2第二章：正投影法基础

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1、第二章 正投影法基础 2.1 正投影法 2.2 立体上的点、直线和平面的投影 2.3 基本立体2.1 正投影法 2.1.1 投影法和投影 2.1.2 投影法的分类 2.1.3 正投影法的投影特点 2.1.4 物体的三面投影图 光源 被投影物 投影平面 投影法将投影线 通过 物体 向 选定平面 投射，并在该平面上得到图形的方法称为投影法。所得的图形称为投影，选定的平面称为投影面。投影三要素：2.1.2 投影法的分类 根据投射线的类型（汇交或平行），分为： 1. 中心投影法2. 平行投影法 投射线都从投影中心出发的投影法称为中心投影法。如图 中心投影法主要用于绘制建筑物或产品的立体图，也称透视图。

2、 若投影中心移到无穷远处，投射线相互平 行。称平行投影法，所得投影称平行投影 。 平行投影法又分为正投影法和斜投影法；投射方向(即投射线的方向)垂直于投影面 的是正投影法。如图a：投射方向倾斜于投影面的是斜投影法。如图b： 2.1.3 正投影法的投影特点 1、实形性：与投影面平行的平面（直线）， 其投影反映实形（长）； 2、积聚性：与投影面垂直的平面（直线）， 其投影成为一直线（一点）； 3、类似性：与投影面倾斜的平面（直线）， 其投影成为缩小的类似形（比实长短）；2.1.4 物体的三面投影图 投影体系：如图所示，由空间点A 向平面P作正投射，得 唯一的投影a。反之， 若已知点A的投影a，就

3、不能唯一确定点A的空 间位置。因此，常把几何形体放在相互垂直的两个或三个 投影面之间，并在这些投影面上形成多面投影。 如图设立互相垂直的正立投影面V(简称正面)和水 平投影面H(简称水平面)，组成两投影面体系，将 空间划分为四个角：第一角、第二角、第三角和 第四角。 v面和H面交于投影轴(投影面的文线)0X。 再设立一个与V面、H面都垂直的侧立投影 面W(简称侧面)，组成三投影面体系，将空 间划分为八个角。每两个投影面的交线， 形成OX、OY、OZ三根投影轴，且互相垂 直。无论是二面体系、三面体系，将着重 讲述第一角中的几何形体的投影。2.2 立体上的点、直线和平面的投影 2.2.1、立体上点

4、的投影 2.2.2、立体上直线的投影 2.2.3、立体上平面的投影 2.2.4、直线与平面、平面与平面的相对位置2.2.1、立体上点的投影 由图可概括点的 三面投影特性：(1)点的投影连线垂直于投影轴，即a aox， aa“ OZ，a” , a” , = (2)点的投影到投影轴的距离，反映点的坐标2.2.2、立体上直线的投影 2.2.2.1 概述 2.2.2.2、直线上点的投影 2.2.2.3、直线对投影面的相对位置 2.2.2.4、直线投影的几个特性 2.2.2.1 概述 空间两点决定一直线，两点的同面投影连线即为 直线的投影。如图,A、B两点的投影分别为a、b ，直线段AB的投影即为a、b

5、连线ab。若AB与H投 影面的倾角为时，则abAbcos，a、b连线长 度小于空间直线段AB。只有当直线与投影面的倾 角为0或90时，直线的投影反映了两种特殊情况 ： 1、 是abAB，即直线平行于投影面，其投影反 映实长； 2、 是C、D重合在一点，即直线垂直于投影面( 直线与投射线平行)，其投影积聚为一点。2.2.2.1、直线上点的投影直线上的点的投 影特性为：(1) 从属性：点在 直线上，其投影 在直线的同面投 影上，且符合点 的投影规律；(2)定比性：点分 线段之比，在投 影后保持不变；2.2.2.2 直线对投影面的相对位置 位于三面体系中的直线，相对于投影面有 三种不同的位置： (1

6、) 一般位置直线； (2) 投影面平行线； (3) 投影面垂直线； 后两种统称为特殊位置直线。一般位置直线（如图）的投影特性为： (1) 般位置直线的三个投影都倾斜于投影 轴； (2) 一般位置直线的三个投影长度均小于线 段的实长 (3) 投影与投影轴的夹角不反映直线对投 影面的倾角投影面平行线 当直线仅平行于某一投影面时(与另两投影 面倾斜)，称为投影面的平行线。表中三种 投影面平行线的直观图、投影团和投影特 性。 投影面的垂直线 当直线垂直一个投影面时(必定同时平行另 两个投影面)，称为投影面的垂直线。表中 三种投影面的垂直线的直观图、投影图和 投影特性。2.2.2.4、直线投影的几个特性

7、 1、直线的投影一般仍为直线，特殊时积聚 一点； 2、直线的点，其投影在直线上，且点分线 段长度之比等于其投影长度之比； 3、平行直线的同面投影一般仍然平行简称为线性、从属性、平行性三个不变 投影特性2.2.3、立体上平面的投影 2.2.3.1、平面的表示法 2.2.3.2、平面对投影面的相对位置2.2.3.1、平面的表示法 平面常用确定该平面的点、直线或平面图 形等几何元素的投影表示。 符合“长对正、高平齐、宽相等”2.2.3.2、平面对投影面的相对位置 位于三面体系中的平面，相对于投影面有 三种不同位置； (1)一般位置平面； (2)投影面垂直面； (3)投影面平行面。 后两种统称为特殊位

8、置平面。 一般位置平面当平面与三个投影面均倾斜时，称为一般位置 平面，如图。图中用ABC来表示平面，投影因 得到三个三角形的投影，均为封闭线框，与 ABC类似，但不反映ABC的实形，面积均比 ABC小。一般位置平面的投影特性是：三个投 影仍是平面图形，与空间平面图形类似，且面积 缩小。投影面垂直面 当平面仅与一个投影面垂直(与另两个投影 面均倾斜)时，称为投影面的垂直面。表列 出三种投影面的垂直面的直观图、投影图 和投影特性。 投影面平行面平行于投影面的平面称为投影面平行面 。表列出：三种投影面的平行面的直观图 、投影图和投影特性。 2.2.4、直线与平面、平面与平面的 相对位置 直线与平面、

9、平面与平面的相对位置，除 了直线位于平面上或两平面位于同一平面 上的特例外，只可能是平行或相交。垂直 是相交中的一个特例。 一、平行 二、相交 三、垂直 一、平行 1、特殊情况A、当平面为投影面的垂直面时，只要直线的 投影与平面的具有积聚性的投影平行时，或直线 也为该投影面的垂直线，则直线与平面必定平行 。B、当两平面同为某一投影面的垂直面，只要 它们的积聚投影平行，则两面必定平行。 2一般情况A、当面外一直线与面内一直线对应平行，则 面外直线必定平行这个平面。B、当一平面内有相交两直线，对应平行另一 平面内的相交两直线，则这两个平面对应平行。 上述几何条件可用来解决画法几何中直线平行平 面、

10、平面平行平面的问题。 二、相交 1特殊情况直线与平面相交，必产止一个交点，该点是直线与平面 的共有点。 如图a，当处于一般位置的直线与垂直于投影面的平面相 交时，平面有积聚性的投影与直线的同面投影的交点，就 是所求共有点的一个投影。另一投影可利用其所属特性， 在直线的另一投影上直接找出，如图b 2一般情况一般位置直线与一般位置平面相交，由于没有投影积 聚，不能直接在投影图中作出，前面已介绍特殊面与一般 面的交线求法，现可以通过一般线作一个投影面的垂直面 为辅助平面，先求出特殊面(辅助平面)与一般面的交线， 再求出 一般线与该交线的交点(两线共面如不平行必相交) ，这个交点就是一般线与一般面的共

11、有点。 例 三、垂直 1特殊情况如图，当直线垂直于投影面垂直面时，直线定平行 于该平面所垂直的投影面，在该投影面上，直线的投影垂 直于平面的有积聚性的同面投影。 如图，当两平面均为投影面的垂直面时，若这两平面垂直 ，则它们的有积聚性的同面投影必定互相垂直。 2一般情况当直线和平面均为一般位置时，判断它们是否垂直的 几何条件是：该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直 线，则直线垂直于平面。 例 例 结论 结论： 一般位置线与一般位置平面相垂直的 投影特性： 直线的正面投影垂直于这个平面上的正平 线的正面投影； 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平 线的水平投影； 直线的侧面投影垂直于这个平面上的

12、侧平 线的侧面投影。2.3 基本立体 立体根据表面性质的不同：平面立体、曲 面。表面均为平面的立体叫做 平面立体； 表面均为曲面或者既有曲面又有平面的立体叫做曲面立体 。 2.3.1 平面立体的投影 2.3.2 曲面立体的投影 平面立体 由若干个平面围成的立体： 这些 平面又是由直线所围成，所以画平面立体 的投影图，可归结为绘制组成平面立体的 所有多边形平面的投影，也就是绘制这些 多边形的边和顶点的投影。 通过平面立体表面上点的作法，就能解决平面立 体表面上的线、截交线(平面与立体表面的交线) 、相贯线(两立体的表面交线)等作图问题。 、正六棱柱 、正三棱锥 正六棱柱的投影特点：图是一个正六棱

13、柱的立体图和投影图：其上、下底 面都是水平面，上、下底面的水平投影重合并反映实形，正 面投影和侧面投影积聚成平行于相应投影轴的直线、六棱柱 有六个侧棱面，前、后两个棱面为正平面。 它的正面投影重合并反映实形，水平投影和侧面投 影积聚成一条直线，其余四个棱面都是铅垂面，其 水平投影分别积聚成倾斜直线，正面投影和侧面投 影都是缩小的类似形，将其上、下底面及六个侧棱 面的投影画出后即得到正六棱柱的三面投影。 例1 例2 棱锥的投影特点 图为三棱锥的投影图。共底面是水平面，其水平投影反映 实形，正面投影和侧面投影积聚成平行相应投影轴的直线 ，其余三个棱面都是一般位置平面，它们的交线为三棱锥 的棱线。所

14、有投影的轮廓线都是可见的，三个棱面的水平 投影均可见，棱面和棱面的正面投影不可见 ，与棱面的侧面投影不可见。画三棱锥的投 影图时，可以先画底面三角形的三个投影，再画出锥顶的 三个投影。然后将锥顶和底面对应三个顶点的投影连接起 来，即得到三棱锥的投影。 例 例 2 例 32.3.2 曲面立体的投影 曲面立体由曲面或曲面和平面所围成，工 程上常用的曲面立体(如图)有圆锥、圆柱、 圆球 、圆柱 、圆锥 、圆球圆柱 圆柱面可以看作直线绕与它平行的轴线旋转而成 。该直线称为“母线”，它的任何位置称为“素线” 1圆柱体的投影特点如图所示，圆柱的轴线是一条铅垂线，则圆 柱面上所有直素线都是铅垂线：圆柱面的水

15、平投 影为一圆周，有积聚性，这个圆周上的任意点， 是圆柱面上相应位置素线的水平投影： 圆柱正面投影中左、右两轮廊线是圆柱面上最左 、最右素线的投影。它们把圆柱面分为前后两半 ，前半可见，而后半不可见，是可见和不对见的 分界线。 例 例 2、圆锥圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可以看 作直线(母线)绕与它相交的轴线旋转而成。圆锥的投影特点：如图所示，当圆锥的轴线是铅垂线时，底面 的正面投影、侧面投影分别积聚成直线，水平投 影反映它的实形。 轴线的正面投影和侧面投影用点划线画出： 在水平投影中，点划线画出的对称中心线的交点 ，既是轴线的水平投影，也是锥顶S的水平投影s, 锥面的正面投影的轮廓线sa、sb是锥面上左、 最右素线的投影，是圆锥表面正面投影可见不可 见的分界线。它们是正平线，表达了锥面素线的 实长。 例1 如图所示，已切圆 锥体的三面投影以 及圆锥面上一点A 的正面投影a，求 作它的水平投影a 和侧面投影a”。 解 解 3、圆球体 球是由球面围成的。球面可看作是圆(母线) 绕其作为轴线的直径旋转180度而成。球的投影特点：圆球体的三个投影都是直径相等的圆。如