用勾股定理已知直角三角形的两条边求出第三条边. 例例 如图，一艘轮船以 16 千米/时的速度离开港口 O 向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地向西南 方向航行，已知它们离开港口 1.5 小时分别到达 A、B 两点，此时它们相距 30 千米，试求另一 艘轮船的速度.变式变式 如图，一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边的车速检 测仪的正前方 30 米处，过了 2 秒后，测得小汽车与车速检测仪的距
10、离为 50 米，问这辆小汽 车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不 得超过 70km/h.）知识点二知识点二 勾股定理在解决最值时的应用勾股定理在解决最值时的应用 知识点归纳知识点归纳 利用勾股定理求出问题中需要的最短距离. 说明说明（1）把实际问题转化成勾股定理这一数学模型. （2）求最短距离的根据就是“两点之间，线段最短”. （3）还要注意立体图形展开成平面图形的形状.例例 如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 交汇，且30QPN，点 A 处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 M
11、N 上沿 PN 方向行驶时，学校 是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18km/h，那么学校受影响 的时间是多少？变式变式 如图 （1） ， A、 B 两个小镇在河岸 CD 的同侧， 到河的距离分别是 AC=10km， BD=30km， 且 CD=30km，现在要在河边建一水厂，向 A、B 两个镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万元， 请同学在河岸 CD 上选择水厂的位置 M， 使铺设的费用最低， 并求出最低费用.例例 如图，壁虎在一座底面半径为 1 米，高为 2 米的油桶的下底边沿 A 处，发现油桶的另一测的中点 处有一只萤火虫，便决定捕捉它，于是它小心翼翼的向萤
12、火虫爬去，若壁虎要在最短的时间里获得一顿美餐，问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到萤火虫？（=3.14，参考数据23.3 =10.86）变式变式 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是 55cm、10cm、6cm，A、B 两点是这个台 阶两个相对的端点，A 点有只蚂蚁，想到 B 点去吃食物，请同学们想一想，这只蚂蚁从 A 点出 发沿台阶爬到 B 点的最短路线是多少？知识点三知识点三 勾股定理在数轴上表示无理数的应用勾股定理在数轴上表示无理数的应用 知识点归纳知识点归纳 利用勾股定理表示无理数. 说明说明 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）掌握尺规作图的方法.在数轴上表示10的点.变式变式 细心观察图形（如图） ，认真分析各式，然后回答问题：2 11( 1)12,;2S 2 22( 2)13,;2S 2 33( 3)14,;2S （1）请用含有 n（n 为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出10OA的长；（3）求出2232 12310.SSSS的值.
